精品解析：山东省泰安第一中学青年路校区2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

泰安一中青年路校区高一十月份诊断性测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则的非空真子集共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】将集合的所有非空真子集列举出来，即可得解. 【详解】因为集合， 所以其非空真子集为，，，，，， 所以非空真子集共有个， 故选：B. 2. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，则，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，因为，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值为5， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3. 某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据容斥原理计算． 【详解】由容斥原理知两个兴趣小组至少参加一个的人数为， 故选：C． 4. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 6. 设函数，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，分类讨论，分别计算可得. 【详解】因为，又， 所以或， 解得或. 故选：C 7. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 由，，得或， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 8. 命题：“，”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，即，，求出的取值范围，根据小范围能推大范围，大范围不能推小范围，结合必要不充分条件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】由题意得，， 即，， 即，解得， 对于：能推，但不能推， 所以是的充分不必要条件，故错误； 对于：能推，但不能推， 所以是的充分不必要条件，故错误； 对于：是的充分必要条件，故错误； 对于：不能推，但能推， 所以是的必要不充分条件，故正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用特值法判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】对于A，若，取，则，故A不正确； 对于B，若，取，则，此时，故B不正确； 对于C，若，取，则，故C不正确； 对于D，若且，即且， 则，可得，故D正确， 故选：ABC. 10. 以下结论正确的是（ ） A. 函数的最小值是2； B. 若且，则； C. 的最小值是2； D. 函数的最大值为0． 【答案】BD 【解析】 【分析】根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D. 【详解】对于A，当时，结论显然不成立，故错误； 对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确； 对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误； 对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BD 11. 对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 既无最大值也无最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用图象判断各选项. 【详解】由得，作出函数的图象，如图，由图可知无最大值，也无最小值，当的最大值为， 时，，所以不等式的解集为， 所以A错，BCD均正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果集合中只有一个元素，则的值是__________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】当，，满足条件，当，由，求得．综合可得的值． 【详解】当，，满足条件； 当，由，则得， 所以当或时，集合中只有一个元素. 故答案为：0或1 13. 已知，且，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】 由题意可得，据此结合均值不等式即可求得的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】，，，， ，当且仅当时，等号成立. 则的最小值为. 故答案为：9. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14. 若函数的定义域为，则的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为集合，集合． （1）求集合； （2）求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直接根据二次根式、分式有意义的条件即可求解. （2）先求出集合，再根据补集、并集的定义即可求解. 【小问1详解】 因为函数的定义域为集合， 则，解得， 即集合． 【小问2详解】 因为或，， 所以，或，则或． 16. 求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【小问1详解】 令，则， 于是有，所以； 【小问2详解】 设， 所以，解得，所以． 17. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）写出满足的等式关系； （2）当各为多少米时，该沉淀箱的体积最大? 求出体积的最大值． 【答案】（1） （2）6米、3米，最大为36立方米． 【解析】 【分析】（1）根据面积关系即可列出关系； （2）由（1）的关系，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，即，； 【小问2详解】 因为，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以． 即当，分别为6米、3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． 18. 已知关于x的一元二次函数. （1）若的解集为或，求实数a、b的值； （2）若实数a、b满足，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2） 当时，解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可； （2）化简可得，再以0，1为分界点讨论a的范围，求解不等式即可 【小问1详解】 ∵的解集为或， ∴与1是方程的两个实数根， 由韦达定理可知：， 解得，. 【小问2详解】 ∵，则不等式化为：， 因式分解为：，(). 当时，化为，则解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得或，不等式的解集为或. 19. 若实数x，y，m满足，则称比接近． （1）若4比接近0，求的取值范围； （2）对于任意的两个不等正数，判断是否比接近，并说明理由； （3）若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围． 【答案】（1） （2）比接近，理由如下： 因为且，所以，且， 所以 ，则， ，即比接近． （3）． 【解析】 【分析】（1）解不等式可得； （2）作差，确定其正负后可得； （3）求出的最小值，然后解不等式可得. 【小问1详解】 由题意得：，则或， 求得或， 所以取值范围为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意：对于x∈R，恒成立， 当时，，当时等号成立， 当时，则，，当时等号成立， 所以，则. 综上，． 故，解得，所以取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中青年路校区高一十月份诊断性测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则的非空真子集共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 60 4. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 8. 命题：“，”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 以下结论正确的是（ ） A. 函数的最小值是2； B. 若且，则； C. 的最小值是2； D. 函数的最大值为0． 11. 对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 既无最大值也无最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果集合中只有一个元素，则的值是__________． 13. 已知，且，则的最小值为______． 14. 若函数的定义域为，则的定义域为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为集合，集合． （1）求集合； （2）求． 16. 求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求． 17. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）写出满足的等式关系； （2）当各为多少米时，该沉淀箱的体积最大? 求出体积的最大值． 18. 已知关于x的一元二次函数. （1）若的解集为或，求实数a、b的值； （2）若实数a、b满足，求关于的不等式的解集. 19. 若实数x，y，m满足，则称比接近． （1）若4比接近0，求的取值范围； （2）对于任意的两个不等正数，判断是否比接近，并说明理由； （3）若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $