广东省茂名市高州市高州市十三校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026第一学期学情练习(10月)九年级数学答题卡 18.解： 学校： 班别： 准考证号 条形码粘贴处 考场号 座位号 [0][0] [0] [0][o] [o][0] 姓 名 [1] [1] [ ] [ [2] [2] [2] [2] 2] [2 [3] [3J [3J [3] [3] 3 缺考 [4] [4] [4 [4] 4 [4] 注 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上指定的栏目填写自己 [5] [5] [ [5] 5] 意 的准考证号、姓名、考场号和座位号，用2B铅笔在每张答题卡的“考场号”栏、 [6 [6] 【[61 1 [ [6] 6 “座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号 [ [ ] [ [] 项2保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 [8] [8] [8 8] [8 [8 四、解答题（二）（本大题3小题， 缺考信息点由 [9] [9] 91 [9 /9 3.请注意题号顺序 [9] 监考员填写 19. 选择题答题区 1.用2B铅笔填涂： 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2.修改时用塑料橡皮擦干净后， 3[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 重新填涂所选项； 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 3.填涂的正确方法是： 5[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 12. 13 14. 15. 三、解答题（一）（第16题6分，第17题8分，第18题7分，共21分) 16.(1)(x-1)(x+2)=4(x-1): (2)3x2-6x=1（用公式法). 解： 解： 20 17.解： (1)作图如图所示 (1)证明如下： (2: 图 D B 图2 第1面（共4面） 每小题9分，共27分) 第2面（共4面） 圈 圆 图 21. 解： F C M D A' G Q E B 图1 图2 图3 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） B D 22 A A DI图1 剂阳图 (3)探究②直接写出四边形GAEH面积的最小值： 第3面（共4面） 第4面（共4面）2025-2026第一学期学情练习（10 月)九年级数学参考答案和评分标准 1.D2.D.3.C4.B5.B 6.C.7.A.8.B9.C10.B 11.矩形、菱形和正方形 12.-3. 13.2 14.2√5 15.号 16.(1)x=1,x2=2 25=3+23,3-25 3 3 【详解】(1)解：（x-1)(x+2)=4(x-1) (x-1)(x+2)-4(x-1)=0…1分 (x-1)(x+2-4)=0 (x-1)(x-2)=0…2分 x-1=0或x-2=0 解得x=1,x=2;…3分 (2)解：3x2-6x=1 3x2-6x-1=0 a=3,b=-6,c=-1 △=(-6)2-4×3×(-1)=48…1分 6±4W33±2V3 …2分 2×3 3 解得5=3+2V5,本=3-2V5 …3分 3 x2= 3 答案第1 17.(I)DE∥AC,证明见解析（②）DC=BE, 2 【详解】(1)作图如下： D O …2分 B E 判断：DE∥AC 证明： ,四边形ABCD是菱形， ∴.AD∥BC,AD=BC,…3分 ∴.AD∥BE, .BC=CE, .AD=CE,…4分 ∴.四边形ADEC是平行四边形，…5分 ∴.DE∥AC.…6分 (2)BDV3DE…8分 18.解：能.理由：.a2+4b2+2a-4b十2=0， ∴.a2+2a+1+4b2-4b+1=0.…2分 ∴.(a+1)2+(2b-1)2=0.…4分 (a+1)2≥0，(2b-1)2≥0，…5分 .a+1=0,2b-1=0.…6分 .a=-1,b=0.5.…7分 19.【解答】(1)证明：△ =[-(m+3)]2-4×1×3m=m2-6m+9=(m-3)2 …2分. .(m-3)2≥0，即△20， .无论m取任何实数，方程总有实数 根；…3分 （2)解：当腰为4时， 把x=4代入x2-m+3)x+3m=0,…4分 得，16-4m-12+3m=0,…5分 解得m=4;…6分 当底为4时， 页，共4页 则程x2-(m+3)x+3m=0有两相等的实数 根…7分， △=0， .(-3)2=0,…8分 m=3, 综上所述，m的值为4或3.…9分 20.解：(1)证明：，∠a+∠EAC=90°，∠NAF +∠EAC=90°， ∴.∠a=∠NAF.…1分 又.∠B=∠F,AB=AF,…2分 ∴.△ABM≌△AFN(ASA).3分 .∴.AM=AN.…4分 (2)当旋转角∠a=30°时，四边形ABP℉是菱 形.…5分 理由：，∠a=30°，∠EAF=90°， ∴.∠BAF=120°.…6分 又.∠B=∠F=60°， .∴.∠B+∠BAF=60°+120°=180°， ∠F+∠BAF=60°+120°=180°. ∴.AF∥BC,AB∥EF.7分 ∴.四边形ABP℉是平行四边形.…8分 又.AB=AF,∴.四边形ABPF是菱形.…9分 21.解：(1)△ABC是等腰三角形.…1分 理由：.x=一1是方程的根， ∴.(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0.…2分 ∴.a+c-2b+a-c=0.3分 .2a-2b=0..a=b. ∴.△ABC是等腰三角形.…4分 (2)△ABC是直角三角形.…5 理由：方程有两个相等的实数根， ∴.△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0.…6分 ∴.4b2-4a2+4c2=0.∴.a2=b2+c2.…8分 .△ABC是直角三角形.…9分 答案第2 2.Q24,学回当：-号时，直线心将菱形面 积分成1：2两部分 36(0<t≤2.5) (3)y= 存在最大值18， 30-)25<t<】 此时点P运动到AB的中点，点Q运动到与点D 重合 (1)解：C(4,0),D(0,-3), ∴.OC=4,OD=3. .OC⊥OD, ∴.CD=VOD2+OC2=5.…1分 ,四边形ABCD是菱形， ∴.菱形面积 5=4SaD=4×}x0C×0D=4×2x4×3=24.… 2 2分 小菱形的高h=S4，」 CD5;…3分 y◆ D (2)解：如图1.由 C 2 D图1 已知可得：AP=t,C0=2t,则D0=5-2t. 则 SAPQD=(4P+D0)小h+2 =北*5-20登2-号5-小4分 若直线PQ将菱形的面积分成1：2两部分，则 1 2 S梯形9D=3S或专S. 3 3 2 即号6-)24，或 (5-t)= ×24.…5 3 3 分 解得：t=或t= （舍去). 3 3 :当1=时，直线P吧将菱形面积分成1：2两部 分.…6分 (3)当Q在CD上，即0<t≤2.5时，…7分 见图2. y=S形Peg54P+CQ-h+2 页，共4页 ,24.136 =(t+2t)×2×三=- 525…8分 此时，y随t的增大而增大 ∴.当t=2.5时，y=18取得最大值.…9分 B 1 2 D图2 当Q在AD上，即2.5<t<5时…10分， 见图3. y=S梯形ArcD-SAcD2 -aP4c0-号0A +列2-列4 号0-…11分 .此时y随t的增大而减小，无最大值.…12 分 40<1s25) 36 ∴.y= 1 5(10-0(2.5<t<5) 在点P、9运动的整个过程中，y有最大值18， 此时点P运动到AB的中点，点Q运动到与点D 重合.…13分 P 2D 图3 23.(1)正方形，证明见解析；(2)12√3；(3) 27 ①不变，定值是12：② 解：(1)四边形AEFD是正方形，理由如下： .四边形ABCD是矩形， 答案第3 .∠D=90°，AB∥CD, ∴.∠FAE=∠DFA,…1分 由第一步折叠可知： ∠FAE=∠DAF,AD=AE,FD=FE, ∴.∠DAF=∠DFA, .AD=FD, ∴.AD=AE=FD=FE, .四边形AEFD是菱形，…2分 又.∠D=90°， .四边形AEFD是正方形；…3分 (2)连接DN, D M 由折叠得， AP=PD-T AD=3.AN=AD=6.POL ADZDAM=ZNAM .'DN=AN=6, .'DN=AN=AD=6, .△ADN是等边三角形，…4分 .∠DAN=60°， ∴.∠DAM=∠DAN=30°， 设DM=x,则AM=2x, 由勾股定理得，AD2+DM2=AM2, ∴.62+x2=(2x)2,…5分 解得，x=2√3（负值舍去） .DM=23,…6分 ,共4页 由折叠得， Saw=Sw号ADx DM=2×6x25, S四边形AD=2S。ADM=12V3;…7分 (3)①△FTA的周长不变，为定值12…8分. 理由如下： 如图，连接AA',AT,过点A作AM⊥A'T于 点M, D F M E E 由折叠可知，AG=GA, ∠GA'E=∠GAE=90°， ∴.∠GAA‖=∠GAA, .∠AAE=∠AAE', .DF∥AE, ∴.∠DAA=∠AAE=∠AA'E', .AA'=AA, ∴.△DAA'≌△MAA'(AAS),…9分 ∴.DA'=MA,AD=AM, .'AM=AD=AB, .AT=AT, .Rt△AMT≌Rt△AET(HΠ），…I0分 ∴.MT=ET, ,△FTA的周长 -AF+TF+A'T=AF+TF+AM+TM =AF+TF+A'D+ET-DF+EF=6+6=12, 答案第4页 .△FTA的周长为12.…11分 ②过点H作HQ⊥AD,连接AA',设 GA'=AG=x,DA'=a, A E 在RtADGA中，(6-x)2+a2=x2, 解得x=36+a2 12 由折叠可知，∠AGH=∠AGH,AG=AG, .AA⊥GH, .∵∠H0A=90°， ∴.∠QHG=∠DAA, .'AD=AE=QH,D=∠HQG=90°， ∴.△DAA'≌△QHG(ASA), ∴.QG=DA=a, .QH⊥AD,四边形AEFD是正方形， ∴.EH=AQ=AG-QG=x-a, 27 ∴.当a=3时，S有最小值为 2…14分 共4页2025-2026学年度第一学期学情练习(10月) 九年级数学试卷 一.单选题（每小题3分共30分） 1.下列命题中正确的是（) A.对角线相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2.下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x+2y=1 B.ax2+bx+c=0 14 C.3x+ D.x2-2=0 3.如图，小青用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具 成图1所示的菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=10cm,接着把活动学具做 图2的正方形，则图2中对角线AC的长为() A.52cm B.10cm C.10v2cm D.20cm 图1 图2 4.已知a是方程2x2-3x-5=0的一个解，则-4a2+6a的值为() A.10 B.-10 C.2 D.-40 5.如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,那么(m-n)2024=() A.0 B.1 C.-1 D.32024 6.关于x的一元二次方程x2-4x+4=0有实数根，则k的取值范围是（) A.k<1且k≠0 B.k≤1 C.k≤1且k≠0 D.k<1 7.下列方程一定有解的是（) A.(x+5)2=a2+1 B.(x-3)2+1=0 C.(x+a)2=b D.(ax+3)2+a2=0 九年级数学试卷 第1页（共6页） 8.如图，BD是Rt△ABC斜边AC的中线，E,F分别是BD,CD的中点，连接EF. 若∠A=60°，AD=4,则EF的长为() A.3 B.2W3 C.3v3 D.4V3 9.如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在 一点P,使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为() D A.2W3 B.4 C.23+2 D.4+2W3 做 B 成 10.如图，直线y=子x+6分别与、y轴交于点A、B,点C在线段0A上，线段0B 沿BC翻折，点0落在AB边上的点D处.以下结论：①AB=1O;②直线BC的解析式为 y=-2x+6;( 点D(4,号：④若线段BC上存在一点P,使得以点P、Q、C、D 为顶点的四边形为菱形，侧点P的坐标是（货，子）。正确的结论是() A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 二.填空题（每小题3分共15分） 11.在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形 的有 12.如果关于x的方程(m-3)x-7-x+3=0是一元二次方程，那么m的值 为一 13.(x2+y2)(x2+y2-1)=2已知实数x、y满足，则x2+y2= 第2页（共6页） 14.如下左图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,若将矩形折叠，使点B与点D 重合，则折痕EF的长为 D D 0 C B C E 15.如上右图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,E是BC边上一动点（不含端点B, C),连接EA,F是CD边上一点，设DF=a,若存在唯一的点E,使∠PFEA=90°，则 a的值是 三.解答题一（第16题6分，第17题8分，第18题7分，共21分） 16.解下列方程： (1)(x-1)(x+2)=4(x-1); (2)3x2-6x=1(用公式法). 17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O (1)实践与操作：请以点C为圆心，BC为半径，画弧交BC的延长线于点E,连接 DE。判断DE与AC的位置关系，并作证明。 (2)在(1)的条件下，若∠BAD=120°，直接写出：线段DE 与BD之间的数量关系。 18.已知实数a,b满足a2+4b+2a一4b+2=0,你认为能够求出a和b的值吗？如 果能，请求出a,b的值；如果不能，请说明理由. 第3页（共6页） 四.解答题二（每题9分共27分) 19.已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+3m=0. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值. 20.【注重实践探究】某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且 含60°角的直角三角板ABC与三角板AFE按如图1所示放置，现将三角板AEF绕点 A按逆时针方向旋转a(0°<a<90°)，如图2，AE与BC交于点M,AC与EF交于点 N,BC与EP交于点P. A A F B B 4 M 图1 图2 (1)求证：AM=AN; (2)当旋转角∠a=30°时，判断四边形ABP℉的形状，并说明理由. 21.已知关于x的一元二次方程(a十c)x2+2bx+(a一c)=0,其中a,b,c分别为 △ABC三边的长. (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由. 九年级数学试卷 第4页（共6页) 五.解答题三（第22题13分，第23题14分共27分） 22.如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点分别在x轴、y轴上，其中C, D两点的坐标分别为(4,0)，(0，-3).两动点PQ分别从A、C同时出发，点P以每秒 1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，点Q以每秒2个单位的速度沿折线CDA向 终点A运动，设运动的时间为t秒. (1)求菱形ABCD的高h和面积s的值； (2)当点Q在CD边上运动时，t为何值时直线PQ将菱形ABCD的面积分成1：2 两部分； (3)设四边形APCQ的面积为y,求y关于t的函数关系式（要写出t的取值范 围)：在点P、Q运动的整个过程中是否存在y的最大值？若存在，求出这个最大值， 并指出此时点PQ的位置；若不存在，请说明理由. x A D 图1 备用图 第5页（共6页） 23.问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活 动（每个小组的矩形纸片规格相同），己知矩形纸片宽AD=6. F C M C D 力 G E H E B E 图1 图2 图3 动手实践： (1)如图1，A小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在AB边上的点E处，折痕为AF, 连接EF，然后将纸片展平，得到四边形AEFD.试判断四边形AEFD的形状， 并加以证明， (2)如图2，B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕P2, 再次过点A折叠使点D落在折痕PQ上的点N处，得到折痕AM,连结N,展平 后得到四边形ANMD,请求出四边形AWMD的面积. 深度探究： (3)如图3，C小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD,EF上取点G, H,将四边形AEFD沿GH折叠，使A点的对应点A始终落在边DF上（点A不与 点D,F重合)，点E落在点E'处，AE与EF交于点T 探究①当在DF上运动时，△FTA的周长是否会变化？如变化，请说明理由； 如不变，请求出该定值 探究②直接写出四边形GAEH面积的最小值， 第6页（共6页）