第一章勾股定理单元练习2025--2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 单元练习 一、单选题 1．下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1.0 B．5，12，13 C． D．9，15，17 2．如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（   ） A．5 B．12 C．13 D．25 3．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 4．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，若的长为，求的长．设的长为，则以下所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，货车卸货时支架侧面是，其中，已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里千米，则该沙田的面积为（   ）平方千米． A． B．15 C．75 D．750 7．如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 8．车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 9．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（　　）cm A．35 B．40 C．50 D．45 10．定义：如图，点M，N把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，则（　　） A．5 B．12 C．13 D．5或13 二、填空题 11．若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为 ． 12．如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料管的最大长度是 ．（忽略塑料管粗细） 13．如图，在中，，，，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，且交于点，则的值为 14．如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 ． 15．如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 三、解答题 16．如图，是一个半圆形桥洞横截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，为中点，，且于点，交半圆于点，已测得． (1)求半径； (2)根据需要，水面要以每小时的速度下降则经过多长时间才能将水排干？ 17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中画一条线段，使； (2)在图②画一个，使其三边长分别为，， ； (3)求图②中点A到线段的距离． 18．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 20．平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，设交轴于点，，若平分，求点的纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 单元练习2025--2026学年北师大版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B C A A D D D 1．B 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵0.6，0.8不是整数，∴0.6，0.8，1.0不是一组勾股数，不符合题意； B、∵，∴5，12，13是一组勾股数，符合题意； C、∵不是整数，∴不是一组勾股数，不符合题意； D、∵，∴，，不是一组勾股数，不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查的是平面展开——最短路径问题，勾股定理，化为最简二次根式，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再利用两点之间，线段最短，确定两点之间的最短路径．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有两种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的上面和右面或者前面和下面展开在同一平面内，    ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∵ ∴小虫爬行的最短路程为． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查列方程解应用题，勾股定理，找到等量关系是解决问题的关键．在和 中分别表示，列方程即可． 【详解】解：由题意：在，， 在 中，， ∴可列方程． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可进行解答． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理可得：， 则， 故选：C． 6．A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．先直接利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再根据直角三角形面积求法得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， 5里千米，12里千米， ∴这块沙田面积为： （平方千米）． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到的长，由折叠的性质得到，，，从而求得的长，设，在中，根据勾股定理求解可得的长，在中，根据勾股定理求解可得的长． 【详解】解：在中，，，， ， 将沿翻折，使点与边上的点重合， ，，， ， 设， ， 在中，， ，解得， 即， 在中，． 故选：A． 8．D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理；根据勾股定理的逆定理的定义即可求出结果． 【详解】解：根据题意，李师傅这样做的依据是勾股定理的逆定理； 根据勾股定理的逆定理得，若，则说明；则该零件合格； 故选：D． 9．D 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可． 【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 10．D 【分析】本题考查勾股定理，分两种情况：为最大线段，为最大线段，根据勾股定理分别计算即可． 【详解】分两种情况：①当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点， 所以； ②当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点， 所以 综上所述，的值为5或13． 故选D． 11．13 【分析】本题考查了勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方”是解题的关键． 由两个直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边的长度，此题得解． 【详解】解：一个直角三角形的两直角边长分别为12、5， 则其斜边长为， 故答案为：． 12．17 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 连接、，首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接、，如图： 在中，， 在中，， ∴， 能完全装进盒子中的塑料管的最大长度为， 故答案为：17． 13． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；关键是作垂线构造全等三角形．过C作于点F；由勾股定理建立方程求得的长，从而求得；再证明，则得，证明，得出，设，在中，，建立方程得出，进而勾股定理求得结果． 【详解】解：如图，过C作于点F； 则， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 由折叠性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 由勾股定理得，再由角平分线的性质得，设，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，过作于点， 平分， ， 设， ， ， 即， 解得：， 即的长为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为1米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米， ∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：． 16．(1) (2)10小时 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设半圆的半径是，在直角三角形中利用勾股定理解题即可； （2）根据的长度和下降速度即可计算时间． 【详解】（1）解：设半圆的半径是 为中点，, ， 在中，，    ，   解得：， ； （2）解：，， ， 水面要以每小时的速度下降， 需要的时间为：（小时）， 经过10小时才能将水排干． 17．(1)见解析； (2)见解析； (3)点A到线段的距离为． 【分析】本题考查勾股定理． （1）作直角边分别为1和2的直角三角形，斜边即为； （2）根据勾股定理，结合边长作格点三角形即可； （3）设点A到线段的距离为，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，在中，，，根据勾股定理可得，线段为所求． （2）解：如图，，，，为所求． （3）解：设点A到线段的距离为，则 ， ∴， ∴点A到线段的距离为． 18．(1)梯子的顶端A距地面 (2)梯子的底端B在水平方向上滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：． 答：梯子的顶端A距地面． （2）解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算． （1）利用题干给出的海伦公式即可求解； （2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答． 【详解】（1）解：选择海伦提出的公式， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图 ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 即：， ∴该四边形的面积． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作轴于点D，通过证明，得出，即可求出点B的坐标； （2）过点B作轴，交x轴于点E，交的延长线于点F，先证明，得出，根据平分，，得出，即可求出点B的纵坐标； （3）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可求解． 【详解】（1）过点B作轴于点D， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点B作轴，交x轴于点E，交的延长线于点F， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴点B的纵坐标为； （3）连接，过点E作于点M，过点E作于点N， 由折叠的性质可得：， ∵，，， ∴， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $