3.1　二次根式的概念及性质 习题课件 2025-2026学年湘教版（2024）数学八年级上册

过教材　要点概览 3.1　二次根式的概念及性质 第1课时　二次根式的概念及其基本性质 ≥ 被开 方数 非负实数 第3章　二次根式 初中同步学习导与练·数学·XJ·八上 a a -a 精讲练　新知探究 B 3 4 巩固训练 B 3 5 5 6 巩固训练 C 7 A 12-2m 8 谢谢观赏！ 9 1.二次根式的概念 一般地,形如(a　 　0)的式子叫作二次根式,根号下的数叫作　 　.只有当被开方数是　 　时,二次根式才在实数范围内有意义. 2.二次根式的基本性质 ()2=　 　(a≥0);  =|a|= 探究点一　二次根式的概念及二次根式有意义的条件 例1　下列式子一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 例2　当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1);(2). 解:(1)若有意义,则3x-4≥0,解得x≥.即当x≥时,有 意义. (2)若有意义,则a-3>0,解得 a>3.即当a>3时,有意义. 1.下列式子不是二次根式的是( ) A. B. C. D. 2.(2024湖南模拟)若代数式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是　 　.  3.使是整数的正整数m的最小值为　 　.  4.当x取　 　时,4-的值最大.  x≤ 探究点二　二次根式的基本性质 例3　已知实数a,b与c的大小关系如图所示,化简:- +. 解:由题图可知,a<0,b>0,c>0,|b|<|c|, 所以a-b<0,2a-c<0,-b+c>0. 所以-+ =b-a+2a-c-b+c=a. 5.与结果相同的是( ) A.±3 B.3 C.32 D.方程x2=81的解 6.已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示,则化简|a-1|-的结果是( ) A.2a-3 B.-1 C.1 D.3-2a 7.已知3<m<9,则化简-的结果是　 　.  $$ 基础巩固练 01 第2课时　积的算术平方根 初中同步学习导与练·数学·XJ·八上 2 A B 3 C 8 4 能力提升练 02 5 6 谢谢观赏！ 7 知识点1　积的算术平方根 1.实数a在数轴上对应的点在原点的左边,则=　 　.  -a 2.数学文化　我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,那么该三角形的面积为S=,现已知三角形ABC的三边a,b,c的长分别为2,2,2,则三角形ABC的面积为   　.  知识点2　最简二次根式 3.下列选项中,属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 4.在式子,,,中,是最简二次根式的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2024上海长宁区校级月考)下列各式从左到右一定正确的是( ) A.=a+b B.=· C.=-a D.=2a 6.已知最简二次根式与的被开方数相同,则a+b=　 　.  7.易错题　把-a化成最简二次根式为　 　.  8.已知|x-3|+=0,求的值. 解:因为|x-3|+=0, 所以x-3=0,x-y+1=0.解得x=3,y=4, 所以 = ==10. 9.已知和是相等的最简二次根式. (1)求a,b的值; (2)求的值. 解:(1)因为和是相等的最简二次根式, 所以解得 所以a的值是0,b的值是2. (2)==2. $$ 过教材　要点概览 第2课时　积的算术平方根 ≥ ≥ 分母 因数 因式 初中同步学习导与练·数学·XJ·八上 精讲练　新知探究 2 3 巩固训练 A ab 77 4 5 6 巩固训练 A -2 7 8 谢谢观赏！ 9 1.积的算术平方根的性质:=·(a　 　0,b　 　0).  2.最简二次根式:被开方数不含　 　,且不含开得尽方的　 　(或 　 　),这样的二次根式叫作最简二次根式.  探究点一　积的算术平方根的性质 例1　化简下列二次根式: (1);(2); 解:(1)==×=3. (2)===4. (3);(4). 解:(3)===. (4)====. 1.若=·,则( ) A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数 2.已知a=,b=,用含a,b的代数式表示,为　 　.  3.化简下列各式: (1)=　 　;  (2)=　 　.  4 探究点二　最简二次根式 例2　把下列二次根式化成最简二次根式: (1);(2); 解:(1)==. (2)=. (3)(a>0,b>0); (4)(a>0). 解:(3)=3a(a>0,b>0). (4)=(a+3)(a>0). 4.下列各式中,最简二次根式为( ) A. B. C. D. 5.若二次根式是最简二次根式,则x可取的最小整数是　 　. (4)==4a(a>0). 6.把下列二次根式化成最简二次根式: (1); (2)4; (3)2(a>0,b>0,c≥0); (4)(a>0). 解:(1)=10. (2)4=4=4×=. (3)2=4ab(a>0,b>0,c≥0). $$ 基础巩固练 01 3.1　二次根式的概念及性质 第1课时　二次根式的概念及其基本性质 B 第3章　二次根式 初中同步学习导与练·数学·XJ·八上 D A 2 x≥3 2 3 B D 4 D C 5 6 能力提升练 02 B ±6 7 解:(1)-3　5　2 8 9 素养培优练 03 10 11 12 13 谢谢观赏！ 14 知识点1　二次根式的概念 1.下列各式:,,,,(x≥1),中,一定是二次根式的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.当x=2时,下列各式中,没有意义的是( ) A. B. C. D. 3.x取下列各数时,使得有意义的是( ) A.0 B.-1 C.-2 D.-3 4.(2024铜仁沿河一模)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围为　 　.  5.已知n为正整数,也是正整数,那么满足条件的n的最小值是　　. 知识点2　二次根式的基本性质 6.在-,,-,0四个数中,最大的数是( ) A.- B. C.- D.0 7.若=-x-2成立,则x满足的条件是( ) A.x>2 B.x<-2 C.x≥-2 D.x≤-2 8.(2024衡阳期中)当|a|=-a时,|2a-|等于( ) A.a B.-a C.3a D.-3a 9.若7<m<9,则化简+的结果是( ) A.15-2m B.2m-15 C.5 D.-5 (4)==-3. 10.化简下列各式: (1)()2; (2)(-4)2; (3); (4). 解:(1)()2=0.36. (2)(-4)2=48. (3)=. 11.(2024重庆万州区期中)计算:2 0242- 的值为( ) A.-2 024 B.-2 023 C.-2 025 D.-1 12.已知x,y为实数,且y=-+4.则xy的平方根等于　 　.  13.已知实数a,b,c满足:|a+3|+=+. (1)a=　　　;b=　　　;c=　　　;  (2)求b-3a+2c的平方根. (2)由(1),得a=-3,b=5,c=2. 所以b-3a+2c=5+9+4=18. 所以b-3a+2c的平方根是±3. 14.易错题 已知y=+-,求(x+y)2 024(x-y)2 025的值. 解:由题意,知x-2≥0且2-x≥0, 所以x=2.所以y=0+0-=-. 所以(x+y)2 024(x-y)2 025 =[(x+y)(x-y)]2 024(x-y) =(x2-y2)2 024(x-y) =(4-3)2 024×(2+) =2+. 15.(2024怀化期末)阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件并回答下面的问题. 化简:-|1-x|. 解:隐含条件:2-3x≥0,解得x≤. 所以1-x>0. 所以-|1-x|=(2-3x)-(1-x)=2-3x-1+x=1-2x. [启发应用] (1)按照上面的解法,试化简-(结果保留π); 解:(1)隐含条件:3-x≥0, 解得x≤3. 所以x-π<0. 则-=-(x-π)-(3-x)=-x+π-3+x=π-3. [类比迁移] (2)实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:--|b-a|; 解:(2)由数轴得隐含条件:a<0,b>0,|a|>|b|, 所以a+b<0,b-a>0. --|b-a|=-a+a+b-b+a=a. (3)已知a,b,c为三角形ABC的三边长.化简:+ -+. 解:(3)由三角形的三边关系可得隐含条件:a+b+c>0,a-b<c,b-a<c,c-b<a, 所以a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0. 所以+-+ =(a+b+c)-(a-b-c)+(b-a-c)-(c-b-a) =a+b+c-a+b+c+b-a-c-c+b+a =4b. $$