精品解析：重庆市南坪中学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

2025年重庆南坪中学校八年级（上）10月月考数学试题 一．选择题（4分×6） 1. 下列几组数，能组成勾股定理的（ ） （1），， （2），，（3）， ， （4），， （5），， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列三角形中，a，b，c表边长，A，B，C表角，一定是直角三角形的有（ ） （1）有两个内角互余的三角形；（2）三边长为，2mn，的三角形；（3）三边之比为3：4：5的三角形；（4）三个内角是的三角形；（5）；（6）三边a：b：c=1∶2∶3（7）． A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 3. 直角三角形中，三边的平方和为1800，则斜边长为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 4. 实数，，， ， ， ，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 图直角三角形，两直角边长，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌的正方形，大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，四个说法：，，，．正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（4分×8） 7. 的平方根是_______． 8. 如图所示的网格是正方形网格，______°．（点A，B，C，D，P是网格线交点） 9. 如图中，， ， ，则的面积为_______． 10. 如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是________． 11. 已知的两条边，的长分别为、，则边的长为______． 12. 如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度． 13. 如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C所对应的数为______． 14. 如图，点M，N分别在边上，，点P、Q分别在上运动，连接，则的最小值为_________． 三．解答题（11分×4） 15. 求值或化简： （1）； （2）； （3）． 16. 如图，村和村在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，，又，在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的费用为每千米元． （1）在上选择水厂位置，使铺设水管长度之和的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹） （2）求铺设水管的最省总费用． 17. 如图，在中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，． （1）连接，求证：； （2）问线段、、三者之间的数量关系？并证明结论． 18. 台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆南坪中学校八年级（上）10月月考数学试题 一．选择题（4分×6） 1. 下列几组数，能组成勾股定理的（ ） （1），， （2），，（3）， ， （4），， （5），， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出各组数较小两个数的平方和，与最大的数的平方进行比较，若结果相等，则能满足勾股定理，反之不能． 【详解】解：（1），，故，故能组成勾股定理； （2），，故，故不能组成勾股定理； （3），，故，故不能组成勾股定理； （4），， 故，故能组成勾股定理； （5），， 故，故能组成勾股定理； 综上，故能组成勾股定理的有组数． 故选：C ． 2. 下列三角形中，a，b，c表边长，A，B，C表角，一定是直角三角形的有（ ） （1）有两个内角互余的三角形；（2）三边长为，2mn，的三角形；（3）三边之比为3：4：5的三角形；（4）三个内角是的三角形；（5）；（6）三边a：b：c=1∶2∶3（7）． A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形，故（1）符合题意； （2）∵，， ∴， ∴是直角三角形，故（2）符合题意； （3）设三边分别为，，， 则，是直角三角形，故（3）符合题意； （4）∵，∴，由得，∴，∴三角形是直角三角形，故（4）符合题意； （5）∵，∴,不是直角三角形，故（5）不符合题意； （6）设三边分别为，，，，所以三角形不是直角三角形，故（6）不符合题意； （7）∵，∴，所以，是直角三角形，故（7）符合题意； 故选：C． 3. 直角三角形中，三边的平方和为1800，则斜边长为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．设此直角三角形的斜边是，两直角边分别为，则，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设此直角三角形的斜边是，两直角边分别为，则， 根据勾股定理得：， 所以， 解得或（舍去）， 即斜边长为：． 故选：D． 4. 实数，，， ， ， ，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，故是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数； 是有限小数，故是有理数， ，是整数，故是有理数， ，是整数，故是有理数， 是分数，故是有理数， （相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，故是无理数， 综上，无理数有，，（相邻两个之间的个数逐次加），共个． 故选：B ． 5. 图直角三角形，两直角边长，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题和勾股定理的综合运用，根据折叠的性质得到是解决本题的关键． 根据折叠的性质得，设，则，在中，根据勾股定理得， 然后解方程即可． 【详解】解：折叠，点与点重合，折痕为， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即等于 ． 故选：D． 6. 如图个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌的正方形，大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，四个说法：，，，．正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．根据大正方形的面积和勾股定理可判断；根据小正方形的面积和四个直角三角形全等可判断；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，可判断；利用完全平方公式先求得，进而可判断． 【详解】解：大正方形的面积是， 大正方形的边长是， 利用勾股定理可得， 故说法正确，符合题意； 小正方形面积为， 小正方形的边长是， 四个直角三角形全等， ， ， 故说法正确，符合题意； 根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， 即，化简得， 故说法正确，符合题意； ， ， ， ， 故说法不正确，不符合题意； 综上所述，说法正确的是． 故选：B ． 二．填空题（4分×8） 7. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 8. 如图所示的网格是正方形网格，______°．（点A，B，C，D，P是网格线交点） 【答案】45 【解析】 【分析】连接，，由图可知，，则，然后根据勾股定理可以求得、、的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以得到的度数，然后即可得到的度数． 【详解】解：连接，， 则， 故， 设正方形网格的边长为，则，，， ， 是直角三角形，， 又， ， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9. 如图中，， ， ，则的面积为_______． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．过点作交延长线于点，设，则，根据勾股定理得，，解方程求解即可得的长，进而再根据勾股定理可计算得的长，最后用三角形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点， 设，则， 根据勾股定理得，， 即， 整理得，解得， 即， ， 的面积为． 故答案为： ． 10. 如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查“平面展开﹣最短路径问题”，解题关键是将立体图形根据要求变成平面图形处理． 根据题意，将长方体的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：由题意有以下路线 路线一，如图1， 路线二，如图2， 路线三，如图3， ∵， ∴最短距离为． 故答案为：． 11. 已知的两条边，的长分别为、，则边的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分类讨论，根据勾股定理直接求解． 【详解】解：当边，C为直角边时，则； 当边为斜边时，则； 故答案为：或． 12. 如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，， 得到，， ，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接、， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C所对应的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出OB的长，然后再由题意可得BO=CO，进而可得CO的长． 【详解】∵数轴上点A对应的数为2， ∴AO＝2， ∵AB⊥OA于A，且AB＝1， ∴BO＝＝＝， ∵以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点C， ∴OC的长为， 则点C所对应的数为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是利用勾股定理计算出BO的长． 14. 如图，点M，N分别在边上，，点P、Q分别在上运动，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，勾股定理等知识．正确作出辅助线，找出的最小值即的长是解题的关键． 如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，，由，可得即为的最小值，由对称可知，，，，，则，在中，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，当共线时取等号， ∴即为的最小值， ∴由对称可知，，，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为26， 故答案为：26． 三．解答题（11分×4） 15. 求值或化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握平方根和立方根定义解方程是解题的关键． （1）先将常数项移到等式右边，再化系数为，最后利用平方根的定义计算即可； （2）利用立方根的定义计算即可； （3）利用完全平方公式进行化简，计算二次根式的乘法，最后计算加减混合运算． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 解得； 【小问3详解】 解： ． 16. 如图，村和村在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，，又，在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的费用为每千米元． （1）在上选择水厂位置，使铺设水管长度之和的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹） （2）求铺设水管的最省总费用． 【答案】（1） 解：水厂位置如图所示； （2）铺设水管的最省总费用为元 【解析】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，熟练掌握最短路线的确定方法是解题的关键． （1）作点关于小河的对称点，连接交小河于点，根据轴对称确定最短路线问题，点就是水厂的位置； （2）过点作延长线于点，利用勾股定理列式计算即可求出，再乘以单价计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作延长线于点， ，，， ，， 由勾股定理得，， ， （元）． 答：铺设水管的最省总费用为元． 17. 如图，在中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，． （1）连接，求证：； （2）问线段、、三者之间的数量关系？并证明结论． 【答案】（1） 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） ， 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）由，，得， 即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （）由，，得 ，由，，得，由得， ，则， 所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理等知识， 由得，从而推导出是解题的关键． 18. 台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） 解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响。 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以为圆心，为半径画圆，交于， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为30千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $