精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

高二数学练习 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为1的球的表面积为________. 2. 如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为______． 3. 已知，则___________. 4. 若圆的方程为，则实数的取值范围为_____. 5. 已知为常数，若直线与直线的夹角为，则______． 6. 已知，向量，，，若、、是共面向量，则______． 7. 已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______． 8. 已知a为常数，若直线与直线平行，则______． 9. 顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____．（精确到） 10. 如图，O为坐标原点，A在x轴上，，，，若及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______． 11. 对给定的两点和，用以下方式定义“直角距离”：．已知，点N在圆C：上运动，若点P满足，则的最大值为______． 12. 已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若直线l经过点，且l的一个法向量，则l的方程为（ ） A. B. C. D. 14. 已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（ ） A. B. C. D. 15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为．给出以下两个命题：①若直线使得，则过的内心；②存在，使得满足的直线l至少有两条．则下列说法正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知向量，，． （1）若，求x的值； （2）求函数，的单调增区间． 18. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求点到直线的距离． 19. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面，，是棱上一点，且. （1）求二面角的大小； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论. 20. 如图，长方体中，，，点是棱的中点. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； （3）若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 21. 已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． （1）若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； （2）若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． （3）若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学练习 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为1的球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积公式即可得到答案. 【详解】, , ， 故答案为: 【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题. 2. 如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图可得直线、、倾斜角大小关系，据此可得斜率关系． 【详解】设直线、、的倾斜角分别为、、，由图可得，则，也即． 故答案为：． 3. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角的变换及两角差的正切公式得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 4. 若圆的方程为，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的一般方程可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 5. 已知为常数，若直线与直线的夹角为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】分别讨论直线斜率不存在和斜率存在的情况，结合直线夹角公式可构造方程求解. 【详解】设两直线的夹角为，则，，； 由直线得其斜率； 当时，直线的斜率不存在，方程为：， 直线与轴交于，与直线交于点， 直线与轴交于， 则，满足题意； 当时，直线的斜率， 则，解得：（舍）或. 综上所述：或. 故答案为：或. 6. 已知，向量，，，若、、是共面向量，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据共面向量可知存在实数，使得，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 若、、是共面向量，则存在实数，使得， 可得，解得. 故答案为：7. 7. 已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线过线段端点时的斜率，数形结合即可得出直线斜率范围. 【详解】如图， ，, 因为直线l与线段AB相交， 所以， 故答案为： 8. 已知a为常数，若直线与直线平行，则______． 【答案】0或2 【解析】 【分析】根据直线一般式方程，两直线平行的条件可列出方程，再排除掉两直线重合的情况即可． 【详解】根据直线一般式方程，两直线平行的条件可知， 化简得，分解因式可得， 解得或或， 当时，两直线分别为和，均为垂直于轴的直线，平行； 当时，两直线分别为和，斜率均为，且不重合，平行； 当时，两直线分别为和，两直线重合，并非平行，舍去， 综上，或． 故答案为：0或2． 9. 顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】首先在圆锥的底面中利用弧长公式求出，然后在侧面展开图中利用圆心角的求法求出，最后利用余弦定理求出，则即为圆锥侧面上由点到点的最短路线长. 【详解】 由圆锥底面半径为，，则， 又在圆锥的侧面展开图中，， 因此在中，， 故在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为线段的长， 故答案为：. 10. 如图，O为坐标原点，A在x轴上，，，，若及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体为一个圆台挖去一个圆锥的几何体，进而分别计算其体积可求得结论. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为， 因为，，，所以， 由，所以， 解得，所以，所以， 四边形绕y轴旋转一周得到一个圆台， 此圆台的上下底面半径分别为，，高为， 所以圆台的体积为， 三角形绕y轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的底面半径为，高为， 所以， 又及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体为圆台挖去一个圆锥， 所以该几何体的体积为. 故答案为：. 11. 对给定的两点和，用以下方式定义“直角距离”：．已知，点N在圆C：上运动，若点P满足，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】确定点的轨迹，的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 【详解】设点，由可得点的轨迹是如图以为中心的正方形， 其中点离圆较远时，（由，得；由，得）. 因为点在圆即上运动， 所以的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 因为，， 圆的半径， 所以， 故答案为. 12. 已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若直线l经过点，且l的一个法向量，则l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的点法式方程可得直线方程，即可得解. 【详解】因为直线l经过点，且的一个法向量， 故直线的点法式方程为， 即直线的一般方程为. 故选：B 14. 已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，设关于轴的对称点为，数形结合可得三点共线时，取最小，可求解． 【详解】因为，，所以两点均在轴同侧， 不妨设两点均在轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：B. 15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 16. 在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为．给出以下两个命题：①若直线使得，则过的内心；②存在，使得满足的直线l至少有两条．则下列说法正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 【答案】D 【解析】 【分析】①设，直线，根据定义得出，由二次函数的性质得，代入直线方程即可证明；②）不妨设，，的方程为，，得出，由反证法得出，即可证明． 【详解】①设，直线， 对任意确定的，要使得 ，最小， 那么由二次函数的性质可得， 此时直线方程为， 此时直线过的点，因此过的重心，故①错误； ②由①知，取最小值时，l过的重心，不失一般性， 不妨设，其中， 此时的方程为，这里表示直线的倾斜角， 此时 ， 此时为关于的函数、定义域为的函数， 令， 则， 若或，那么函数在上有且仅有一个最小值， 这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有且，即， 由得， 不妨取， 所以，即， 所以为等边三角形． 故存在，使得满足的直线l至少有两条，故②正确． 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知向量，，． （1）若，求x的值； （2）求函数，的单调增区间． 【答案】（1）或 （2）和 【解析】 【分析】（1）首先化简函数的表达式，然后将函数值代入，根据的范围求出的值； （2）根据正弦函数的单调递增区间以及的范围直接求解即可. 【小问1详解】 因为， 则. 若，则， 可得或. 解得或. 所以或. 【小问2详解】 因为， 令时，解得， 可知函数的单调递增区间为 因为，所以令时，；令时，； 所以函数在上的单调递增区间为和. 18. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直斜率乘积为得到直线斜率，然后写出直线方程，联立方程即可解得点的坐标； （2）由点所在直线方程设出点坐标，然后写出中点坐标，代入中点所在直线方程，求得点坐标，结合（1）中直线方程，用点到直线距离公式即可求得结果. 【小问1详解】 由题意可知直线，即， 直线，则， ∴，则直线，即， 联立方程组得，解得， 即得. 【小问2详解】 点在直线上，设点， 则中点在直线上， 则，解得，即， ∴由（1）可得点到直线的距离. 19. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面，，是棱上一点，且. （1）求二面角的大小； （2）在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论. 【答案】（1） （2）存在，证明如下： 设在棱上存在点，且，使得平面， 则，解得，所以， ，， 因为平面的法向量，平面， ， 解得， 则在棱上存在一点，此时为的中点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，即可证明，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）设在棱上存在点，且，使得平面，利用空间向量法求出的值，即可判断. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 在底面为菱形的四棱锥中，底面，， 所以为等边三角形， ，， 又，所以， 以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点在上，且， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 平面的法向量为， 设二面角的大小为，为锐角 则，所以， 则二面角的大小为； 【小问2详解】 为的中点时，平面，证明略. 20. 如图，长方体中，，，点是棱的中点. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； （3）若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 【答案】（1）； （2）存在，，理由如下： 存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由如下： 当时，， 因为BC＝1，所以，所以，则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，所以平面， 又平面，所以. 同理可证，又， 所以直线平面；； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意只需证明平面，即可得到，从而可得答案； （2）存在实数m，使得直线与平面垂直．只需证明，，即可得到直线平面； （3）计算，，设与平面的斜足为O，则，则P为AO的中点，从而可得答案. 【小问1详解】 连接，由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； 【小问2详解】 存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由略； 【小问3详解】 设与平面的斜足为O， 因为， ， 所以,则. 若，则，故. 所以在线段上取一点P，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则P为AO的中点，即． 21. 已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． （1）若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； （2）若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． （3）若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的斜率为，倾斜角为； （2）证明： 设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 易知此时，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； （3）不存在，理由如下： 设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意. 【解析】 【分析】（1）直接利用直线的法向量、斜率、倾斜角定义计算即可； （2）设直线m方程，计算四边形交点，求其面积结合直线过定点计算即可； （3）设直线方程，联立直线得坐标，由弦长公式、三角形面积公式建立方程组计算参数即可说明. 【小问1详解】 易知，其法向量为，则， 所以，即该直线的斜率为，倾斜角为； 【小问2详解】 证明略，过定点； 【小问3详解】 不存在，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $