专题01 勾股定理（知识&考点&公式&9高频&5易错&5重难&2模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

专题01 勾股定理 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(5类) 公式清单(6类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01 勾股定理 1. 勾股定理的概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即如果用 、 表示两条直角边， 表示斜边，则公式为：。 2.公式的变形应用：在直角三角形中，已知任意两边长，可求第三边。 3.已知斜边 和直角边 ，求另一直角边 ：。 4.已知斜边 和直角边 ，求另一直角边 ：。 5.使用前提与注意点：使用公式的前提必须是直角三角形。公式中， 必须对应斜边（即最长边），不可代错边。我国古代将较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。 6.基本几何应用：已知直角三角形任意两边，求第三边边长。例如，直角边为 3 和 4，则斜边 。 知识点02 勾股定理的验证 1. 验证方法：新课标要求经历定理的发现过程，教材主要采用面积法（拼图法）。核心思想是“算两次”——用两种不同方式表示同一个图形的面积，列出等式后推导出 。 2.典型拼图验证（赵爽弦图）：将四个全等的直角三角形（直角边 、，斜边 ）拼成一个大正方形，中间留出一个小正方形。 3.大正方形的面积可表示为：； 4.也可表示为：。 5.由 ，展开化简即得 。 6.验证的一般步骤：构造图形（割、移、补、拼）→ 写出同一图形面积的两种表示 → 列出等式 → 恒等变形 → 推导出勾股定理。 7.学习提示：理解验证过程的关键在于识别面积关系（整体等于部分之和），而不是机械记忆某个具体图形。 知识点03 勾股定理的逆定理与勾股数 1.逆定理的概念：如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且边 所对的角是直角。 2.与勾股定理的区别： 3.勾股定理：已知是直角三角形，推出边的关系（由角推边）。 4.逆定理：已知边的关系，推出是直角三角形（由边推角）。 5.逆定理的使用步骤：使用逆定理判断时，必须先找出最长边作为 ，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。 6.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 7.常见基础勾股数包括：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17) 等。勾股数的正整数倍仍然是勾股数。 知识点04 勾股定理的简单实际应用 1.应用场景： 判断垂直：测量墙角或装饰板是否垂直，通过三边长度验证是否满足 。 测量距离：求不可直接到达的两点间距离、梯子滑动问题、水池芦苇问题等。 最短路径问题：将长方体或圆柱表面展开成平面，利用“两点之间线段最短”构造直角三角形求解。 2.解题一般步骤： 建模：从实际问题中抽象出几何图形，确定或构造直角三角形； 确定边长：分清直角边和斜边，找准已知量与未知量； 列方程：根据勾股定理（或其逆定理）列出等量关系； 求解并作答：计算得出结果，注意实际问题的单位与合理性。 3.核心数学思想：实际问题转化为数学问题（建模思想），以及空间图形转化为平面图形（转化思想）。 考点01 勾股定理及其计算 考点内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别为 、，斜边长为 ，那么 。 常见考法： ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边长（需分清直角边和斜边，若未明确指明，需要分类讨论）； ②结合面积法（等面积法），已知斜边和斜边上的高，求两直角边的关系或周长； ③在网格或平面直角坐标系中，利用勾股定理求两点间的距离或线段长度。 易错提醒：运用勾股定理的前提是“直角三角形”，且必须明确哪条边是斜边。若题目未明确直角边和斜边，务必分类讨论（已知两边求第三边时，直角边或斜边均有可能），防止漏解。 考点02 勾股定理的逆定理与直角三角形的判定 考点内容：如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形（其中 为最长边，它所对的角是直角）。 常见考法： ①给定三边长，判断该三角形是否为直角三角形（找出最长边，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方）； ②结合代数式或边比例（如 ），判断三角形的形状； ③在四边形或复杂图形中，通过连接对角线，利用逆定理证明某个角是直角。 易错提醒：用逆定理判定时，必须确定最长边并计算其平方。注意区分“勾股定理”与“逆定理”的使用条件：一个是已知直角求边长，一个是已知边长证直角，切勿混淆。 考点03 勾股数及其应用 考点内容：满足 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有：(3,4,5)、(6,8,10)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25) 等。 常见考法： ①判断给定的一组数是否为勾股数（必须是正整数，且满足平方关系）； ②已知一组勾股数中的一个数，求另外两个数（利用常见勾股数记忆或倍数关系）； ③结合规律探究题型，考察勾股数的代数规律。 易错提醒：勾股数必须是正整数。像 虽然满足平方关系，但不是勾股数。常见的勾股数扩大相同的正整数倍后，仍然是勾股数。 考点04 勾股定理的实际应用（最短路径与折叠问题） 考点内容：将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理求解。核心是“立体图形展开”和“轴对称转化”以及“方程思想”。 常见考法： ①最短路径问题：立体图形（圆柱、长方体、台阶）表面最短路径，需展开成平面图形，利用“两点之间线段最短”和勾股定理求解； ②折叠问题：利用折叠前后的全等性质（对应边相等、对应角相等），设未知数，在直角三角形中建立勾股定理方程求解； ③实际生活情境：如梯子滑动问题、旗杆折断问题、航海问题等。 易错提醒：立体图形展开时要注意展开方式可能不唯一，需比较不同展开图求得的最短路径；折叠问题要注意找准折叠后形成的直角三角形，利用勾股定理列方程是核心方法。 考点05 勾股定理与几何综合（面积、高线及网格作图） 考点内容：勾股定理与三角形面积、高线、垂直平分线等知识的综合运用，以及在网格中构造无理数线段。 常见考法： ①利用勾股定理求三角形的高线（如等腰三角形求底边上的高，或利用等面积法求斜边上的高），进而求面积； ②网格作图题：在正方形网格中画出长度为 、、 等的线段，或画出特定面积的直角三角形、等腰三角形； ③利用勾股定理证明线段平方关系（如 型证明）． 易错提醒：网格作图中，线段长通常是直角边为整数的直角三角形的斜边；在复杂图形中求线段长，有时需要通过作垂线构造直角三角形，“作高法”是常用的辅助线手段。求出结果后一定要检验是否符合实际意义。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 勾股定理 在Rt△ABC中，∠C=90°，则 、为直角边，为斜边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是求线段长度最常用的定理。 2 勾股定理的逆定理 在△ABC中，若 ，则 ∠C=90° 如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形。是判定直角三角形的核心依据。 3 勾股定理的变形公式（求边长） 在已知直角三角形的任意两边时，用来求第三边的长度。计算时需注意区分直角边和斜边。 4 勾股数 为正整数，且 能够构成直角三角形三边长的正整数。常见基础勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17) 及其正整数倍。 5 最短路径问题（立体图形展开） 求几何体（如圆柱、长方体）表面两点间最短距离时，需将立体图形表面展开为平面，利用“两点之间线段最短”构造直角三角形求解。 6 面积法验证勾股定理（赵爽弦图） 化简得： 利用拼图法（如赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图），通过计算大正方形的面积等于各部分面积之和，来验证勾股定理。 辨析01 运用勾股定理的前提必须是直角三角形 　　勾股定理（）只适用于直角三角形。不要看到三角形就随意套用公式；在非直角三角形中，三边关系不满足勾股定理。若题目未明确说明是直角三角形，需先通过已知条件（如勾股定理逆定理、垂直平分线等）证明或推导出直角三角形，才能使用该定理。 辨析02 分清直角边与斜边，公式不能死记硬背 　在直角三角形中， 中的 代表斜边（即直角所对的边），、 代表两直角边。不要误以为公式里的 永远是题目中最长的边或固定字母；已知直角边求斜边时用 ，已知斜边和一条直角边求另一条直角边时，必须用 （或 ）。 辨析03勾股定理逆定理的判定对象与书写规范 勾股定理逆定理是判定直角三角形的重要工具：若三角形三边满足 ，则该三角形是直角三角形，且边 所对的角为直角（最长边对应最大角）。不要与勾股定理（由直角三角形推导边的关系）混淆。运用逆定理时，必须先找出最长边，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。 辨析04 勾股数必须是正整数，不能是分数或无理数 　勾股数是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数。常见的勾股数有：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(8,15,17)、(7,24,25)等。注意：1、1、 虽然满足平方关系，但因为不是正整数，所以不是勾股数；勾股数扩大或缩小相同的正整数倍后，仍然是勾股数。不要将无理数或分数错认为勾股数。 辨析05 已知两边求第三边，必须考虑分类讨论 在直角三角形中，若题目已知两边长求第三边，且未明确这两边是直角边还是斜边时，必须分类讨论。不要漏解；例如：已知两边为3和4，求第三边。若3和4都是直角边，则第三边（斜边）为5；若4是斜边，3是直角边，则第三边（另一条直角边）为 。 辨析06 几何图形折叠与最短路径问题中的勾股定理应用 折叠问题（如矩形折叠）中，不要忽略折叠前后的全等关系（对应边相等、对应角相等）。通常设未知数，将未知边转化到同一直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解。立体图形（如圆柱、长方体）表面上两点间最短路径问题，切忌直接连接两点；必须将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”及勾股定理求解，且需比较不同展开方式的结果。 辨析07 实际应用中的“梯子滑动”模型，梯长不变 在“梯子靠墙滑动”问题中，不要误以为梯子下端滑动的距离等于上端滑动的距离。梯子长度始终不变，梯子、墙面、地面构成了一个直角三角形。滑动的本质是两条直角边发生变化，但斜边（梯长）恒定的问题。解题时，需分别计算滑动前后梯子底端与墙面的距离，再作差求出滑动距离。 辨析08 勾股定理与面积法的结合，注意高的转化 在直角三角形中，常用面积法（两直角边乘积的一半 = 斜边与斜边上高乘积的一半）来求斜边上的高。不要将斜边上的高与直角边混淆。公式变形为：（其中 为直角边， 为斜边， 为斜边上的高）。同时，结合勾股定理，在已知两边或三边关系时，可通过方程思想求线段长度或图形面积。 【题型一】用勾股定理解三角形 【例1】如图，在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理，已知斜边和一条直角边，求另一条直角边 【详解】解：在中，，，，， 根据勾股定理，代入得： ， （边长为正数，负数舍去）． 【变式1-1】在中，，，，的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角确定斜边为，结合勾股定理变形验证选项． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边，，为直角边， ∴，即． 【变式1-2】如图，在中，，，，求的长． 【答案】的长为. 【详解】解：已知， 是直角三角形，为斜边． 根据勾股定理： ， ∴(边长取正数)． 【题型二】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 【变式2-1】如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝（　　）    A．25 B．31 C．32 D．40 【答案】B 【分析】如图，分别求出AB2、AC2，进而得到BC2，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得： AB2＝S1+S2＝13， AC2＝S3+S4＝18， ∴BC2＝AB2+AC2＝31， ∴S＝BC2＝31， 故选：B．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理． 【变式2-1】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 【答案】A 【分析】连接对角线。因为和，所以和都是直角三角形，且它们共用斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。利用这个定理，我们可以找到与四边形各边平方的关系，进而求出。 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意，，，， 在中，，根据勾股定理有： ∴ 在中，，根据勾股定理有： ∴ ∴ ∴ 【题型三】勾股定理的证明方法 【例3】中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 【变式3-1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 【变式3-2】[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． (2) 【分析】（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）分别用、表示出正方形和正方形，根据两正方形的面积，利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． 【题型四】利用勾股定理证明线段平方关系 【例4】如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 【变式4-1】对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 【变式4-2】在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 【题型五】判断三边能否构成直角三角形 【例5】如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 【答案】B 【分析】判定 为直角三角形，利用等面积法求解． 【详解】解：， ， ， ， 在 中，， ， 且 ， ， ． 【变式5-1】如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两短边的平方和以及长边的平方，判断得数是否相等，即可得到答案． 【详解】解：∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形． 【变式5-2】如图，在中，过点作于点，点在线段上，且．已知，，．    (1)求线段的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)的长为 (2)是直角三角形， 理由如下：在中，，， 由勾股定理，可得， 在中，，， 由勾股定理，可得， 则， ， 故是直角三角形． 【分析】（1）设为未知数，利用表示出，在中根据勾股定理列方程，求解得到的长度； （2）通过勾股定理求出、，算出的长，再用勾股定理逆定理验证三边平方关系，判断的形状． 【详解】（1）解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 故的长为． （2）略 【题型六】在网格中判断直角三角形 【例6】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 【变式6-1】如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 【变式6-2】如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． (1)由图①可知，则______，______． (2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 【答案】(1)， (2) 就是所求作的图形；， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理即可画出图形；根据勾股定理的逆定理，可证明，即可根据直角三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，． （2）解：，，， ， ， ． 【题型七】利用勾股定理的逆定理求解 【例7】如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 【变式7-1】如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 【变式7-2】如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)的长为5； (2)四边形的面积为36 【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：在中，由于，即， ∴是直角三角形， ∴． 【题型八】勾股定理与折叠问题 【例8】如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由翻折的性质可知，则， 是的中点， ． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 即． 【变式8-1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠的性质可知． 设，则， ． 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得， ． 【变式8-2】如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 【题型九】勾股定理与折叠问题 【例9】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为． (1)求此时梯子的顶端距地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)梯子底端B外移不是， 理由：由图可知梯子的顶端A沿墙下滑后， ， ， ∴， ∴， 所以梯子底端B外移不是． 【分析】（1）根据勾股定理计算的长度即可； （2）先根据顶端下滑的距离计算出下滑后顶端到地面的高度，再用勾股定理计算出新的底端到墙底的距离，最后将与的差和比较即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ， 答：此时梯子的顶端A距地面的高度为； （2）略． 【变式9-1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 【变式9-2】消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【题型一】忽略弦图面积关系而致错 【例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 【答案】13 【分析】由题意可得，求出，结合勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴两式相加可得， ∴， ∴结合勾股定理可得，大正方形的面积为 ． 易错警示 对于弦图问题，要分清直角三角形的直角边、斜边与内外正方形边长的关系，利用面积两法列式时，中间小正方形边长是|a-b|，切勿误写为a+b。 【变式1-1】如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 【变式1-2】中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 【题型二】忽略非直角三角形需构造而致错 【例2】明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 易错警示 对于非直角三角形，不能直接套用勾股定理，需作高构造直角三角形；注意垂足可能在形外，线段和差要结合图形判断，最后设未知数列方程。 【变式2-1】如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 【答案】不能 【分析】根据勾股定理求出这个长方体木箱能容纳的最大长度，即可解答． 【详解】解：这个长方体木箱能容纳的最大长度为， ∵，， ∴， ∴一根长的木棒不能完全放进这个长方体木箱． 【变式2-2】【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 (1)如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； (2)如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 (3)n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 【答案】(1)，，结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2) (3)①，；② 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，从而得出，即可得出结论； （2）由图可得行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为，按斜线计数每线棋子分别为，，，，，，，，，，，，，由两种方法的棋子数相等得出答案； （3）根据画出图形探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论． 【详解】（1）解：由图形可得，， ∴， ∴， ∴， 结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）解：行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为， 按下图的斜线的棋子数相加得， ∴； （3）解：当，时，如图，； 当，时，； 个三角形，共条边，其中边形的每边都只使用一次，其他边各使用两次，故边形内部共有条线段； 边形内部有个点时，其内部共有条线段，共分成个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，故边形内部有个点时，其内部共有条线段； 由， 化简得． 【题型三】忽略正整数与互质条件而致错 【例3】下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数需满足两个条件：三个数均为正整数，两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此验证各选项即可． 【详解】解：A选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； B选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； C选项，∵，且三个数均为正整数， ∴是勾股数，符合题意； D选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意． 易错警示 勾股数必须是三个正整数，判断时先找最长边；若是本原勾股数，还需检验三数最大公约数是否为1，注意常见勾股数的倍数。 【变式3-1】下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D． 【答案】A 【分析】利用勾股数需为正整数的特征先排除部分选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：∵0.3，0.4，0.5与均不是正整数， ∴B，D选项不符合要求； ∵， ∴C选项不符合要求； ∵6，8，10均为正整数，且， ∴A选项符合要求． 【变式3-2】满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (1)按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 【答案】(1)8，10； (2)①证明：∵，， ， ∴当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，）； ② 【分析】（1）找到两个正整数的和与它们的差为36即可； （2）①根据整式的加减即可证明； ②根据完全平方公式和整式的加减即可求解. 【详解】（1）解：按此规律，填空： 上面一组勾股数中，▲表示8，〇表示10； （2）解：①略 ②∵， ∴当是大于2的偶数时，用n表示勾股数：． 【题型四】忽略最长边与三边关系而致错 【例4】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 易错警示 使用逆定理前先验证三边能否构成三角形，再找最长边c；比较a²+b²与c²判断形状，口诀“等直、大锐、小钝”，切勿记反。 【变式4-1】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【变式4-2】课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【答案】（1）如图： ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1＝∠3， 由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB， ∴△ADC≌△CEB； （2）5cm 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）略 （2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm， ∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去）， ∴每块砖厚度为5cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【题型五】忽略折叠全等与分类讨论而致错 【例5】如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 【答案】 【分析】由题意可知当时，，即三点共线时，线段的值最小，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 根据折叠可得， 当时，，即三点共线时，线段的值最小，此时， ， ∴， ， ， 解得． 易错警示 折叠问题本质是轴对称全等，对应边角相等；设未知数找直角三角形列方程时，要注意落点位置的多种情况，解出后必须检验是否符合实际. 【变式5-1】如图，矩形中，点，分别为边，上两动点，且，，沿折叠矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠性质，矩形性质，勾股定理，解题的关键在于找到点与点B重合时，取最小值． 连接，结合矩形性质和折叠性质设，则，利用勾股定理推出，结合，推出当与重合时，取最小值，进而建立方程求解，即可解题． 【详解】解：连接， 矩形中，，， ，， 由折叠性质可知，，，， 设，则， ，， 当取最小值时，取最小值， 即当与重合时，取最小值， 在中，， 解得； 故答案为：． 【变式5-2】如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， ． 在中，由勾股定理，得． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 【题型一】三角形的中线与周长 【例1】两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 【答案】C 【分析】先计算两船航行2小时后的路程，利用勾股定理逆定理判断两船航行方向互相垂直，再结合甲船的方位角分情况得到乙船的航向即可． 【详解】解：由题意得，两船航行2小时后，甲船行驶路程为海里，乙船行驶路程为海里， ∵， ∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为， 已知甲船航向为北偏东，计算得，分两种情况： 乙船航行方向为北偏西或乙船航行方向为南偏东； 因此乙船的航向为南偏东或北偏西． 【变式1-1】一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港． (1)求A，C两港之间的距离（结果精确到）； (2)确定C港在A港的什么方向． 【答案】(1) (2) 港在港北偏东的方向上 【分析】（1）利用方位角和平行线的性质推出，用勾股定理计算的长度，再取近似值即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，结合方位角计算出港相对港的方向即可． 【详解】（1）解：根据题意作图： ，，，， ， ， 在中，， 答：两港之间的距离约为． （2） ，， 是等腰直角三角形， ， ， 答：港在港北偏东的方向上． 【变式1-2】如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边． （1）根据题意证得，求得过点作，交于，过点作，交于，，，结合直角三角形利用三角函数即可解答； （2）设货船速度为，观光船速度为， 过作于，于 根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边，结合勾股定理列方程求出，用路程除以速度即可解答． 【详解】（1）解：∵在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西方向，且在北偏西方向， ∴，，， 过点作，交于，过点作，交于， 则， ∴， ∴， 则，，（千米）， ∴（千米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴（千米） 答：港口和小岛的距离为千米． （2）设货船速度为，观光船速度为， 出发小时后：货船行驶的路程 即货船在上的位置距点千米 观光船行驶的路程：， 因故观光船在上距点的距离为（记该点为）， 观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等． 即，， ∴是等腰三角形， 过作于，于， 则， 由（1）得， 在中，，，则： ， ， ， 在中， 在中， ∴， 化简得， 解得或， ∵，故舍去， 货船速度为：， 由（1）可得（千米）， 货船从港口到港口用时：， 答：货船从港口出发小时后到达港口． 【题型二】汽车超速问题 【例2-1】如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 【变式2-1】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 【变式2-2】为切实做好防溺水与道路交通安全宣讲工作，某镇政府使用移动广播车开展巡回宣传．如图，笔直公路旁有一村庄A，村庄A到公路的距离为400米（即于点B），广播车的有效收听半径为500米．广播车在公路上沿方向匀速行驶，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后则无法听到广播．求该村村民能够连续听到广播宣传时，广播车行驶的路程的长． 【答案】广播车行驶的路程的长为米． 【分析】根据题意可得米，易证，利用勾股定理求出米，即可得到． 【详解】解：∵广播车的有效收听半径为500米，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后无法听到广播， ∴米， ∵， ∴， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：广播车行驶的路程的长为米． 【题型三】求台阶上地毯长度 【例3】综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 【答案】(1)①17，②16，③ (2)， (3)81 【分析】（1）观察表格可得三边满足，，，代入相应，即可求出空格． （2）用勾股定理和完全平方公式验证． （3）“最短边可种株花”说明最短边长为米；由于必为偶数，最短边只能是，从而列方程求出，，再按“封闭图形种花”模型求总株数． 【详解】（1）解： ，，， 当，时，， ①； 当，时，， ②； 当，时，， ③． （2）解： ，且， ， ， ， ， ，． （3）解：最短边可种株花，且两端都种， 最短边长为（米）， 为偶数，而为奇数， 最短边为，即， ， ， ，为正整数且， ，， 解得：，， ，， 三边长分别为米、24米、25米， 每边种花数为边长加， 三边合计（株）， 三个顶点各被重复计算一次， 总花数（株）． 【变式3-1】如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 【变式3-2】如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【答案】平方米 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜． 【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b， 则， 棚的长d为， ∴． 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键． 【题型四】台风问题 【例4】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-1】如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式4-2】2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1) 观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 【题型五】求最短路径 【例5】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 【答案】 【分析】先画出圆柱的侧面展开图，作点A关于的对称点，可得即为最短距离，在利用勾股定理，求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作点A关于的对称点，连接，则即为最短距离， 过点作，交的延长线于点D， 根据题意，得，，， 故由勾股定理，得． 【变式5-1】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 【答案】10厘米；厘米；厘米；厘米 【分析】将长方体展开，利用两点间距离最短，以及勾股定理进行求解即可. 【详解】解：如图，是长方体的侧面展开图， 根据题意可得，从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为， （厘米）； 缠绕2圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕3圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕圈，则长方形的长变为， （厘米）. 【变式5-2】课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 【题型一】378、578模型 【模型解读】 已知：如图，两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8。 【结论1】两个三角形拼在一起可形成边长为 8 的等边三角形。 【例1】已知在中，，则（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】过点A作 交BC延长线于点D，取中点E，连接，设，则，在和中，利用勾股定理求出，可求出的长，从而得到的长，由此根据证得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作 交延长线于点D，取中点E，连接， ∵在中，， 可设，则， 在 中， ， 在中，， ∴， 解得： ， ∴， ∴在中， ， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ． 故选 C． 【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-1】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 【答案】D 【分析】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图 设BD=x，则CD=8-x 在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵，AD⊥BC ∴∠BAD=30゜ ∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜ ∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜ ∵BC>AC>AB ∴∠BAC>∠ABD>∠C 故最大角与最小角的和为120゜ 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件． 【变式1-2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，即可求解． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示： 设CD＝x， 则BD＝BC−CD＝5−x， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2， ∴AB2−BD2＝AC2−CD2， 即：72−（5−x）2＝82−x2， 解得：x＝4， ∴CD＝4， ∴CD＝AC， ∴∠CAD＝30°， ∴∠C＝90°−30°＝60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键． 二一、题型二垂美四边形 【题型二】垂美四边形模型 【模型解读】 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 【模型证明】 条件： 如图1，已知四边形，对角线、交于点，且； 结论： ①；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即。 证明： ∵，∴， 由勾股定理得，，， ∴；∵，∴， ∴。 条件： 如图2，在矩形中，为边上有一点，连接、； 结论： 证明： ∵四边形是矩形，∴，， 由勾股定理得，，∴，∴。 条件： 如图3（或图4），在矩形中，为矩形内部（外部）任意一点，连接、、、； 结论： 证明： 过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ∴，，由勾股定理得：则， ，，∴， ，∴。（图4的证明和图3证明相同） 用处： ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 【例2】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系 ． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长． 【答案】（1）垂美四边形，证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形． 证明：∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， 求证：AD2+BC2=AB2+CD2． 证明：∵AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2． （3）连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE， ∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠BMN=90°， ∴∠BNM=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC==3，CG=4，BE=5， ∴GE2=CG2+BE2-CB2=73， ∴GE=． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式2-1】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长． 【答案】（1）①③； （2）结论：AD2+BC2=AB2+CD2． 理由：∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2． （3） 【分析】（1）根据垂美四边形的定义判断即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理得出AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论； （3）先由SAS证明△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，进而证出CE⊥BG，再根据勾股定理、结合（2）的结论计算，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵正方形，菱形的对角线互相垂直， ∴正方形，菱形是垂美四边形， 故答案为：①③． （2）略． （3）连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， ∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG=∠AEC， 又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴CG2+BE2=CB2+GE2， ∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°， ∴AC==8， ∴CG=，BE=， ∴GE2=CG2+BE2-CB2=292， ∴GE=． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，垂美四边形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，并熟练运用及全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的判定等知识点． 【变式2-2】问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”． 概念理解： （1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长． 性质探究： （2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程． 问题解决： （3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【分析】解：（1）根据，可得和都是等腰直角三角形，则可求得 ，，利用勾股定理可得的长度； （2）由题意可知，，， ，，化简后可得； （3）连接，，易证，可得 可视为绕点逆时针旋转后得到的，由旋转的性质知，，得到四边形 为“垂美四边形”．根据， ，，可得，， ，可求得，根据为直角三角形， 为其斜边上的中线，可得． 【详解】解：（1）由题意知，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ． ∴． （2）由题意可知，，， ∴，① ，， ∴，② ∴由①②可知，“垂美四边形”的两组对边之间的数量关系是 （3）连接，． ∵， ，， ∴． ∴可视为绕点逆时针旋转 后得到的． 由旋转的性质知，． ∴四边形为“垂美四边形”． ∴由（2）知，． 又，， ∴，，． ∴， ∴， ∴ 又为直角三角形，为其斜边上的中线， ∴ 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解“垂美四边形”的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 技巧 一句话要点 已知两边求第三边——“知二求一”直代法 分清直角边和斜边，直接代入 。已知直角边求斜边用加法，已知斜边求直角边用减法。 判断直角三角形——“最长边验证”逆定理法 先找最长边 ，算 与 比较：相等为直角，大于为锐角，小于为钝角。 已知边长比例或和差——“方程思想”设k法 根据比例设一份为 （或直接设未知数 ），利用勾股定理列方程，求出未知数即可。 折叠问题求线段长——“等量转移 + 勾股方程”法 折叠必出全等（对应边角相等），将分散的边转化到同一个直角三角形中，设未知数列勾股方程。 立体图形最短路径——“展开转化”两点之间线段最短 将立体图形表面展开成平面图形，连接起点和终点构造直角三角形，用勾股定理求线段长。 求斜边上的高或面积——“等面积法” 同一个三角形面积相等： 两直角边之积 = 斜边 斜边上的高。 已知两边求第三边（斜边未定）——“分类讨论”防漏法 若已知的两边长度不确定谁是斜边，需分类：已知较长边为直角边，或已知两边均为直角边。 识别勾股数——“整数平方和”速记法 熟记常见基础组合：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25，及其正整数倍。 网格或坐标系中求线段长——“构造直角”法 作横平竖直的辅助线构造直角三角形，找出两直角边的长，再用勾股定理求斜边。 实际应用（航海/测量）——“方位建模 + 勾股”法 根据“上北下南，左西右东”确定直角，找准实际距离对应的直角边和斜边，直接套用公式。 勾股定理的证明——“面积割补”法 利用“赵爽弦图”或“总统证法”，通过整体面积等于各部分面积之和，推导 。 结合完全平方公式求值——“整体代入”法 遇到 、、 与 的关系时，灵活运用 变形求值。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(5类) 公式清单(6类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01 勾股定理 1. 勾股定理的概念：直角三角形__________的平方和等于__________的平方。即如果用 、 表示两条直角边， 表示斜边，则公式为：__________。 2.公式的变形应用：在直角三角形中，已知任意两边长，可求第三边。 3.已知斜边 和直角边 ，求另一直角边 ：。 4.已知斜边 和直角边 ，求另一直角边 ：。 5.使用前提与注意点：使用公式的前提必须是__________。公式中，__________，不可代错边。我国古代将较短的直角边称为“__________”，较长的直角边称为“__________”，斜边称为“__________”。 6.基本几何应用：已知直角三角形任意两边，求第三边边长。例如，直角边为 3 和 4，则斜边 。 知识点02 勾股定理的验证 1. 验证方法：新课标要求经历定理的发现过程，教材主要采用__________。核心思想是“__________”——用两种不同方式表示同一个图形的面积，列出等式后推导出 。 2.典型拼图验证（赵爽弦图）：将四个全等的直角三角形（直角边 、，斜边 ）拼成一个大正方形，中间留出一个小正方形。 3.大正方形的面积可表示为：； 4.也可表示为：__________。 5.由 ，展开化简即得 。 6.验证的一般步骤：构造图形（割、移、补、拼）→ 写出同一图形面积的两种表示 → 列出等式 → 恒等变形 → 推导出勾股定理。 7.学习提示：理解验证过程的关键在于__________（整体等于部分之和），而不是机械记忆某个具体图形。 知识点03 勾股定理的逆定理与勾股数 1.逆定理的概念：如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是__________，且边 所对的角是__________。 2.与勾股定理的区别： 3.勾股定理：已知是直角三角形，推出边的关系（由角推边）。 4.逆定理：已知边的关系，推出是直角三角形（由边推角）。 5.逆定理的使用步骤：使用逆定理判断时，必须__________作为 ，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。 6.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的__________，称为勾股数。 7.常见基础勾股数包括：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17) 等。勾股数的__________仍然是勾股数。 知识点04 勾股定理的简单实际应用 1.应用场景： 判断垂直：测量墙角或装饰板是否垂直，通过三边长度验证是否满足__________。 测量距离：求不可直接到达的两点间距离、梯子滑动问题、水池芦苇问题等。 最短路径问题：将长方体或圆柱表面__________，利用“两点之间线段最短”构造直角三角形求解。 2.解题一般步骤： 建模：从实际问题中抽象出几何图形，确定或构造__________； 确定边长：分清__________和__________，找准已知量与未知量； 列方程：根据勾股定理（或其逆定理）列出__________； 求解并作答：计算得出结果，注意实际问题的单位与合理性。 3.核心数学思想：实际问题转化为数学问题__________，以及空间图形转化为平面图形__________。 考点01 勾股定理及其计算 考点内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别为 、，斜边长为 ，那么 。 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边长（需分清直角边和斜边，若未明确指明，需要分类讨论）； ②结合面积法（等面积法），已知斜边和斜边上的高，求两直角边的关系或周长； ③在网格或平面直角坐标系中，利用勾股定理求两点间的距离或线段长度。 易错提醒：运用勾股定理的前提是“直角三角形”，且必须明确哪条边是斜边。若题目未明确直角边和斜边，务必分类讨论（已知两边求第三边时，直角边或斜边均有可能），防止漏解。 考点02 勾股定理的逆定理与直角三角形的判定 考点内容：如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形（其中 为最长边，它所对的角是直角）。 ①给定三边长，判断该三角形是否为直角三角形（找出最长边，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方）； ②结合代数式或边比例（如 ），判断三角形的形状； ③在四边形或复杂图形中，通过连接对角线，利用逆定理证明某个角是直角。 易错提醒：用逆定理判定时，必须确定最长边并计算其平方。注意区分“勾股定理”与“逆定理”的使用条件：一个是已知直角求边长，一个是已知边长证直角，切勿混淆。 考点03 勾股数及其应用 考点内容：满足 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有：(3,4,5)、(6,8,10)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25) 等。 ①判断给定的一组数是否为勾股数（必须是正整数，且满足平方关系）； ②已知一组勾股数中的一个数，求另外两个数（利用常见勾股数记忆或倍数关系）； ③结合规律探究题型，考察勾股数的代数规律。 易错提醒：勾股数必须是正整数。像 虽然满足平方关系，但不是勾股数。常见的勾股数扩大相同的正整数倍后，仍然是勾股数。 考点04 勾股定理的实际应用（最短路径与折叠问题） 考点内容：将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理求解。核心是“立体图形展开”和“轴对称转化”以及“方程思想”。 ①最短路径问题：立体图形（圆柱、长方体、台阶）表面最短路径，需展开成平面图形，利用“两点之间线段最短”和勾股定理求解； ②折叠问题：利用折叠前后的全等性质（对应边相等、对应角相等），设未知数，在直角三角形中建立勾股定理方程求解； ③实际生活情境：如梯子滑动问题、旗杆折断问题、航海问题等。 易错提醒：立体图形展开时要注意展开方式可能不唯一，需比较不同展开图求得的最短路径；折叠问题要注意找准折叠后形成的直角三角形，利用勾股定理列方程是核心方法。 考点05 勾股定理与几何综合（面积、高线及网格作图） 考点内容：勾股定理与三角形面积、高线、垂直平分线等知识的综合运用，以及在网格中构造无理数线段。 ①利用勾股定理求三角形的高线（如等腰三角形求底边上的高，或利用等面积法求斜边上的高），进而求面积； ②网格作图题：在正方形网格中画出长度为 、、 等的线段，或画出特定面积的直角三角形、等腰三角形； ③利用勾股定理证明线段平方关系（如 型证明）． 易错提醒：网格作图中，线段长通常是直角边为整数的直角三角形的斜边；在复杂图形中求线段长，有时需要通过作垂线构造直角三角形，“作高法”是常用的辅助线手段。求出结果后一定要检验是否符合实际意义。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 勾股定理 在Rt△ABC中，∠C=90°，则 、为直角边，为斜边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是求线段长度最常用的定理。 2 勾股定理的逆定理 在△ABC中，若 ，则 ∠C=90° 如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形。是判定直角三角形的核心依据。 3 勾股定理的变形公式（求边长） 在已知直角三角形的任意两边时，用来求第三边的长度。计算时需注意区分直角边和斜边。 4 勾股数 为正整数，且 能够构成直角三角形三边长的正整数。常见基础勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17) 及其正整数倍。 5 最短路径问题（立体图形展开） 求几何体（如圆柱、长方体）表面两点间最短距离时，需将立体图形表面展开为平面，利用“两点之间线段最短”构造直角三角形求解。 6 面积法验证勾股定理（赵爽弦图） 化简得： 利用拼图法（如赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图），通过计算大正方形的面积等于各部分面积之和，来验证勾股定理。 辨析01 运用勾股定理的前提必须是直角三角形 　　勾股定理（）只适用于直角三角形。不要看到三角形就随意套用公式；在非直角三角形中，三边关系不满足勾股定理。若题目未明确说明是直角三角形，需先通过已知条件（如勾股定理逆定理、垂直平分线等）证明或推导出直角三角形，才能使用该定理。 辨析02 分清直角边与斜边，公式不能死记硬背 　在直角三角形中， 中的 代表斜边（即直角所对的边），、 代表两直角边。不要误以为公式里的 永远是题目中最长的边或固定字母；已知直角边求斜边时用 ，已知斜边和一条直角边求另一条直角边时，必须用 （或 ）。 辨析03勾股定理逆定理的判定对象与书写规范 勾股定理逆定理是判定直角三角形的重要工具：若三角形三边满足 ，则该三角形是直角三角形，且边 所对的角为直角（最长边对应最大角）。不要与勾股定理（由直角三角形推导边的关系）混淆。运用逆定理时，必须先找出最长边，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。 辨析04 勾股数必须是正整数，不能是分数或无理数 　勾股数是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数。常见的勾股数有：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(8,15,17)、(7,24,25)等。注意：1、1、 虽然满足平方关系，但因为不是正整数，所以不是勾股数；勾股数扩大或缩小相同的正整数倍后，仍然是勾股数。不要将无理数或分数错认为勾股数。 辨析05 已知两边求第三边，必须考虑分类讨论 在直角三角形中，若题目已知两边长求第三边，且未明确这两边是直角边还是斜边时，必须分类讨论。不要漏解；例如：已知两边为3和4，求第三边。若3和4都是直角边，则第三边（斜边）为5；若4是斜边，3是直角边，则第三边（另一条直角边）为 。 辨析06 几何图形折叠与最短路径问题中的勾股定理应用 折叠问题（如矩形折叠）中，不要忽略折叠前后的全等关系（对应边相等、对应角相等）。通常设未知数，将未知边转化到同一直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解。立体图形（如圆柱、长方体）表面上两点间最短路径问题，切忌直接连接两点；必须将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”及勾股定理求解，且需比较不同展开方式的结果。 辨析07 实际应用中的“梯子滑动”模型，梯长不变 在“梯子靠墙滑动”问题中，不要误以为梯子下端滑动的距离等于上端滑动的距离。梯子长度始终不变，梯子、墙面、地面构成了一个直角三角形。滑动的本质是两条直角边发生变化，但斜边（梯长）恒定的问题。解题时，需分别计算滑动前后梯子底端与墙面的距离，再作差求出滑动距离。 辨析08 勾股定理与面积法的结合，注意高的转化 在直角三角形中，常用面积法（两直角边乘积的一半 = 斜边与斜边上高乘积的一半）来求斜边上的高。不要将斜边上的高与直角边混淆。公式变形为：（其中 为直角边， 为斜边， 为斜边上的高）。同时，结合勾股定理，在已知两边或三边关系时，可通过方程思想求线段长度或图形面积。 【题型一】用勾股定理解三角形 【例1】如图，在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D． 【变式1-1】在中，，，，的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，，，求的长． 【题型二】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【变式2-1】如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝（　　）    A．25 B．31 C．32 D．40 【变式2-1】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 【题型三】勾股定理的证明方法 【例3】中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【变式3-1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 【题型四】利用勾股定理证明线段平方关系 【例4】如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【变式4-2】在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【题型五】判断三边能否构成直角三角形 【例5】如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 【变式5-1】如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 【变式5-2】如图，在中，过点作于点，点在线段上，且．已知，，．    (1)求线段的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 【题型六】在网格中判断直角三角形 【例6】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【变式6-1】如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式6-2】如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． (1)由图①可知，则______，______． (2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 【题型七】利用勾股定理的逆定理求解 【例7】如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【变式7-1】如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【变式7-2】如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【题型八】勾股定理与折叠问题 【例8】如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 【变式8-1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型九】勾股定理与折叠问题 【例9】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为． (1)求此时梯子的顶端距地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论． 【变式9-1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【题型一】忽略弦图面积关系而致错 【例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 易错警示 对于弦图问题，要分清直角三角形的直角边、斜边与内外正方形边长的关系，利用面积两法列式时，中间小正方形边长是|a-b|，切勿误写为a+b。 【变式1-1】如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【变式1-2】中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【题型二】忽略非直角三角形需构造而致错 【例2】明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 易错警示 对于非直角三角形，不能直接套用勾股定理，需作高构造直角三角形；注意垂足可能在形外，线段和差要结合图形判断，最后设未知数列方程。 【变式2-1】如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 【变式2-2】【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 (1)如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； (2)如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 (3)n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 【题型三】忽略正整数与互质条件而致错 【例3】下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 易错警示 勾股数必须是三个正整数，判断时先找最长边；若是本原勾股数，还需检验三数最大公约数是否为1，注意常见勾股数的倍数。 【变式3-1】下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D． 【变式3-2】满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (1)按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 【题型四】忽略最长边与三边关系而致错 【例4】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 易错警示 使用逆定理前先验证三边能否构成三角形，再找最长边c；比较a²+b²与c²判断形状，口诀“等直、大锐、小钝”，切勿记反。 【变式4-1】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式4-2】课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【题型五】忽略折叠全等与分类讨论而致错 【例5】如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 易错警示 折叠问题本质是轴对称全等，对应边角相等；设未知数找直角三角形列方程时，要注意落点位置的多种情况，解出后必须检验是否符合实际. 【变式5-1】如图，矩形中，点，分别为边，上两动点，且，，沿折叠矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为________． 【变式5-2】如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【题型一】三角形的中线与周长 【例1】两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 【变式1-1】一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港． (1)求A，C两港之间的距离（结果精确到）； (2)确定C港在A港的什么方向． 【变式1-2】如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【题型二】汽车超速问题 【例2-1】如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【变式2-1】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【变式2-2】为切实做好防溺水与道路交通安全宣讲工作，某镇政府使用移动广播车开展巡回宣传．如图，笔直公路旁有一村庄A，村庄A到公路的距离为400米（即于点B），广播车的有效收听半径为500米．广播车在公路上沿方向匀速行驶，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后则无法听到广播．求该村村民能够连续听到广播宣传时，广播车行驶的路程的长． 【题型三】求台阶上地毯长度 【例3】综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 【变式3-1】如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【变式3-2】如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【题型四】台风问题 【例4】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【变式4-1】如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【变式4-2】2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【题型五】求最短路径 【例5】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 【变式5-1】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 【变式5-2】课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【题型一】378、578模型 【模型解读】 已知：如图，两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8。 【结论1】两个三角形拼在一起可形成边长为 8 的等边三角形。 【例1】已知在中，，则（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【变式1-1】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 【变式1-2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 二一、题型二垂美四边形 【题型二】垂美四边形模型 【模型解读】 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 【模型证明】 条件： 如图1，已知四边形，对角线、交于点，且； 结论： ①；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即。 证明： ∵，∴， 由勾股定理得，，， ∴；∵，∴， ∴。 条件： 如图2，在矩形中，为边上有一点，连接、； 结论： 证明： ∵四边形是矩形，∴，， 由勾股定理得，，∴，∴。 条件： 如图3（或图4），在矩形中，为矩形内部（外部）任意一点，连接、、、； 结论： 证明： 过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ∴，，由勾股定理得：则， ，，∴， ，∴。（图4的证明和图3证明相同） 用处： ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 【例2】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系 ． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长． 【变式2-1】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长． 【变式2-2】问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”． 概念理解： （1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长． 性质探究： （2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程． 问题解决： （3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长． 技巧 一句话要点 已知两边求第三边——“知二求一”直代法 分清直角边和斜边，直接代入 。已知直角边求斜边用加法，已知斜边求直角边用减法。 判断直角三角形——“最长边验证”逆定理法 先找最长边 ，算 与 比较：相等为直角，大于为锐角，小于为钝角。 已知边长比例或和差——“方程思想”设k法 根据比例设一份为 （或直接设未知数 ），利用勾股定理列方程，求出未知数即可。 折叠问题求线段长——“等量转移 + 勾股方程”法 折叠必出全等（对应边角相等），将分散的边转化到同一个直角三角形中，设未知数列勾股方程。 立体图形最短路径——“展开转化”两点之间线段最短 将立体图形表面展开成平面图形，连接起点和终点构造直角三角形，用勾股定理求线段长。 求斜边上的高或面积——“等面积法” 同一个三角形面积相等： 两直角边之积 = 斜边 斜边上的高。 已知两边求第三边（斜边未定）——“分类讨论”防漏法 若已知的两边长度不确定谁是斜边，需分类：已知较长边为直角边，或已知两边均为直角边。 识别勾股数——“整数平方和”速记法 熟记常见基础组合：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25，及其正整数倍。 网格或坐标系中求线段长——“构造直角”法 作横平竖直的辅助线构造直角三角形，找出两直角边的长，再用勾股定理求斜边。 实际应用（航海/测量）——“方位建模 + 勾股”法 根据“上北下南，左西右东”确定直角，找准实际距离对应的直角边和斜边，直接套用公式。 勾股定理的证明——“面积割补”法 利用“赵爽弦图”或“总统证法”，通过整体面积等于各部分面积之和，推导 。 结合完全平方公式求值——“整体代入”法 遇到 、、 与 的关系时，灵活运用 变形求值。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $