上海市杨浦区复旦大学附属中学2026届高三上学期10月月考数学试题

复旦大学附属中学2025学年第一学期高三年级 数学学科10月阶段性教学质量评估试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若集合，，则______. 2. 不等式的解集为________ 3. 设，其中为虚数单位，则的虚部为______. 4. 在的二项展开式中，项的系数为______.（结果用数值表示） 5. 已知，且是第四象限的角，则的值为______. 6. 已知为等比数列前项和，若，则______. 7. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______. 8. 已知是函数的极大值点，那么的取值范围是_____. 9. 已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. 10. 已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，点在四棱柱的表面上移动，且，则动点的轨迹长度为______. 11. 已知、、、是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为______. 12. 定义：若数列中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”；反之，则称其为“非4性数列”.已知数列满足，，且对任意整数，都有等于与之和除以4的余数.若从数列的前40项中任选两项、，将数列中到之间（包含和）的所有项取出，按原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有新数列中，不同的“4性数列”的个数为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知且，则“”是“”的（ ）条件.（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 14. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 15. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 16. 对于函数，，若存在区间，使得对任意，都有，则称为函数的关联区间，区间长度为，已知，给出以下两个命题： 命题①：当时，函数的关联区间长度不可能为2； 命题②：当时，函数存在无穷多个关联区间； 则下列选项中正确的是（ ）． A. ①、②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①、②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在三棱锥中，底面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 18. 已知平面向量，，其中. （1）当时，求的值； （2）设，求函数，的值域. 19. 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名同学的阅读量(单位:本)统计结果用茎叶图记录如下(十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”)其中乙组记录有一个数据模糊，无法确认.在图中以表示 （1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求的所有可能取值； （2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，设，从这20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率； （3）记甲组阅读量的方差为，在甲组中增加一名学生A得到的“新甲组”.若A的阅读量为10，则记“新甲组”阅读量的方差为，若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为.通过计算比较的大小(结果精确到0.1)，并从数学角度解释这一现象. 20. 已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. （1）求双曲线的焦距和离心率； （2）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （3）设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 21. 已知函数的定义域为，对于实数，定义． （1）设，求； （2）设，是否存在实数，使得是一个闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）已知函数的定义域是，函数值恒正，导函数为，且恒成立，若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”． 复旦大学附属中学2025学年第一学期高三年级 数学学科10月阶段性教学质量评估试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】91 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】207 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） 因为底面，平面 所以，又因为， ，平面， 所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）1或2或3 （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1）焦距4，离心率2 （2） （3） 直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以 ， 即， 所以在定直线上. 【21题答案】 【答案】（1） （2）存在， （3）证明:假设，若，则，与矛盾，故， ①若，证明：函数是上的严格增函数， 考虑引理：对任意，当满足时，． 证明：已知，，假设，设， 任取，，则， 因为函数是严格增函数，所以， 即，所以， 由此， 构造，当，则， 而，所以是严格减函数，，矛盾， 所以，引理得证， 回到原问题，任取，若，， 两式相减可得. 而，，又因为是严格减函数，则， 由于，，所以，故， 同理，可证函数在上为严格增函数，且， 故函数在上为严格增函数，得证； ②若函数是上的严格增函数，证明：， 因为函数是上的严格增函数且， 当时，；当时，， 因此，得证． 综上，命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $