精品解析：内蒙古通辽第五中学、霍林郭勒市第一中学2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

2025—2026学年度高二上学期通辽第五中学､霍市一中月考考试联考 数学试题 命题人：唐小乐 审题人：王哲 考试时间：2025.10 第I部分（客观题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线经过原点和，则它的倾斜角是（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 2. 已知椭圆，则该椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与圆相切，则的值是（ ） A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12 5. 已知，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6. 实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直三棱柱的所有棱长均为2，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 直线在轴上的截距为4 C. 直线的倾斜角为 D. 直线的一个方向向量为 10. 动点P在椭圆C上，为C的左､右焦点，直线和直线分别交C于点，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（ ） A. 椭圆焦距为3 B. 离心率 C. 长轴长为5 D. 面积最大值为12 11. 已知点是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（ ） A. 直线是圆与圆的公切线 B. 的最小值为1 C. 四边形面积的最小值为2 D. 直线恒过定点 第II部分（主观题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆外切，则实数______. 13. 若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______. 14. 若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： （1）直线与直线平行： （2）直线在两个坐标轴上的截距相等. 16. 已知椭圆的离心率为，焦距为2. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆中以为中点的弦所在的直线方程. 17. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 18. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面. （i）若点到平面的距离为，求的值. （ii）当时，求二面角的正弦值. 19. 已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆的方程； （2）设垂直于轴的直线交椭圆于两点，试求面积的最大值； （3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于另两点，若，求证：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高二上学期通辽第五中学､霍市一中月考考试联考 数学试题 命题人：唐小乐 审题人：王哲 考试时间：2025.10 第I部分（客观题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线经过原点和，则它的倾斜角是（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角的正切值等于直线的斜率可求得答案 【详解】解：设倾斜角为，则， 因为， 所以， 故选：D 2. 已知椭圆，则该椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定焦点坐标即可. 【详解】由椭圆方程知，，且焦点在轴上，则，故焦点坐标为. 故选：C 3. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 4. 若直线与圆相切，则的值是（ ） A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12 【答案】C 【解析】 【分析】解方程即得解. 【详解】解：由题得圆的圆心坐标为半径为1， 所以或. 故选：C 5. 已知，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出N关于轴对称的点为，再利用对称性可求得的最小值. 【详解】设，则N关于轴对称的点为， 所以的最小值为； 故选：B. 6. 实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法1：令，（为参数），代入利用三角恒等变换即可求解； 解法2：由题意有，利用柯西不等式得，令得，解一元二次不等式即可求解； 解法3：设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为，设圆心距为，利用两圆的位置关系有，即，进而求解. 【详解】由题意令，（为参数）， 所以 ， 所以的最大值是， 解法2： 由有， 所以， 当且仅当时，等号成立， 令，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的最大值是， 解法3： 设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为， 设圆心距为，则，则有， 即，即， 所以的最大值为， 故选：C. 7. 已知直三棱柱的所有棱长均为2，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用补形法，可通过平行直线得异面直线所成角，并利用余弦定理求余弦值，即可作出判断. 【详解】由直三棱柱往下延伸再作一个高相等的直三棱柱，如图： 由于可得四边形是平行四边形， 所以，即或其补角是直线与直线所成角， 由直三棱柱的所有棱长均为2， 所以， 由余弦定理得：， 即直线与直线夹角的余弦值为. 故选：A 8. 已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将题意转化为圆心到直线的距离不大于半径的倍，解不等式即可求解． 【详解】设两切点为，则，由题意，则是正方形， 故（为圆的半径）， 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 又，直线即， 所以，解得，所以r的取值范围是． 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 直线在轴上的截距为4 C. 直线的倾斜角为 D. 直线的一个方向向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】本题涉及直线方程的多种性质，包括点与直线的位置关系、直线在坐标轴上的截距、直线的倾斜角以及直线的方向向量。通过将点的坐标代入直线方程判断点是否在直线上；令求直线在轴上的截距；根据直线斜率与倾斜角的关系求倾斜角；根据直线斜率与方向向量的关系判断方向向量. 【详解】对A，因为，所以点不在直线上，故A错误； 对B，令，得，则直线在轴上的截距为4， 也可化为截距式得到，故B正确； 对C，由直线得直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对D，若直线的一个方向向量为，则斜率，不符合题意，故D错误． 故选：BC. 10. 动点P在椭圆C上，为C的左､右焦点，直线和直线分别交C于点，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（ ） A. 椭圆焦距为3 B. 离心率 C. 长轴长为5 D. 面积最大值为12 【答案】BD 【解析】 【分析】由焦点弦三角形的周长为得，由左顶点和上顶点距离为得，从而，判断ABC选项，由焦点弦三角形的面积判断D选项. 【详解】对于AC，因为点P，A在椭圆上，所以，， 故的周长为， 解得，因为左顶点和上顶点的距离为， 解得，则，焦距为，长轴长为，故AC错误； 对于B,，故B正确； 对于D，， 当点P位于轴上时，面积取得最大值12，故D正确. 故选：BD. 11. 已知点是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（ ） A. 直线是圆与圆的公切线 B. 的最小值为1 C. 四边形面积的最小值为2 D. 直线恒过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据两圆半径判断两圆位置关系；对于B，由向量性质判断垂直关系，用参数表示，继而得到最小的情况；对于C，代入三角形面积公式即的值，得到面积；对于D，两圆相交，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】对于A，连接，因为，圆，圆的半径均为1， 所以圆，圆外切，结合草图可知，， 则圆，圆的公切线方程为，A正确． 对于B，如图，因为，，所以，连接CP， 则，所以当最小时，最小． 当，即为圆心到直线的距离时，最小，， 所以，B正确． 对于C，由题意得，， 所以四边形ACBP的面积， 由选项B可知，C错误． 对于D，设，因为PA，PB是圆的切线，所以点，在以PC为直径的圆上． 因为，所以以PC为直径的圆的方程为， 整理得， 与圆的方程相减得直线AB的方程为， 化简得，由得 即直线AB恒过定点，D正确． 故选：ABD 第II部分（主观题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆外切，则实数______. 【答案】±4 【解析】 【分析】根据圆心距与半径之和的关系即可求解. 【详解】两圆的圆心为，，半径为1和4， 因为两圆外切，则，解得. 故答案为：±4 13. 若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由线面夹角公式即可求解. 【详解】由条件可得：， 直线与平面所成角的正弦值为：， 故答案为： 14. 若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________ 【答案】，， 【解析】 【分析】 化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等； 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时， 会作为增根被舍去；设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，， 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键，本题难度属于困难 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： （1）直线与直线平行： （2）直线在两个坐标轴上的截距相等. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由平行关系可假设直线，代入点即可； （2）分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点的情况，结合直线截距式和点坐标可求得结果. 【小问1详解】 设直线， 过点， ，解得：， 直线方程为. 【小问2详解】 若直线过坐标原点，则直线方程为：，满足题意； 若直线不过坐标原点，可设直线， ，即直线； 综上所述：直线方程为：或. 16. 已知椭圆的离心率为，焦距为2. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆中以为中点的弦所在的直线方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率和焦距概念即可求解椭圆方程； （2）利用点差法来求中点弦方程. 【小问1详解】 由题意，解得， 由，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 设椭圆中以为中点的弦为，且， 由点在椭圆上得，两式相减得， 整理得，又， 所以上式可化为， 所以中点弦的斜率为, 则中点弦的方程为，整理得. 17. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. 【小问1详解】 设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 18. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面. （i）若点到平面的距离为，求的值. （ii）当时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明: 连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又因为为中点，所以在中，有， 因为平面，平面，所以平面； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，（i）求平面的法向量，利用点到平面距离计算求参；（ii）求平面的法向量，利用向量的夹角余弦公式结合同角三角函数关系即可求解； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以，又， 以为原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示. 则有，，，，， ，，，， （i）设为平面的法向量， 则有，即， 取，得，，则是平面的一个法向量， 点到平面的距离为，所以； （ⅱ）当时，，， 设为平面的法向量， 则有，即，取，得，， 则是平面的一个法向量，由（i）是平面的一个法向量， 设二面角平面角为，所以， 所以. 19. 已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆的方程； （2）设垂直于轴的直线交椭圆于两点，试求面积的最大值； （3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于另两点，若，求证：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）1 （3） 因为，所以，， 由消去，得，显然，解得或 ∴点，同理，有，而，∴， ∴直线的方程为 即， 令，则， 所以，直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，即可求解； （2）设，，则，根据点在椭圆上与基本不等式可得结果； （3）分别设出直线，，与椭圆方程联立，解出的坐标，从而得的方程，进而可得结果． 【小问1详解】 由题知，椭圆焦点在轴上， 又过点，所以， 又长轴长是短轴长的2倍，所以， 则椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，，则， 又，所以， 当且仅当时取等号， 从而，即面积的最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $