3.3二次根式的加法和减法 同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《3.3二次根式的加法和减法》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各式中，化为最简二次根式后含有的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B．1 C． D． 3．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则（   ） A．6 B． C．3 D． 6．已知一个三角形的周长为，其两边长分别为和，则第三边的长是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．的绝对值为 ． 9．计算的结果是 ． 10．计算： ． 11．不等式的解集是 ． 12．设，，则的值是 ． 13．已知最简二次根式与可以合并，则a的值为 14．如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ． 三、解答题 15．计算： (1) (2) 16．计算： (1) ； (2)． 17．已知 ，，，比较的大小关系． 18．先化简，再求值： ，其中 19．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 20．阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______． (2)化简： (3)若，求的值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，以及同类二次根式的定义，掌握以上知识是解题的关键． 利用二次根式的性质逐一化简各选项中的二次根式，进而求解即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了二次根式的化简与减法，对二次根式进行化简并利用二次根式的减法即可求出a． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查二次根式的运算法则，熟练掌握基本法则是关键． 按照二次根式的加减乘除运算法则计算． 【详解】解：A、，正确； B、，错误； C、，正确； D、，正确； 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则与同类二次根式的合并是解题的关键． 先进行二次根式的乘除法，再合并即可． 【详解】解： ． 故选D ． 5．A 【分析】本题考查负指数幂的运算法则以及完全平方公式．先根据负指数幂的运算法则将a、b化简，再利用完全平方公式计算的值． 【详解】解：， ， ， ． ． 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．根据三角形周长公式，用周长减去已知的两条边的长度，即可求出第三边的长度，计算过程中需要先将二次根式化为最简二次根式． 【详解】解：第三边长为． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用，分别求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， 所以， 所以，，， 所以 ， 故选：A． 8． 【分析】本题考查了绝对值的意义，二次根式的性质，确定的正负，再根据绝对值的意义可得答案． 【详解】解：， ， ， 的绝对值为． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了二次根式的减法，先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的减法进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查的知识点是平方差公式在二次根式运算中的应用．即,通过观察算式结构，快速简化运算;题目中的两个括号分别呈现“和”与“差”的形式，直接应用平方差公式展开，避免逐项相乘的繁琐计算，关键在于识别出公式中的和，即 和． 【详解】解： ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查解不等式，二次根式的运算．根据解不等式的步骤求解，最后将分母进行有理化，即可解答． 【详解】解：， ∴，即， ∴，即． 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．逆用同底数幂的乘法和积的乘方变形后，代入利用平方差公式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得．据此即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得： 故答案为： 14．4 【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 对于（1），先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法计算即可； 对于（2），先根据二次根式的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：. ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可； （2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17． 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 18．； 【分析】此题考查了分式的化简和求值，二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号内通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式 ． 19．(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 20．(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根有理化因式的概念和题中的方法进行解答即可； （2）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （3）先分母有理化得到，进一步得到，再整体代入计算即可 【详解】（1）解：∵ ∴的一个有理化因式是， 故答案为：（答案不唯一） （2）解： （3）解：∵ ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $