第12章 因式分解（单元测试）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第12章 因式分解（单元测试） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列变形中，从左到右属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式恒等变形为几个因式乘积的形式，结合因式分解定义逐项验证即可得到答案，熟记因式分解定义、整式乘法公式等知识判定是解决问题的关键． 【详解】解：A、，这个变形，从左到右不属于因式分解，不符合题意； B、，这个变形，从左到右是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； C、，这个变形，从左到右属于因式分解，符合题意； D、，这个变形，从左到右不属于因式分解，不符合题意； 故选：C． 2．多项式与多项式的公因式是在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式把两个多项式分解因式，然后找出公因式即可． 本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：A． 3．把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 【答案】B 【分析】本题考查用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：． 【详解】解：由，得出， 则，则． 故选：B． 5．若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 6．本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块质量相等的鸡米花，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据题意可得纪念品的数量为，进而根据多项式的乘法进行计算求解即可． 【详解】解：根据题意可得，这些鸡米花的数量可能是， 也可能是或， 不可能是， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．整式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的公因式，解题的关键是掌握确定一个多项式的公因式，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“”，则公因式的符号一般为负．据此解答即可． 【详解】解：各项的公因式是． 故答案为：． 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分组分解法分解因式．首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法与十字相乘法与分组分解法分解．利用十字相乘法分解因式即可得解． 【详解】解：． 故答案为：． 10．因式分解：= ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解．将看作整体，从而因式分解为两个多项式相乘的形式． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键． 根据题意，先提取公因式，再运用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将原式化为，然后分组，再根据平方差公式和提公因式法进一步分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．已知，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式对原式进行变形，计算求值即可 【详解】解： ， ； 故答案为：2024． 14．已知：，求的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解及偶次幂的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意等式可变形为，则有，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ∴， ∴， ∴； 故答案为． 15．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用含a、b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解，解题的关键是掌握正方形，长方形的面积公式及因式分解．根据题意表示出长方形的面积，利用因式分解转化为多项式与多项式的积，即可确定长方形的长和宽，继而得到长方形的周长． 【详解】根据题意，长方形的面积为 ∴边长为和， ∴周长为； 故答案为： 16．已知，，，那么 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解．先将因式分解为，再将其值代入计算即可． 【详解】解：，，， 故答案为：． 17．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 18．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 【答案】8100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数字类的规律探索，利用平方差公式求出，据此得到是从8开始且能被4整除的正整数，再把代入中，计算出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．分解因式： 【答案】 【分析】先把二次三项式利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关键． 【详解】解： ． 20．因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可； （4）先把看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式和十字相乘法进一步分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．已知，，求的值． 【答案】36或60 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，先根据完全平方公式求出，再把所求式子因式分解为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时， ； 当时， ； ∴的值为36或60． 22．正数，，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．将式子因式分解为，求得，同理可得，，推出，再可化为，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， ， ， 同理求得：，， ， 可化为， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 23．试说明能被整除． 【分析】本题考查了因式分解的应用，把转化为底数是的幂，再根据幂的乘方进行运算，最后利用提公因式法进行因式分解即可求证，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】证明： ， ∴能被整除． 24．阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查多项式乘以多项式法则、因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键． （1）直接对比系数得出答案即可； （2）根据题意设，进一步展开对比系数得出答案即可． 【详解】（1）∵恒成立， ∴ ∴； （2）设， ∴， ∴， 多项式的另一因式是． 25．下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） (2)在横线上继续完成对本题的因式分解． (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】(1)提公因式法，公式法，分组分解法； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给因式分解过程即可得到答案； （2）先利用平方差公式把第二次式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 【详解】（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； （2）解：原式（第四步） （第五步） （3）解： ． 26．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 因式分解（单元测试） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列变形中，从左到右属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式与多项式的公因式是在（    ） A． B． C． D． 3．把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 4．有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 5．若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 6．本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块质量相等的鸡米花，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．整式各项的公因式是 ． 8．分解因式： ． 9．因式分解： ． 10．因式分解：= ． 11．因式分解： ． 12．因式分解： ． 13．已知，则 ． 14．已知：，求的值 ． 15．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用含a、b的代数式表示） 16．已知，，，那么 17．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 18．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．分解因式： 20．因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 21．已知，，求的值． 22．正数，，满足，求的值． 23．试说明能被整除． 24．阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 25．下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） (2)在横线上继续完成对本题的因式分解． (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 26．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$