1.5等腰三角形 同步练习2025-2026学年 苏科版八年级数学上册

苏科版八年级数学上 1.5等腰三角形（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于E，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 3．如图，中，，，是角平分线，于，、相交于点，则图中的等腰三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．在等腰三角形中，，D是的中点．若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 6．如图，等腰三角形底边的长为6，面积是24，腰的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为（   ） A．5 B．8 C．11 D．14 7．如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 9．一个等腰三角形的周长是36厘米，其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是 厘米． 10．如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为3，则的长为 ． 11．如图，中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则 ． 12．如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 13．如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 14．如图，在中，、的平分线相交于，过作∥，交于，交于，那么下列结论中：①都是等腰三角形；②；③的周长等于；④．其中正确的是 （填写正确的序号） 三、解答题 15．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，，且为奇数． ①求的值； ②试判断的形状． 16．如图，中，，，于，平分，交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 17．如图，在等腰中，，点为边上任意一点，连接．已知，，分别是，，的高．请你写出，，之间的数量关系，并说明理由． 18．如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 19．【模型感知】 （1）如图①，和都是等边三角形，求证：； 【模型应用】 （2）已知，点在直线上，以为边在直线上方作等边三角形，过点作于点．如图②，若点在点右侧，求证：． 20．如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后， ， ． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (3)若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学上 1.5等腰三角形（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C C B C B B 1．B 【分析】本题考查垂直平分线的性质以及直角三角形的性质，运用了等边对等角的思想．解题关键是利用垂直平分线得到线段相等，进而得到角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质建立方程求解，易错点是对垂直平分线性质的应用不熟练，导致无法建立角之间的关系． 已知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，从而推出．在中，利用直角三角形两锐角互余，即，再结合以及，建立关于的方程，进而求解出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， 又，且， ， ． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长度求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若为腰长，为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形． 根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得，则可得，，即、、、是等腰三角形． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， ． 是等腰三角形． 是角平分线，，， ， ， 、是等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， 也是等腰三角形， 此图中有4个等腰三角形． 故选：C． 4．C 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质的综合运用．根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，再根据等腰三角形三线合一的性质可得到，从而可利用直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半即可求得的长． 【详解】解：，D是的中点， ， ． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，平分，， 点是的中点，且， ， ， 的周长． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查的是轴对称−−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键， 连接，由等腰三角形三线合一的性质及面积得，再利用线段垂直平分线的性质得出，即可得出，进而可得出当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值8．最后根据三角形的周长计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线，是线段上一动点， ∴． ∴． ∴当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值为8． ∴的周长的最小值为． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握含的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据得到，再根据题意可得，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在含的中，， ∴． 故选B． 8．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论①；过点作于点，证明，得，，可判定结论③；根据题意可证，得到，，从而判断结论②；结合上述证明可得，则有，进而得到，可判定结论④，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点作于点， 由①的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 由①可知，，，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：B ． 9．6 【分析】本题考查了比的应用，解答此题的关键是等腰三角形的特征，弄清这个等腰三角形三边长度的比，然后再根据按比例分配问题解答． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的特征，这个等腰三角形三边的比是，即底为“2”，把36厘米平均分成份，先用除法求出1份的长度，再用乘法求出2份的长度． 【详解】解：根据题意，这个三角形三条边长度的比是 （厘米） 故答案为：6． 10．6 【分析】本题主要考查等腰直角三角形性质、角平分线性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和利用角的关系推导全等是解题关键． 延长、交于点F，利用角平分线性质和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明三角形全等，从而得到． 【详解】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，. 是等腰直角三角形，， ， 又∵， ， 又∵，， ， ． 故答案为：6． 11．6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．如图，过点作交的延长线于点，由“”可证，可得，可得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 12．/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 13．16 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 14．①② 【分析】本题综合运用了角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．结合角平分线的性质和平行线的性质，即可证明和是等腰三角形，然后根据线段的和差分析其它结论． 【详解】解：①∵的平分线相交于F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴都是等腰三角形．故①正确； ②根据①得．故②正确； ③根据②得．故③错误； ④和不一定相等，∴和不一定相等．故④错误． 故答案为：①②． 15．(1) (2)①②为等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，化简绝对值： （1）根据三边关系结合绝对值的意义，进行化简即可； （2）根据三角形的三边关系求出的值，根据三角形的分类判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原式； （2）①∵，， ∴， ∴， ∵为奇数． ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，得出，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）证明：是等边三角形 ，， ， ， ， 又， ， ． 17．，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的面积，等式的性质，运用两种方法表示同一个三角形的面积，得出等量关系是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ， 即． 又， ， ． 18．(1) ； (2)，见解析 (3)成立．证明见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可； （4）连接，过点C作，垂足分别为M，N， 由（3）得，进而得到，即，得到，根据角平分线的判定定理即可证明． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中，， ∴ ()， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； （2）同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）成立．证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴． （4）证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图． 由（3）得， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 19．（1）见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明即可得出结论； （2）在射线上截取，连接，得出是等边三角形，证明，得出对应角相等，再根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，在射线上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ， ， ， ，即， ； 20．(1)3；3 (2) (3) 【分析】本题考查了等边对等角、全等三角形的性质、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）由题意得，与不相等，根据等边对等角得到，由与全等，可得，则有，，进而得到，，即可求出点Q的运动速度； （3）比较点和点Q的运动速度可得第一次相遇的时间为点Q第一次追上点P的时间，设经过后点P与点Q第一次相遇，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：经过后，，， 故答案为：3；3； （2）解：由题意得，与不相等， ∵，点D为的中点， ∴，， ∵要使与全等， ∴， ∴，， ∴，， ∴点Q的运动速度为， ∴当点Q的运动速度为时，能够使与全等； （3）解：由（2）得，点Q的运动速度为， ∵， ∴点P与点Q第一次相遇的时间为点Q第一次追上点P的时间， 设经过后点P与点Q第一次相遇， 则， 解得， ∴经过后点P与点Q第一次相遇． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $