3.2二次根式的乘法和除法 同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《3.2二次根式的乘法和除法》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则中是（   ） A． B． C． D． 3．计算：的结果为（　　） A． B． C． D． 4．计算结果为（   ） A． B． C． D． 5．设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 6．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．如果，，下列各式： ①    ②    ③    ④． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 二、填空题 8．成立的条件是 ． 9．计算： ． 10．计算： （1） ； （2） ； （3） ； 11．计算： ． 12．已知长方形的面积为，相邻两边分别为，已知，则的长为 ． 13．已知，则代数式的值是 ． 14．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为 ． 三、解答题 15．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 16．计算：． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1) (2)． 19．梅洁装饰品公司要出品一批面积为的长方形剪纸，它的长宽之比为． (1)请你算出长方形剪纸的长和宽分别是多少？ (2)现有面积分别为和的两种正方形原料，采购部小王认为“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小王的说法吗？应该选择那种原料，请计算说明． 20．我们知道，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．由算术平方根的意义，都是实数，二次根式也是实数，它满足实数的加、减、乘、除运算法则．二次根式的乘法法则是：．例如： ．反之 (1)若有意义，写出一个符合条件的的值_____； (2)计算：①，②． (3)化简：①，②． 参考答案 1．C 【分析】此题考查二次根式的计算，根据二次根式的乘法，二次根式的性质分别计算、化简，再判断，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.与无意义，故此项不正确； B.不相等，故此项不正确； C.，相等，故此项正确； D.，不相等，故此项不正确； 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法运算法则，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：B； 3．A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 先根据二次根式成立的条件得到，则，所以原式变形为，然后利用二次根式的性质得到，再利用二次根式的乘法得到，再约分即可． 【详解】解：依题意，， 则， ∴ ； 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算．由条件且可知、均为负数．根据平方根的性质和运算规则，逐一验证各式的正确性． 【详解】解：∵， ∴、同号，， ∵， ∴、均为负数， 和在实数范围内无意义，故①错误； ，不一定等于1，故②错误；故④正确； ，故③正确；    故选：D 8． 【分析】根据二次根式需满足被开方数大于等于零，然后根据题意二次根式的性质列不等式求解即可． 【详解】解：因为，所以， 解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式的概念及性质、一元一次不等式组的解法，关键是根据二次根式的概念列出不等式组即可． 9．4 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，直接根据二次根式的乘法运算法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 10． 2 【分析】本题考查二次根式的除法运算，化简二次根式： （1）（2）直接用除法法则计算； （3）先把带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简； 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； 故答案为：（1）2（2）（3） 11． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法，先计算括号里面二次根式的除法，再计算括号外二次根式的乘法． 【详解】解： 故答案为： 12． 【分析】利用长方形的面积等于，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键． 13． 【分析】此题主要考查代数式求值，完全平方公式的应用及二次根式的乘法，解题的关键是熟知整体法的运用．利用完全平方公式将所求式子变形为，再将代入即可求解． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次根式乘法运算，涉及长方体体积公式，由题意所给长方体棱长，结合长方体体积公式代值，再由二次根式乘法运算法则求解即可得到答案．熟记二次根式乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为 ， 故答案为：． 15．(1) (2) (3) (4) 【详解】本题考查了二次根式的化简．解题的关键在于熟练掌握二次根式的性质 ． （1）被开方数分解因数，再按照积的算术平方根的性质化简； （2）根据商的算术平方根的性质化简； （3）将小数化为分数，再根据商的算术平方根的性质化简； （4）运用公式化简即可． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 16． 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法法则，将两个根式相乘转化为一个根式内的乘法运算，再化简得出结果． （2）利用二次根式的乘除法则，把分子中的根式相乘后与分母的根式进行运算，化简得到答案． （3）按照从左到右的顺序，先进行二次根式的乘法运算，再进行除法运算（转化为乘法），最后化简． （4）把每个根式先化简，然后将除法转化为乘法，依次进行乘法运算，最后化简得出结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． 【详解】（1） （2） 19．(1)长方形剪纸的长和宽分别是， (2)同意小王的说法，应该选择面积为的正方形原料，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根及无理数的估算； （1）设长方形剪纸的长为，则宽为，根据题意列出方程，根据平方根的定义，解方程，进而取正数解，即可求解； （2）分别计算面积分别为和的两种正方形的边长，与（1）中的长比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设长方形剪纸的长为，则宽为 解得：（负值舍去） ∴ ∴长方形剪纸的长和宽分别是， （2）解：同意小王的说法，应该选择面积为的正方形原料，理由如下， ∵，， ∴能用面积为的正方形裁出一块面积为的长方形． 20．(1)（答案不唯一） (2)①；② (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法以及二次根式的性质； （1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可求解； （3）根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得： ∴一个符合条件的的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：① ② （3）解：① ②根据题意得：，故 学科网（北京）股份有限公司 $