精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

内江一中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列说法正确的是 A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 梯形一定是平面图形 D. 共点的三条直线确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可 【详解】对于A，由公理3知，不共线的三点确定一个平面，故A不正确； 对于B，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B不正确； 对于C，再同一个平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C正确； 对于D，当三条直线交于一点时，三条直线有可能不共面，故D不正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查的是平面的基本公理和推论，属于基础题. 2. 圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的表面积是底面积的（ ）倍. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为,底面半径为,根据圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为,可得, 然后,可计算侧面积,底面积,得表面积,可求得比值为5. 【详解】设圆锥的母线长为,底面半径为, 依题意可得:,所以, 所以圆锥的侧面积为, 圆锥的底面积为, 所以. 故选:D 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图,考查了圆锥的侧面积,表面积,考查了弧长公式,属于基础题. 3. 如图，一个水平放置的面积是的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中，则等腰梯形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则得出原水平放置的平面图，利用梯形的面积公式表示出直观图的面积：，即可求解. 【详解】根据斜二测画法的规则得原水平放置的平面图： 上底为，下底为，高为的直角梯形， 所以水平放置的平面图形的面积为： 则 . 故选：A 【点睛】本题考查了斜二测画法的规则，考查了基本运算能力，属于基础题 4. 平面平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理对选项逐一判定 【详解】对于A，B，C，当平面，相交时，条件仍然成立，故A，B，C错误， 对于D，存在两条异面直线， 平移后可得，存在两条相交直线， 由面面平行的判定定理可知，平面平面，故D正确， 故选：D 5. 已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因，、两两垂直，故三棱锥的外接球，即是以，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：B 6. 三个平面把空间分成m部分，m的所有可能取值组成集合Q，则Q中所有元素之和为（ ） A. 18 B. 19 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论三个平面的位置关系，从而确定空间被分成的部分数，进而得到集合，继而即可求解. 【详解】当3个平面互相平行时：空间被分成4部分，即， 当2个平面互相平行时：第3个平面与这2个平面相交， 此时空间被分成6部分，即， 当3个平面相交于同一条直线时：空间被分成6部分，即， 当3个平面相交于3条直线时：这3条交线互相平行， 此时空间被分成7部分，即， 当3个平面相交于1点时：此时空间被分成8部分，即， 所以， 所以Q中所有元素之和为. 故选：. 7. 在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（   ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，设平面的法向量为，利用可得，继而即可求解. 【详解】 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 因为平面， 所以，所以， 所以点P的轨迹长度为. 故选：. 8. 在底面直径为，高为6的圆锥中放一个可以任意转动的正方体，则正方体的最大棱长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可先求圆锥的内切球半径，正方体任意转动，就在其内切球内部，体对角线为球的直径即可求解． 【详解】根据题意，先求圆锥的内切球半径，其截面图如下， 底面直径，高，截面内切圆圆心为， 则，， ， 则， 为等边三角形， 则内切圆半径， 即圆锥的内切球半径为2， 设正方体边长为，则体对角线， 解得． 故选：C ． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，G､H､M､N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义即可结合图形关系求解. 【详解】对于A，由G，M均为所在棱的中点，根据三棱柱的性质易得，不为异面直线； 对于B，在题图中， 三点在同一个平面内，直线显然与确定的平面相交， 故直线，是异面直线； 对于C，连接，由N，H均为所在棱的中点，所以，且， 易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交，不是异面直线． 对于D，在题图中， 三点在同一个平面内，直线显然与确定的平面相交， 故直线，是异面直线. 故选：BD． 10. 如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 11. 已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A. 过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形 B. 若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 C. 从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为 D. 若P是侧面内（不包含边界）的动点，则三棱锥的体积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出过点的正方体截面并计算判断A；求出三棱锥的外接球表面积判断B；将正方体表面部分展开求出长判断C；利用等体积法求出体积判断D. 【详解】对于A，如图①，延长交的延长线于点，易得， 所以，连接交于点，由，得， 所以是上靠近的三等分点，在棱上取点，使得，连接， 则，在棱上取点，使得，连接，则，得， 取的中点，连接，则，得，则是上靠近的三等分点， 连接，则五边形即为所求截面，， ，， ，， 因此五边形不是正五边形，A错误； 对于B，如图②，取棱的中点，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 直径长为，则球的表面积为，B正确； 对于C：正方体部分展开图如图③所示，按不同的展开方式，分三种情况： ，，，则的最小值为，C正确； 对于D，由P是侧面内（不包含边界）的动点，得点到平面的距离为长， 三棱锥的体积，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由等角定理得，，可得∽，继而即可求解. 【详解】因为，且＝＝， 所以，同理，， 因为，所以， 同理， 所以∽，且＝＝， 所以． 故答案为：. 13. 一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出正三棱柱的底面积，再利用等体积法表示出图(1)中水面的高度即可. 【详解】设正三棱柱的底面积为，图(1)中水面的高度为，则水的体积.因为E，F，，分别为所在棱的中点，所以，，所以图(2)中水的体积.又，所以. 故答案为： 14. 如图，底面半径为2，高为4的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的半径为，高为，利用相似三角形可得，根据圆柱的侧面积公式、表面积公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】 设圆柱的半径为，高为， 则，即， 所以圆柱的侧面积为， 当时，， 此时， 圆柱的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． （1）求该几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）旋转后所得几何体为圆台，由圆台表面积公式进行计算即可； （2）将圆台侧面沿母线展开求解即可. 【小问1详解】 如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. 【小问2详解】 将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环， ∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴， 又∵，∴，， 设，则的弧长，∴， 连接，取线段中点，连接，则， 在中，，，∴， ∴蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段， . ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 16. 如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）证明，，相交于一点． 【答案】（1）相交，理由见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出为梯形，则与必相交； （2）由为梯形，则与必相交，证明交点在上即可． 【小问1详解】 证明：连接，，如图所示，    因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． 【小问2详解】 因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 17. 在三棱锥中，平行于，的截面与四条棱分别交于E，F，G，H. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， 求证：四边形的周长为定值； （3）若且截面是矩形，求截面面积的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质可得、，由平行的传递性得，同理有，即可证结论； （2）设，计算出和的长度，再由的周长为，即可证结论； （3）由（2）可知，，，则矩形的面积为，根据二次函数性质求解最大值即可． 【小问1详解】 由平面，平面平面，且平面， 所以，同理，所以，同理， 因此，截面四边形为平行四边形. 【小问2详解】 由（1）知：，设， 所以，而， 又，则， 故， 综上，， 故平行四边形的周长为定值． 【小问3详解】 由（1）知：四边形是平行四边形，若四边形是矩形，则， 因为，，所以， 由（2）知设，， 所以，， 所以矩形的面积为， 由可知，当时，矩形的面积有最大值为. 18. 如图，在正四棱锥中，、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． （1）求证：平面MNQ 平面； （2）求证：平面； （3）若，求点B到平面PDA的距离． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先得到平面，平面，根据面面平行的判定定理，即可证明； （2）根据线面平行的性质得到，再结合线面平行的判定定理即可得证； （3）建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再求得，最后结合公式即可求解. 【小问1详解】 因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 因为四棱锥是正四棱锥， 所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心，所以平面， 又因为；平面，所以， 又因为， 所以两两互相垂直， 所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又，所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，解得， 故可取， 故所求为. 19. 如图，在正方体中，其棱长为2； （1）求三棱锥外接球的体积； （2）M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； （3）若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 【答案】（1） （2） （3）点是线段上靠近B的三等分点 【解析】 【分析】（1）将锥体的外接球问题转化为正方体的外接球问题，求出球的半径，代入球的体积公式即可求解； （2）先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积即可； （3）建立空间直角坐标系，设得，求出平面的法向量，进而利用求出，即可判断点的位置. 【小问1详解】 因为三棱锥的顶点也是正方体的顶点，所以正方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，由题意，正方体的棱长为2，则，所以三棱锥外接球的体积为. 【小问2详解】 根据题意，取的中点E，的中点F，连接， 则，所以，且， 故在同一平面内， 连接，因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为梯形； 又由梯形中， ， 即平面截该正方体所得截面为等腰梯形，又， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即平面截正方体所得截面的面积为. 【小问3详解】 如图，建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设，则，所以， 所以， 若平面，则， 化简得，解得，所以， 所以点是线段上靠近B的三等分点时，满足平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列说法正确的是 A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 梯形一定是平面图形 D. 共点的三条直线确定一个平面 2. 圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的表面积是底面积的（ ）倍. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，一个水平放置的面积是的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中，则等腰梯形面积为（ ） A. B. C. D. 4. 平面平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 5. 已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 6. 三个平面把空间分成m部分，m的所有可能取值组成集合Q，则Q中所有元素之和为（ ） A. 18 B. 19 C. 25 D. 30 7. 在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（   ） A. B. 2 C. D. 3 8. 在底面直径为，高为6的圆锥中放一个可以任意转动的正方体，则正方体的最大棱长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，G､H､M､N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 11. 已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A. 过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形 B. 若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 C. 从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为 D. 若P是侧面内（不包含边界）的动点，则三棱锥的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则________． 13. 一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________． 14. 如图，底面半径为2，高为4的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． （1）求该几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 16. 如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）证明，，相交于一点． 17. 在三棱锥中，平行于，的截面与四条棱分别交于E，F，G，H. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， 求证：四边形的周长为定值； （3）若且截面是矩形，求截面面积的最大值． 18. 如图，在正四棱锥中，、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． （1）求证：平面MNQ 平面； （2）求证：平面； （3）若，求点B到平面PDA的距离． 19. 如图，在正方体中，其棱长为2； （1）求三棱锥外接球的体积； （2）M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； （3）若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $