精品解析：广东省湛江市雷州市雷州五中集团2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

25-26雷州五中集团九年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共60分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 7. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 关于二次函数．有下列三个结论： ①若，是该二次函数图象上任意的两个点，则； ②当时，该二次函数的图象与轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与轴交于，两点，且，则或． 以上结论正确的个数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程的一个根为2，则另一个根是______． 12. 若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第______象限． 13. 如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为______． 14. 设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________. 15. 函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为__． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）； 17. 如图，园林小组的同学用一段长米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园墙的长为米，设的长为米，的长为米． （1）①写出与的函数关系是： ②自变量的取值范围是 （2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为平方米，试求此时边的长． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ∵，∴， ∴当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： （1）； （2）求代数式的最值． 20. 如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线的顶点为C，连接， （1）求出A，B，C三点的坐标； （2）求出的面积． 21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 五、解答题（22题13分，24题14分，共27分） 22. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，y的取值范围是，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26雷州五中集团九年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共60分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．由一元二次方程的概念对四个选项进行验证，可得正确答案． 【详解】解：A、当时，即该方程的二次项系数是0时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、由，得，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、是分式方程，不是整式方程，； D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确． 故选：D． 2. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过题目可知这几个方程都是一元二次方程，因此可以通过来确定有没有实数根，即可求解 【详解】解：A、△=，有两个不相等的实数根； B、△=，故有两个不相等的实数根； C、△=,故没有实数根； D、△=，故有两个不相等的实数根 故选C 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 5. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出解集即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 6. 已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可． 【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0， 分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 可得x﹣4＝0或x﹣6＝0， 解得：x＝4或x＝6， ∴菱形两对角线长为4和6， 则这个菱形的面积为×4×6＝12． 故选：C． 【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般． 7. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：D． 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．同时考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的两个交点坐标为，，从而得到一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故选：A． 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则二次函数可得，开口向上， 又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧， 故二次函数的图象大致为： 故选：． 10. 关于二次函数．有下列三个结论： ①若，是该二次函数图象上任意的两个点，则； ②当时，该二次函数的图象与轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与轴交于，两点，且，则或． 以上结论正确的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程之间的关系等知识，①根据抛物线的对称轴和点的对称性得出结果；②根据方程的根的判别式的取值得出结果； ③根据得出抛物线与x轴有两个公共点，设抛物线与x轴的交点是，，根据得出，进而求得m的范围，两者结合得出结果． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②令，可得， ， 令，即， 解得， 该二次函数的图象与轴始终没有交点，故②正确； ③该二次函数的图象与轴交于，两点， ， ， 或， 设抛物线与轴的交点是，， ， ， ， 或， 或时，，故③不正确． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程的一个根为2，则另一个根是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，设方程另一根为，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得，可解得，然后根据根与系数的关系得到，再解一次方程即可． 【详解】解：设方程另一根为， 把代入方程得， 解得， ∴原方程化为， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一次函数的性质，由一元二次方程没有实数根得，故有直线经过第一、二、四象限，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∴直线不经过第三象限， 故答案为：三． 13. 如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，的横坐标分别为和， ∴根据图像可知当时，的取值范围为， 故答案为：． 14. 设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________. 【答案】 【解析】 【分析】此题实际上求的值．设t=a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t+1）=12，通过解方程求得t的值即可． 【详解】设t=a2+b2，则由原方程，得 t（t+1）=12， 整理，得 （t+4）（t-3）=0， 解得t=3或t=-4（舍去）． 则a2+b2=3， ∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长， ∴这个直角三角形的斜边长为． 故答案是：． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键． 15. 函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为__． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先转化二次函数解析式为，利用二次函数的增减性即可求得a的值． 【详解】解：∵二次函数，且， ∴该函数的对称轴是直线， 该函数图象大致如下： ∴该二次函数在时，y随x的增大而减小， 又∵二次函数在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为， ∴可知当时，函数值的最大值为， ∴，解得， 则的值为． 故答案为： ． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，掌握利用直接开方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （）利用直接开方法解一元二次方程即可； （）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或 ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 17. 如图，园林小组的同学用一段长米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园墙的长为米，设的长为米，的长为米． （1）①写出与的函数关系是： ②自变量的取值范围是 （2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为平方米，试求此时边的长． 【答案】（1）①y=16-2x；②3.5≤x＜8；（2）AB的长为5米或3米． 【解析】 【分析】（1）①根据篱笆的长度是16米列出函数关系式； ②根据x、y都是正数写出自变量的取值范围； （2）由矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】解：（1）①写出y与x的函数关系是：y=16-2x， 故答案是：y=16-2x； ②∵x＞0，9≥y＞0， ∴3.5≤x＜8， 故答案是：3.5≤x＜8； （2）依题意得：x（16-2x）=30， 解得x1=5，x2=3， 则园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，此时边AB的长为5米或3米． 【点睛】考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ∵，∴， ∴当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： （1）； （2）求代数式的最值． 【答案】（1）9，3 （2）代数式的最大值为27 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，正确掌握配方法求最值是解决本题的关键． （1）仿照材料提供的方法求解即可； （2）原式提取“”后，再进行配方求解即可． 【小问1详解】 解：， 即， 故答案为：9；3； 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为27． 20. 如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线的顶点为C，连接， （1）求出A，B，C三点的坐标； （2）求出的面积． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，把抛物线解析式化成顶点式，即可求得C的坐标； （2）作轴于E，则，，根据即可求得． 【小问1详解】 解：∵直线分别交x轴，y轴于点A，B， 当时，当时 ∴点A的坐标为，点B的坐标． ∵， ∴抛物线顶点C的坐标为 【小问2详解】 解：作轴于E， 则，， 则． 21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【小问1详解】 解：方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ 【小问3详解】 由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 五、解答题（22题13分，24题14分，共27分） 22. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【答案】（1）4月份再生纸的产量为500吨 （2）的值20 （3）6月份每吨再生纸的利润是1500元 【解析】 【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可； （2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：4月份再生纸的产量为500吨； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴的值20； 【小问3详解】 解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨， ∴ 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，y的取值范围是，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； 【小问3详解】 存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $