专题01 勾股定理的探究重难点题型专训（2个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 勾股定理的探究重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 勾股定理与无理数 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型四 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型五 利用勾股定理证明线段平方关系 题型六 勾股定理的证明方法 题型七 以弦图为背景的计算题 拓展训练一 勾股定理中的面积问题 拓展训练二 利用勾股定理求长度 拓展训练三 勾股定理中的折叠问题 拓展训练四 勾股定理中的最值问题 知识点一：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 2．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）根据图片求下列直角三角形相应边的长． （1）    （2） ；         ． 知识点二：勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是 定理． 【经典例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）如图，阴影长方形的面积是，则BC的长度为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·江苏扬州·单元测试）晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点，且，，，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，四边形中，，，四边形的面积是，则 ． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知有一正方形纸片． (1)如图①，若正方形纸片的面积为，则它的对角线的长为 ； (2)若一个圆与一个正方形的面积都为，设圆的半径为，正方形的边长为，则r d（填“”“”或“”）； (3)如图②，若正方形纸片的面积为，李明同学想沿这张正方形纸片边的方向裁出一张面积为的小长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由． 【经典例题二 勾股定理与无理数】 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，已知，那么数轴上的点所表示的数是 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点D在数轴上表示．以点D为圆心，长为半径画弧，交数轴右侧于点E，则点E所表示的数是 ． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图甲，把一个边长为2的大正方形分成四个同样大小的小正方形，再连结大正方形的四边中点，得到了一个新的正方形（图中阴影部分），求∶ (1)图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)图甲中阴影部分正方形的边长是多少？ (3)如图乙，在数轴上以1个单位长度的线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，求点A所表示的数是多少？ 【经典例题三 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例3】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第次后所有正方形的面积和为 ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【经典例题四 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例4】（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 在中，平分，平分的外角，且交于，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE垂直平分AB交AB于点E，交AC于点D，则AD的长是 ． 3．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）如图，等边△ABC中，AB=6，BE平分∠ABC交AC边于点E，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ． 4．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2． 【经典例题五 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例5】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，BD为的对角线，于点E，BF⊥DC于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：① ；②；③AB=BH;④;⑤；其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④ 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，E．F是等腰的斜边上的两动点，，且．求证：    (1)； (2)； (3)连接，若，求的最小值． 【经典例题六 勾股定理的证明方法】 【例6】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 1．（2025·江苏南京·模拟预测）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点，交于点，点，，，在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·单元测试）如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为,若，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站，使村庄到停靠站的距离最短．经测量，． ①求停靠站与之间的距离停靠站与之间的距离； ②经测量发现停靠站到村庄和停靠站的距离相等，求停靠站到村庄的距离． 【经典例题七 以弦图为背景的计算题】 【例7】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．若正方形的面积为4，，则正方形的边长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若 ，求． 【拓展训练一 勾股定理中的面积问题】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，于点，，，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，于F，且，，． (1)求的长； (2)求正方形的面积． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 【拓展训练二 利用勾股定理求长度】 1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，和都是直角三角形，，，于点F． (1)求证：； (2)若点B是的中点，，求的长． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·课后作业）（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图①（四边形为垂美四边形）证明这个性质； （2）如图②，在长方形中，是边上一点，且，求的长． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，是等腰直角三角形，是的中点，为边上的动点，以为直角边，为直角顶点，向左侧作等腰直角三角形，连接，与直线交于点． (1)如图1，当点与点重合时． ①求的长． ②求证：． (2)如图2，连接，若，求的长． 【拓展训练三 勾股定理中的折叠问题】 1．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，将长方形沿对角线折叠，使点B落在E处，若，，则： (1)试判断折叠后重叠部分三角形是否为等腰三角形，请说明理由． (2)求重叠部分的的面积． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）折纸艺术起源于中国，它不仅具有艺术审美价值，还蕴含着丰富的数学知识．我校数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．在中，，，点D在边上，连接．将沿CD翻折后得到． (1)如图1，当时，，求AE的长； (2)如图2，点F是边与边的交点． ①当时，兴趣小组的小邕同学认为是等边三角形，小邕的说法对吗？请判断并证明你的结论； ②在折叠过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某校数学课外活动小组用一张长为，宽为的长方形纸片（如图）进行探究活动． (1)动手操作：如图，妙妙沿虚线裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，并按图拼成与原纸片面积相等的正方形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余），根据妙妙的拼接过程，写出线段的长________． (2)深入探究：多多说：“将图的纸片沿着的中点剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据多多的说法设计一种方案．在图上用虚线画出裁剪线，并直接写出各裁剪线的长． 要求：①在图中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及相关线段长度；②在图中画出裁剪线，标出各个裁剪后的图形序号（类似图）；③在图的方框中画出拼接后的大正方形的示意图（标上各个图形的序号，类似图）．【说明：裁剪前和裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余．】 【拓展训练四 勾股定理中的最值问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，． (1)，，． ①如图1，若点P是内一点，且，求的度数； ②如图2，若点P是外一点，且，求的长； (2)如图3，，点P是内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点A，B，C，，，则的长度的最小值为_____，最大值为_____ (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角，，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知：和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形； 【类比探究】 （2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，当时． ①判断的形状，并说明理由； ②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值． 1．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）在中，斜边的长为6，则的值为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 2．（25-26八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点表示，点是原点．以点为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长是（    ） A．3 B． C．6 D． 5．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“风车”，这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·单元测试）如图，若正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为 ． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为了测得湖两岸A点和B点的距离，小李在C点设桩，使，并测得长13米，长米，则A点和B点之间的距离为 米． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 10．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）请用尺规作图法，在如图所示的数轴上作出所对应的点．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，是上一点，．且．求的长． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·课后作业）[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理的探究重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 勾股定理与无理数 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型四 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型五 利用勾股定理证明线段平方关系 题型六 勾股定理的证明方法 题型七 以弦图为背景的计算题 拓展训练一 勾股定理中的面积问题 拓展训练二 利用勾股定理求长度 拓展训练三 勾股定理中的折叠问题 拓展训练四 勾股定理中的最值问题 知识点一：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）根据图片求下列直角三角形相应边的长． （1）    （2） ；         ． 【答案】 13 8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式． 直接利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． （2）在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 故答案为：，． 知识点二：勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是 定理． 【答案】勾股 【分析】根据题意即可得到这个定理就是勾股定理． 【详解】解：这个定理就是勾股定理， 故答案为勾股． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【经典例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）如图，阴影长方形的面积是，则BC的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握长方形面积公式，勾股定理，是解题的关键． 根据长方形面积和宽求出长，再运用勾股定理即可求出长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D， 1．（25-26八年级上·江苏扬州·单元测试）晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 【答案】B 【分析】过C点作于点，连接，根据勾股定理求出的长，再除以鱼的速度即可得解． 本题主要考查了勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过C点作于点，连接， 由题意可得：米，米， ∴米， ∴米， 秒． ∴这条鱼至少6.5秒后才能到达鱼饵处． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点，且，，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，解方程等知识，掌握勾股定理内容是解题的关键；在中，由得，利用勾股定理建立方程求得，再在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵由， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，四边形中，，，四边形的面积是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握相关知识．连接，根据勾股定理以及题意可得，由四边形的面积是，得到，推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，即， 四边形的面积是， ，即， 整理可得：， ， 即， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知有一正方形纸片． (1)如图①，若正方形纸片的面积为，则它的对角线的长为 ； (2)若一个圆与一个正方形的面积都为，设圆的半径为，正方形的边长为，则r d（填“”“”或“”）； (3)如图②，若正方形纸片的面积为，李明同学想沿这张正方形纸片边的方向裁出一张面积为的小长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根在正方形和圆的面积计算中的简单应用，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． （1）按照正方形的面积与边长的关系、利用勾股定理算出对角线的长度可得答案． （2）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，根据实数大小比较的方法，可得答案． （3）设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得关于a的方程，解得a的值，从而可得长方形的长和宽，将其与正方形的边长比较，可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形纸片的面积为，而正方形的面积等于边长的平方， ∴， 在中，， 由勾股定理可得，即， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵圆的面积与正方形的面积都是， ∴圆的半径为，正方形的边长为， ∵， ∴，即． 故答案为：； （3）解：不能裁出长和宽之比为的长方形，理由如下： 设裁出的小长方形的长为，宽为，由题意得： ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴长为，宽为， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为, ∵，， ∴， ∴不能裁出长和宽之比为的长方形． 【经典例题二 勾股定理与无理数】 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点A到表示2的点的距离，即可求解． 【详解】解∶根据勾股定理得∶圆弧的半径为， ∴点A到表示2的点的距离为， 由数轴知：点A在表示2的点左侧， ∴点A表示的数， 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【详解】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，已知，那么数轴上的点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：， 数轴上的点所表示的数是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点D在数轴上表示．以点D为圆心，长为半径画弧，交数轴右侧于点E，则点E所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键．先根据利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，然后利用数轴上的两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，， ， ， 点E表示的数为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图甲，把一个边长为2的大正方形分成四个同样大小的小正方形，再连结大正方形的四边中点，得到了一个新的正方形（图中阴影部分），求∶ (1)图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)图甲中阴影部分正方形的边长是多少？ (3)如图乙，在数轴上以1个单位长度的线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，求点A所表示的数是多少？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由大正方形分成四个同样大小的小正方形，阴影部分为大正方形的四边中点的连线形成，所以阴影部分为大正方形面积的一半，根据正方形面积公式计算即可； （2）由（1）的结论和正方形的面积公式易得到阴影部分正方形的边长； （3）先利用勾股定理得到边长为1的正方形的对角线的长度为，则，而点在原点左侧，利用数轴上数的表示方法即可得到点表示的数． 【详解】（1）解：； （2）设图甲中阴影部分正方形的边长是， 则， ， 即图甲中阴影部分正方形的边长是； （3）以1个单位长度的线段为边作一个正方形，其对角线长为， ， 点表示的数为． 【经典例题三 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例3】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据阴影部分的面积等于，结合勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：∵以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为． ∴ 又∵， ∴， 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，代数式求值，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由勾股定理可得，，，，再代入化简求值即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，，，， ∴ ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第次后所有正方形的面积和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的面积之和等于；依此类推，经过次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的倍，进而得问题答案，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【详解】解：如图： 设直角三角形的三条边分别是，，． 根据勾股定理，得， 即正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 所有正方形的面积之和为； 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正方形的面积正方形的面积 正方形的面积 ， 所有正方形的面积之和为， …， 推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积、半圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到，同理可得，然后根据，，，，即可得到的值． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：10． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）能，面积为，过程见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以直角三角形三边为边长的图形面积，圆的面积公式，三角形面积，正方形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合勾股定理，可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （2）根据圆的面积公式结合勾股定理，可发现大半圆的面积是两个小半圆的面积和； （3）由（2）可得，阴影部分的面积等于直角三角形的面积，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）为直角三角形，， ， 由题意得：，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 是直角三角形，， ， ，，， ， ； （3）设以AC为直径的半圆面积为，以BC为直径的半圆面积为，以AB为直径的半圆面积为， 由（2）可知，，，， ． 【经典例题四 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例4】（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 在中，平分，平分的外角，且交于，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2． 【详解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°， 又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF， ∴CM=EM=MF=4，EF=8， 由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64． 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义. 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE垂直平分AB交AB于点E，交AC于点D，则AD的长是 ． 【答案】 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC的长，再根据垂直平分线的性质解得AE＝，∠AED＝90°，继而在中，根据勾股定理解题． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得：AC＝， 连接BD， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝，AD=BD，∠AED＝90°， 设 在中， ， ， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）如图，等边△ABC中，AB=6，BE平分∠ABC交AC边于点E，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ． 【答案】，6， 【分析】分、BP=AB、三种情况分别讨论求t的值即可． 【详解】解：∵为等边三角形，BE平分∠ABC，AB=6， ∴，,， 若为等腰三角形， 当时，过点P作，交于点，则， 在中，， 设， 则， ∴,即， 解得：， ∴，即， 当时，由AB=6， ∴，即， 当时，如图，在中，，， ∴，即， 综上可知当为等腰三角形时的值为，6，， 故答案为：，6，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 4．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2． 【答案】证明见解析 【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2，继而证得结论 【详解】证明：∵ BD⊥AC， ∴ ∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°， ∴ 在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2， 在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2， 在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2， 在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2， ∴ AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴ AD2+BC2＝AB2+CD2． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 【经典例题五 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例5】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，BD为的对角线，于点E，BF⊥DC于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：① ；②；③AB=BH;④;⑤；其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④ 【答案】B 【分析】根据直角三角形的意义和性质可以得到解答． 【详解】解：由题意， ∴，②正确； ∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE ∴，∴BH=CD=AB，③正确； ∵，∴AB⊥CD， ∴即 ，⑤正确， ∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确 故选B ． 【点睛】本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，E．F是等腰的斜边上的两动点，，且．求证：    (1)； (2)； (3)连接，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，得到，结合，即可得证； （3）易证是等腰直角三角形，得到，进而得到当时，最小，此时最小，求出的长，即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． （3）连接，    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 当取最小值时，最小， ∴当时，最小，此时最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 【经典例题六 勾股定理的证明方法】 【例6】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用面积法验证或证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理． 第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理． 第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理． 第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理， 能够验证勾股定理的有4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点，交于点，点，，，在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，，，，，CIHG，从而可得，进而利用平行线的性质可得，然后可得，从而证明∽，利用相似三角形的性质可得，再设，，从而可得，再证明≌，然后利用全等三角形的性质可得，从而根据，求出的值，进而求出，，的长，最后证明一线三等角模型相似∽，从而利用相似三角形的性质求出的长，然后根据正方形的面积的面积的面积，正方形的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ，，CIHG， ， ， ， ∽， ，， ， 设，， ， ，，， ≌（ASA）， ， ， ， ， 或舍去， ，， ， ，， ，， ， ∽， ， ， ， 正方形的面积的面积的面积 ， 正方形的面积的面积 ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·单元测试）如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式 ． 【答案】c2=a2+b2 【分析】该图形的面积是由3个直角三角形组成的一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答. 【详解】解：依题意得：ab+c2+ab=(a+b)(a+b)， ab+c2+ab=(a2+2ab+b2)， ab+c2+ab=a2+ab+b2， c2=a2+b2， c2=a2+b2. 故答案是：c2=a2+b2. 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解题时，采用了分割法求图形的面积. 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为,若，则的值是 ． 【答案】12 【分析】设8个全等的直角三角形的每个三角形面积为x，中间的正方形MNKT面积为y，则正方形ABCD的面积为8x+y，正方形EFGH的面积为4x+y，正方形MNKT面积为y=，再利用，可知4x+y=12． 【详解】解：设8个全等的直角三角形的每个三角形面积为x，中间的正方形MNKT面积为y，则正方形ABCD的面积为8x+y，正方形EFGH的面积为4x+y，正方形MNKT面积为y=， ∵， ∴（8x+y）+y=24， 则2（4x+y）=24，即4x+y=12， 故=12． 【点睛】此题主要考查勾股定理的证明． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站，使村庄到停靠站的距离最短．经测量，． ①求停靠站与之间的距离停靠站与之间的距离； ②经测量发现停靠站到村庄和停靠站的距离相等，求停靠站到村庄的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①停靠站与之间的距离为；② 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用： （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积即可得证； （2）①直接利用勾股定理进行求解即可；②设，在中利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； （2）①村庄到停靠站的距离最短， ∴， ∵，， ∴； 答：停靠站与之间的距离为； ②设，则：， 在中，， 则：， 解得：； 答：停靠站到村庄的距离为． 【经典例题七 以弦图为背景的计算题】 【例7】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故选：C． 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了几何概率，勾股定理的应用；根据题意求得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．若正方形的面积为4，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，根据得到，再根据正方形的面积公式即可得出，利用全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 正方形的面积为4， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．求得四个全等的直角三角形的斜边长为，设两条直角边分别为，利用图3的外轮廓周长为，求得，再利用图1中，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∴（负值已舍）， 如图，，设，，则， 由题意得， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得， 如图，，设点C到的距离为， ∴，即， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若 ，求． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)20 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质； （1）根据列式化简即可验证； （2）先根据外围轮廓线的周长和勾股定理求出，再根据即可求解； （3）设，，分别表示出、、，再结合即可求解． 【详解】（1）由图可得：，即 整理得： （2）∵外围轮廓线的周长为24，且四条外围轮廓线相等 ∴ ∵ ∴设，则， 在中，由勾股定理得：，即 解得： ∴ ∴ （3）设， ∴，， ∴ ∵ ∴ 整理得：，解得： 【拓展训练一 勾股定理中的面积问题】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，于点，，，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）先中，利用勾股定理可得，再在中，利用勾股定理求解即可得； （2）先求出，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴的面积为， 的面积为， ∴与的面积比为． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，于F，且，，． (1)求的长； (2)求正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的面积． （1）利用勾股定理求解即可． （2）利用勾股定理求解，再结合正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）解：∵，， ∴． ∴正方形的面积为． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）由含角的直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，，设，分别表示出，即可证明； （2）根据含角的直角三角形的性质，，，由勾股定理求得，进一步求得面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵E为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵中，，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴（舍负）． ∴的面积． 【拓展训练二 利用勾股定理求长度】 1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，和都是直角三角形，，，于点F． (1)求证：； (2)若点B是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）由证明，再由全等三角形的性质即可求证； （2）由全等三角形的性质得到，，再由点是的中点解得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 2．（25-26八年级上·江苏扬州·课后作业）（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图①（四边形为垂美四边形）证明这个性质； （2）如图②，在长方形中，是边上一点，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查的是长方形的性质，垂直的定义、勾股定理的应用；熟练掌握长方形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可求，，即可求解； （2）连接．设，则．证明四边形为垂美四边形，由垂美四边形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是垂美四边形， ， ． 由勾股定理，得，， ． （2）如图，连接． 设，则． 四边形是长方形， ，， ． 四边形为垂美四边形， ， ． ． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，是等腰直角三角形，是的中点，为边上的动点，以为直角边，为直角顶点，向左侧作等腰直角三角形，连接，与直线交于点． (1)如图1，当点与点重合时． ①求的长． ②求证：． (2)如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)①；②详见解析 (2) 【分析】（1）①由直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理即可求解；②证明即可； （2）过点作交于点，证明，则；在中计算出，由即可求解． 【详解】（1）①解：是等腰直角三角形，， ； 是的中点，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 由勾股定理得：； ②证明：是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 是的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 【拓展训练三 勾股定理中的折叠问题】 1．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，将长方形沿对角线折叠，使点B落在E处，若，，则： (1)试判断折叠后重叠部分三角形是否为等腰三角形，请说明理由． (2)求重叠部分的的面积． 【答案】(1)重叠部分三角形是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了图形的折叠变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理. （1）先根据平行线的性质得到，再由图形折叠的性质可得到，继而可得出，这即可判断出重叠部分三角形的形状； （2）设长为x，则，，在直角三角形中，利用勾股定理可求出x，继而利用三角形面积公式进行计算求解． 【详解】（1）解：重叠部分三角形是等腰三角形．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由图形折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即重叠部分三角形是等腰三角形； （2）设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故面积为． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）折纸艺术起源于中国，它不仅具有艺术审美价值，还蕴含着丰富的数学知识．我校数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．在中，，，点D在边上，连接．将沿CD翻折后得到． (1)如图1，当时，，求AE的长； (2)如图2，点F是边与边的交点． ①当时，兴趣小组的小邕同学认为是等边三角形，小邕的说法对吗？请判断并证明你的结论； ②在折叠过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①对，理由见解析；②或 【分析】先求出，，，当时，，在中可求出，由翻折的性质得，，则点A，D，E在同一条直线上，由此可得的长； 设，，由翻折的性质得，，则，，进而得，当时，则，进而得，则，由此可对小邕的说法进行判断； ②设，由①得，，，进而得，，则为，再求出，则，因此当是等腰三角形时，有以下两种情况：ⅰ时，则，即，由此解出，进而可得的度数；ⅱ当时，则，即，由此解得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， 由勾股定理得：， 当时， ， 是直角三角形， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 由翻折的性质得：，， ， 点A，D，E在同一条直线上， ； （2）①小邕的说法对，证明如下： 设，， 由翻折的性质得：，， ， 在中，， ， 在中，由翻折得， 当时，则， 在中，， ， 又， ， 是等边三角形； ②设， 由①可知：，，， 在中，， 是的外角，， ， ， 是的外角， ， ， ， 当是等腰三角形时，有以下两种情况： ⅰ当时，则， ， 解得：， ； ⅱ当时，则， ， 解得：， ， 综上所述：当是等腰三角形时，的度数是或 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是易错点． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某校数学课外活动小组用一张长为，宽为的长方形纸片（如图）进行探究活动． (1)动手操作：如图，妙妙沿虚线裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，并按图拼成与原纸片面积相等的正方形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余），根据妙妙的拼接过程，写出线段的长________． (2)深入探究：多多说：“将图的纸片沿着的中点剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据多多的说法设计一种方案．在图上用虚线画出裁剪线，并直接写出各裁剪线的长． 要求：①在图中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及相关线段长度；②在图中画出裁剪线，标出各个裁剪后的图形序号（类似图）；③在图的方框中画出拼接后的大正方形的示意图（标上各个图形的序号，类似图）．【说明：裁剪前和裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余．】 【答案】(1) (2)图形见解析 【分析】（）根据面积相等得出正方形边长，再利用勾股定理求解即可； （）在上截取，顺次连接可得裁剪线，再根据所得图形拼接成正方形即可； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵长方形的面积为， ∴， 由拼接过程可知，，， ∴， 故答案为：； （2）解：裁剪线如图所示：    拼接后的大正方形如图所示： 【拓展训练四 勾股定理中的最值问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，． (1)，，． ①如图1，若点P是内一点，且，求的度数； ②如图2，若点P是外一点，且，求的长； (2)如图3，，点P是内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值． 【答案】(1)①②7 (2) 【分析】对于（1），先说明是等边三角形，将绕点B顺时针旋转得到，连接，可得是等边三角形，即可得，再根据旋转的性质说明是直角三角形，得，然后根据得出答案；②，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F，先证明，可得，接下来说明，再求出，进而求出，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 对于（2），将绕点B逆时针旋转得到，作，先说明，进而得出是等边三角形，结合，得，再根据两点之间线段最短可知的值最小值为的长，然后分别求出，进而得，最后根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：①在中，， ∴是等边三角形． 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转的性质得． ∵， ∴是直角三角形，， ∴； ②如图，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，作交的延长线于点H， ∵，且， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 根据两点之间线段最短可知，当点E，F，P，C共线时，的值最小，最小值为的长． 在中，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 根据勾股定理，得． 的最小值是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点A，B，C，，，则的长度的最小值为_____，最大值为_____ (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角，，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据、的长度即可求出长度的取值范围，即可得解； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明)得到 ，再利用等腰三角形的三线合一得到，然后利用勾股定理分别求解即可； （3）过作，且，连接，， 则，要使最大，只需最大即可；证明)，得到，由，当、、共线时取等号得到的最大值，进而可求解． 【详解】（1）解：∵， (当点在线段上和在的延长线上时取等号)， ∵，， ∴， 即， ∴ 的长度的最小值为，最大值为， 故答案为：，； （2）解：如图， 设与相交于， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在中， ； （3）解：线段的长度存在最大值；理由如下：如图，在上方，过作，且，连接，， ， 即， 要使的长最大，只需的长最大即可， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时取等号， ∴的长的最大值为， ∵，， 则的长的最大值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知：和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形； 【类比探究】 （2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，当时． ①判断的形状，并说明理由； ②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值． 【答案】（1）等腰；（2）的形状不变，理由见解析；（3）①是等腰直角三角形，理由见解析；②最大值为，最小值为2． 【分析】（1）根据线段的和差关系得出，根据三角形中位线定理得出，即可得答案； （2）连接，，利用证明，得出，根据三角形中位线定理可得答案； （3）①连接，，延长，交于，交于，交于，由（2）知，，根据全等三角形的性质，结合三角形内角和定理得出，根据三角形中位线定理，结合平行线的性质得出即可得答案； ②根据勾股定理求出，，根据三角形三边关系得出，根据三角形中位线定理，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，即， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰 （2）的形状不改变，理由如下： 如图，连接，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． （3）①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接，，延长，交于，交于，交于， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②如图，连接， ∵，，，，， ∴，， 解得：（负值舍去），（负值舍去）， ∴，即， ∴的最小值为，最大值为， ∵， ∴的最小值为，最大值为， ∴面积的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，平行线的性质等知识，构造合理的辅助线，灵活运用三角形中位线性质，是解答本题的关键． 1．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）在中，斜边的长为6，则的值为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据在中，斜边的长为6，得出，即可作答． 【详解】解：∵在中，斜边的长为6， ∴， ∴， 故选：D 2．（25-26八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点表示，点是原点．以点为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据正方形边长以及结合勾股定理求出，观察数轴得出点在点的左侧，再列式表示出点表示的数，即可作答． 【详解】解：正方形的边长是1， 正方形的对角线为， ， 观察数轴得出点在点的左侧， ∴点表示的数是． 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理计算即可． 【详解】∵三个正方形围成一个直角三角形， ∴图中字母M所代表的正方形面积是， 故选A． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质证明是等腰直角三角形即可根据勾股定理求得答案． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转后与重合， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“风车”，这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得变化后的直角三角形的斜边长，结合周长的定义解答即可． 本题考查了勾股定理应用，通过勾股定理可将“风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】解：依题意，设“风车”中的四个直角三角形的斜边长为x， 则， 所以， 所以风车的外围周长为． 故选：A． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·单元测试）如图，若正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，解答本题的关键要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设正方形，，的边长分别为，，， 正方形的面积为，正方形的面积为， ，， 根据勾股定理可得， 正方形的面积． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为了测得湖两岸A点和B点的距离，小李在C点设桩，使，并测得长13米，长米，则A点和B点之间的距离为 米． 【答案】5 【分析】此题考查了勾股定理，正确理解题意，掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 根据勾股定理计算可得答案． 【详解】解：在中，米． 故答案为：5． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积． 根据题意判断出，，分别表示出，，，然后相加化简计算即可． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ， ， ， ， 的值是13． 故答案是13． 10．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为 寸． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）请用尺规作图法，在如图所示的数轴上作出所对应的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示无理数的方法，首先作出以2和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是，再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可． 【详解】解：如图所示，A为表示的点， 12．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，是上一点，．且．求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的求解方法是解答的关键．在中，利用勾股定理求出的长，再根据线段的和差即可求得的长． 【详解】解： 在中： 13．（25-26八年级上·江苏扬州·课后作业）[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可知小正方形的边长，根据正方形面积公式计算即可； （2）由题意可知,，由勾股定理得，求出，进而计算即可. 【详解】（1）解：由全等三角形的性质可知小正方形的边长， ∴， ∴图①中小正方形的面积为； （2）解：由题意可知,， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴这个风车的外围周长为． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【答案】【解决问题】；【拓展探究】结论仍成立，理由见解析；【推广应用】30 【分析】本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】[解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $