精品解析：山西省忻州市静乐县多校联考2025-2026学年上学期第一次月考期试卷九年级数学试卷

山西省2025～2026学年九年级第一学期10月质量监测 数学（人教版） 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅰ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 【详解】解：A、，化简后得，是一元一次方程，故选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是一元二次方程，故选项符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据根的判别式求解即可． 【详解】， ， ， ∴一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 5. 要得到二次函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移方法准确计算是解题的关键． 根据二次函数图象的平移口诀：上加下减，左加右减平移即可． 【详解】向右平移2个单位变为：， 向上平移一个单位变为：； 向右平移2个单位，再向上平移1个单位． 故选． 6. 已知抛物线经过坐标原点，那么a等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质的知识点，根据二次函数的图象过原点，可以得到，即可求出a的值． 【详解】解：∵抛物线经过坐标原点， ∴，解得， 故选：A． 7. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 当时，y有最大值2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数（抛物线）的基本性质，包括开口方向、对称轴、与y轴的交点及函数最值；解题的关键是熟练掌握二次函数一般式（）的性质：的符号决定开口方向，对称轴公式为，与y轴交点为，时函数有最小值、时函数有最大值（均在对称轴处取得）． 先明确抛物线中、、；判断选项A时，根据的符号确定开口方向；选项B用对称轴公式计算；选项C令求对应的值得到与y轴交点；选项D根据的符号判断最值类型，再计算对称轴处的函数值确定最值． 【详解】解：对于抛物线，其中，， A、∵，根据二次函数性质，时抛物线开口向下，此选项不符合题意； B、根据对称轴公式，代入、得：，即对称轴是直线，此选项不符合题意； C、求与y轴的交点，令，则，即交点坐标是，此选项不符合题意； D、∵，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值；对称轴为，代入函数得：，即当时，有最大值2，此选项符合题意； 故选：D． 8. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解． 【详解】观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了用函数图像解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值． 9. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 10. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可． 【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解方程是解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以该方程的解为：，． 12. 抛物线与x轴的交点为和，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，令求出x的值即可求解． 【详解】解：当时， ， 解得， ∴抛物线与x轴的交点为和， ∴． 故答案为：5． 13. 已知抛物线的顶点是，形状与相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由形状与函数的图象相同且开口方向相反可知，把顶点代入顶点式即可求得抛物线解析式．本题考查了二次函数解析式的求法，掌握顶点式的特点是解决本题的关键． 【详解】解：设抛物线解析式为， 形状与相同，但开口方向相反， ∴， ∴ 把顶点代入得： ， 故答案为：． 14. 已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是：_________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算和时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为： 15. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米. 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1) 设函数解析式为y=ax2+bx+c 把A. B. C三点分别代入得出c=2.5 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1 解得a=2，b=−4，c=2.5. ∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5. ∵2>0 ∴当x=1时,ymin=0.5米． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ，或， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ，． 17. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 3 y … 4 20 （1）请观察表格填空． ①此函数图象的开口向______，顶点坐标为______； ②当y的值随x的值增大而增大时，x的取值范围是______． （2）请利用表格中的数据求出二次函数的解析式． 【答案】（1）①上，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数解析式． （1）①根据表格数据作答即可； ②根据二次函数的性质作答即可； （2）将表格数据代入计算即可． 【小问1详解】 ①由表格可知，二次函数经过，，， 可知此函数图象的开口向上，顶点坐标为， 故答案为：上，； ②∵二次函数顶点坐标为， ∴二次函数对称轴为直线， ∵此函数图象的开口向上， ∴当y的值随x的值增大而增大时，x的取值范围是， 故答案为：； 【小问2详解】 由表知，二次函数图象经过点，，， 代入得， 解得， ∴． 18. 关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） （2）的值为，另一个根是 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式求解； （2）根据方程根的意义，代入方程，求出的值，再利用根与系数的关系求出另一个根即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵方程的一个根是， ∴， 解得：， ， 设，方程的另一个根， ∵， ∴，， 解得：， 的值为，另一个根是． 19. 某地动物园是一个集动物观赏、互动体验、科研科普教育于一体的综合性生态旅游度假景区．景区计划修建一座抛物线形拱桥（如图1），按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，求出此时水面宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数（抛物线）在实际几何问题中的应用，涉及抛物线的对称性及解析式的代入计算；解题的关键是利用抛物线的对称性，结合水面宽与横坐标的关系，先求出正常水位对应的纵坐标，再根据水位上升高度确定新纵坐标，代入解析式求对应横坐标，进而计算新水面宽度． 根据抛物线的对称性，正常水位水面宽，则A、B的横坐标为，代入解析式求出正常水位的纵坐标；水位上升后，计算新的纵坐标，将其代入抛物线解析式求出对应的横坐标（互为相反数），两个横坐标的绝对值之和即为水面宽． 【详解】解：依题意得：当时，， 当水位上升时，则此时， 则：，解得：或， ∴水面宽为：． 20. 一盔一带践于行，平安顺达始于心．太原交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌进价为60元/个，经市场预测，当售价为75元/个，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】85元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设该品牌头盔上涨x元，根据题意列方程求解，根据“尽可能让顾客得到实惠”舍去较大的解，最后求售价即可． 【详解】解：设该品牌头盔上涨x元， ， 解得或（舍）， 元． 答：该品牌头盔实际售价应定为85元． 21. 为庆祝国庆节，某地文旅部门设计了一款印有当地特色图案的文化衫，通过景区商店和线上平台同步销售，收益用于支持乡村文化振兴．已知文化衫的成本为30元/件，销售单价不低于成本价，且不高于50元/件．经市场调研发现，该文化衫每天的销售量（件）与销售单价x（元/件）之间的关系是一次函数（其图象如图所示）设每天的销售利润为w元． （1）请根据图象分别求出у与x，w与x的函数解析式； （2）为在国庆期间吸引游客，商家希望每天的销售利润达到800元，销售单价应定为多少元/件？ （3）国庆期间，能否通过调整单价使每天利润达到1260元？若能，求出此时的单价；若不能，请说明理由 【答案】（1）， （2）40元/件 （3）不能通过调整单价使每天利润达到1260元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数以及一元二次方程在销售问题中的应用． （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润1260元，列出方程，再根据，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价30元，且不高于50元/件销售， ∴， ∴每天的销售利润为． ∴，； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于50元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为40元/件时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得，， ∵，该方程无解， ∴不能通过调整单价使每天利润达到1260元． 22. 【问题背景】为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下的四个全等三角形内种植黄色花卉,的长为，红、蓝、黄三种花卉的单价分别为元元元． 【建立模型】设的长为，购买花卉的总费用为W元． （1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （2）求W与x之间的函数表达式． 【答案】（1）红色花卉的种植面积：，蓝色花卉的种植面积：，黄色花卉的种植面积： （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据图形求出各种花卉的种植面积是解题的关键． （1）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面积公式求出蓝色花卉的种植面积，再用大正方形的面积小正方形的面积红色花卉的种植面积黄色花卉的种植面积； （2）根据总费用各种花卉的费用之和列出函数解析式即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四个阴影部分的三角形全等， ∴ ∴红色花卉的种植面积：， ∵， ∴ 蓝色花卉的种植面积：， 黄色花卉的种植面积：， 【小问2详解】 解：由题意可得： ． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点在直线上方的抛物线上，连接，，求四边形面积的最大值，及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）面积最大为，此时 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式求解、一次函数的解析式求解和二次函数综合应用，准确分析计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，表示出的面积，再求出最大值即可． 【小问1详解】 将，代入中， 得，解得， ∴． 【小问2详解】 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，设，则， ， 由题可得， ， 当时，的面积有最大值，此时， 的面积为， 四边形的面积最大值为． 当的面积最大时，四边形的面积最大，最大为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2025～2026学年九年级第一学期10月质量监测 数学（人教版） 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅰ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 要得到二次函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 6. 已知抛物线经过坐标原点，那么a等于（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 当时，y有最大值2 8. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_____． 12. 抛物线与x轴的交点为和，则______． 13. 已知抛物线的顶点是，形状与相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为____________． 14. 已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是：_________（填“”，“”或“”）． 15. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 3 y … 4 20 （1）请观察表格填空． ①此函数图象的开口向______，顶点坐标为______； ②当y的值随x的值增大而增大时，x的取值范围是______． （2）请利用表格中的数据求出二次函数的解析式． 18. 关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 19. 某地动物园是一个集动物观赏、互动体验、科研科普教育于一体的综合性生态旅游度假景区．景区计划修建一座抛物线形拱桥（如图1），按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，求出此时水面宽． 20. 一盔一带践于行，平安顺达始于心．太原交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌进价为60元/个，经市场预测，当售价为75元/个，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 21. 为庆祝国庆节，某地文旅部门设计了一款印有当地特色图案的文化衫，通过景区商店和线上平台同步销售，收益用于支持乡村文化振兴．已知文化衫的成本为30元/件，销售单价不低于成本价，且不高于50元/件．经市场调研发现，该文化衫每天的销售量（件）与销售单价x（元/件）之间的关系是一次函数（其图象如图所示）设每天的销售利润为w元． （1）请根据图象分别求出у与x，w与x的函数解析式； （2）为在国庆期间吸引游客，商家希望每天的销售利润达到800元，销售单价应定为多少元/件？ （3）国庆期间，能否通过调整单价使每天利润达到1260元？若能，求出此时的单价；若不能，请说明理由 22. 【问题背景】为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下的四个全等三角形内种植黄色花卉,的长为，红、蓝、黄三种花卉的单价分别为元元元． 【建立模型】设的长为，购买花卉的总费用为W元． （1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （2）求W与x之间的函数表达式． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点在直线上方的抛物线上，连接，，求四边形面积的最大值，及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $