专题03 因式分解（11大题型）（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 因式分解 题型1 判断是否是因式分解（常考点） 题型7 综合提公因式和公式法分解因式（难点） 题型2 已知因式分解的结果求参数（重点） 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 题型3 提公因式法分解因式（重点） 题型9 十字相乘法（重点） 题型4平方差公式分解因式（重点） 题型10 分组分解法（重点） 题型5 完全平方公式分解因式（重点） 题型11 因式分解的应用（难点） 题型6 综合运用公式法分解因式（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断是否是因式分解（共4小题） 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海松江·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 已知因式分解的结果求参数（共2小题） 5．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 6．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 题型三 提公因式法分解因式（共4小题） 7．（22-23七年级上·上海宝山·期中）分解因式正确的结果是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式： ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 题型四 平方差公式分解因式（共6小题） 11．（24-25七年级上·上海·期中）有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 12．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 13．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 14．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 15．（2024七年级上·上海·专题练习）分解因式：． 16．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 题型五 完全平方公式分解因式（共8小题） 17．（24-25七年级上·上海·期中）已知实数a，b，c，d满足，且，，则（    ） A．a、c都是正数 B．a、c都是负数 C．a、c互为相反数 D．以上都不对 18．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算= ． 19．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 20．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 21．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 22．（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 23．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 24．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 题型六 综合运用公式法分解因式（共3小题） 25．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 26．（23-24七年级上·上海·期中）分解因式： 27．（24-25七年级上·上海·期中）（1）分解因式：               （2）分解因式： 题型七 综合提公因式和公式法分解因式（共5小题） 28．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 29．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 30．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 31．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式： 32．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求的值． 题型八 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 33．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 34．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 题型九 十字相乘法（共6小题） 35．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 36．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 37．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 38．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 39．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 40．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 题型十 分组分解法（共4小题） 41．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 42．（22-23七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 43．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 44．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 题型十一 因式分解的应用（共7小题） 45．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，，那么 47．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 48．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 49．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 50．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 51．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：. $专题03 因式分解 题型1 判断是否是因式分解（常考点） 题型7 综合提公因式和公式法分解因式（难点） 题型2 已知因式分解的结果求参数（重点） 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 题型3 提公因式法分解因式（重点） 题型9 十字相乘法（重点） 题型4平方差公式分解因式（重点） 题型10 分组分解法（重点） 题型5 完全平方公式分解因式（重点） 题型11 因式分解的应用（难点） 题型6 综合运用公式法分解因式（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断是否是因式分解（共4小题） 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项正确； B、是整式的乘法，此项错误； C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项错误； D、是整式的乘法，此项错误， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，从左到右的变形不是把多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解； B、，从左到右的变形不是把多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解； C、，从左到右的变形不是把多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解； D、，从左到右的变形是把多项式转化成几个整式积的形式，故是因式分解． 故选：D 3．（23-24七年级上·上海松江·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】根据因式分解概念进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； B、这个多项式没办法进行因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； C、是因式分解，故该选项是正确的； D、这个多项式没办法进行因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的概念，一个多项式化为几个整式的积的过程叫因式分解；难度较小． 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，则①不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，则②不是因式分解； 是乘法运算，则③不是因式分解； 符合因式分解的定义，则④是因式分解； 符合因式分解的定义，则⑤是因式分解； 中对象不是整式，则⑥不是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 题型二 已知因式分解的结果求参数（共2小题） 5．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多多项式的乘法法则把等号右边化简，可得、，然后对a、b的值讨论可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴、， 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 故选：C． 6．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】设，根据多项式的乘法得出，，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 解得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键． 题型三 提公因式法分解因式（共4小题） 7．（22-23七年级上·上海宝山·期中）分解因式正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式． 8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】先找出多项式各项的公因式，提取公因式后，再观察剩余多项式能否继续分解即可．本题主要考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法以及准确找出公因式是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ， ， ， ． 题型四 平方差公式分解因式（共6小题） 11．（24-25七年级上·上海·期中）有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：． 【详解】解：由，得出， 则，则． 故选：B． 12．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题可利用平方差公式对原式进行因式分解，需要先将原式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解． 连续两次利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为： 14．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 【答案】8100 【知识点】数字类规律探索、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数字类的规律探索，利用平方差公式求出，据此得到是从8开始且能被4整除的正整数，再把代入中，计算出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 15．（2024七年级上·上海·专题练习）分解因式：． 【答案】． 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查公式法分解因式．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 16．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【答案】(1)归纳见解析； (2)见解析；；． (3) 【知识点】有理数四则混合运算、计算多项式乘多项式、平方差公式分解因式、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了整式的乘法以及因式分解的应用，解二元一次方程组； （1）根据材料写出速算方法，并用速算方法计算，即可求解； （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为， 进而按照整式的乘法进行计算，最后根据因式分解得出结论； （3）设，，得出，根据平方差公式因式分解得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：这种速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐） 例如： （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为， ∴ ∴满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同； 故答案为：；． （3）解：设， ∴ ∴ ∴ ∵是素数， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得： ∴ 题型五 完全平方公式分解因式（共8小题） 17．（24-25七年级上·上海·期中）已知实数a，b，c，d满足，且，，则（    ） A．a、c都是正数 B．a、c都是负数 C．a、c互为相反数 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．由得，把，代入整理得，求出c，d的值，进而可求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 18．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算= ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】把原式变形后利用完全平方公式因式分解，进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 19．（23-24七年级上·上海松江·期中）若可以用完全平方公式因式分解，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】直接利用完全平方公式进行解题即可． 【详解】解：可以用完全平方公式因式分解， 的值等于：． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式应用，能够熟练掌握完全平方公式是解题关键． 20．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 【答案】/ 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题可先根据多项式乘法法则将原式展开，然后利用完全平方公式进行因式分解．本题主要考查了因式分解中完全平方公式的应用，熟练掌握多项式乘法法则和完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解： ． 22．（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 23．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解．把看作整体，利用完全平方公式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 24．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3)6 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 题型六 综合运用公式法分解因式（共3小题） 25．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 26．（23-24七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法“提取公因式法、公式法、十字相乘法等”是解题关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 27．（24-25七年级上·上海·期中）（1）分解因式：               （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 题型七 综合提公因式和公式法分解因式（共5小题） 28．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键． 根据题意，先提取公因式，再运用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 29．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先找出多项式各项的公因式，通过提取公因式的方法将公因式提出，再对剩余的多项式进行分析，若还能分解则继续分解，直到不能再分解为止．本题主要考查了提公因式法与公式法（完全平方公式）的综合运用进行因式分解．熟练掌握提取公因式的方法以及完全平方公式的形式，并能灵活运用它们对多项式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： ． 31．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式： 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，积的乘方的逆用，解题的关键在于熟练掌握因式分解的方法．利用积的乘方的逆用将化为，再结合平方差公式进行因式分解，最后提公因式，即可解题． 【详解】解： ． 32．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求的值． 【答案】36或60 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，先根据完全平方公式求出，再把所求式子因式分解为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时， ； 当时， ； ∴的值为36或60． 题型八 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 33．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 34．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【答案】16 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可． 【详解】解：原式 ． 题型九 十字相乘法（共6小题） 35．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 36．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 【答案】D 【知识点】十字相乘法 【分析】根据题意直接利用十字相乘法，进行分析判断即可． 【详解】解：∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴另一个因式是， 即， ∴k的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查利用十字乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 37．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 38．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 39．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法继续分解因式即可． 【详解】解； ． 40．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可； （4）先把看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式和十字相乘法进一步分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十 分组分解法（共4小题） 41．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 42．（22-23七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 【答案】是 【知识点】分组分解法 【分析】假设是多项式的因式，则只需将多项式进行分组，可写成，此时两两一组分解因式即可得到结果． 【详解】， ， ， ， ∴是多项式的因式． 故答案为：是 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键． 43．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 【答案】5 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 故答案为：5． 44．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 题型十一 因式分解的应用（共7小题） 45．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用 【分析】本题考查了整式乘法，分解因式的应用，利用整式乘法运算法则将右边的式子展开，根左边对比，等号成立则正确，等号不成立则错误，据此解答即可． 【详解】解：， ； A、，左边不等于右边，故本选项错误，符合题意； B、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； C、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； D、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 46．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，，那么 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解．先将因式分解为，再将其值代入计算即可． 【详解】解：，，， 故答案为：． 47．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．将式子因式分解为，求得，同理可得，，推出，再可化为，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， ， ， 同理求得：，， ， 可化为， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 48．（23-24七年级上·上海长宁·期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用立方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 49．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【答案】(1)甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； (2)十月份甲区比乙区多铺60米排污管 【知识点】列代数式、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，列代数式： （1）根据，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求用甲区十月铺设的米数减去乙区十月铺设的米数，再根据，且计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； （2）解： ， 当，时，原式， ∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管． 50．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【答案】(1)提公因式法，2 (2)2024， (3) 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． （1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ， 则需应用上述方法2024次，结果是， 故答案为：2024，； （3）解： 51．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等，得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，； （2）多项式，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． 根据题意若，则， 故答案为：； （3）由（2）可知因式分解后必有因式， 设， 等式右边， ， =． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握试根法，是解题的关键. $