福建省长乐第二中学2025-2026学年高二上学期数学第六周周练试题

XXX中学 2025一2026学年第一学期校本作业 高二年级数学科 主题：第一章、第二章（2.1) 编号06 主编： 审核：高二数学集备组 班级： 座号： 姓名： 等级/成绩： 周练 培优口 辅后口限时训练口 批改：是口 否回 “、 单择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线的方向向量坐标为-V2,-√2)，则直线的倾斜角为() A子 B D.5x 4 2.己知非零空间向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5ā+66，CD=7a-2b,则一定共线的三点是() A.A,B,C B.B,C,D C.A,B,D D.A,C,D 3.已知向量=(9,9,6，b=(1,1,0),则ā在6上的投影向量为() A.9√2b B.-9b C.96 D.-9√2b 4.己知三棱柱ABC-AB,C中，∠AAB=∠A,AC=60°，BA⊥CA,AA=AB=AC=2,M是B,C的中点，则 AM=() A.7 B.2√2 C.10 D.25 5.如图，在三棱锥0-ABC中，点D,E分别在棱O4,BC上，且OD=04,BE=BC,设O1=a, 3 3 0B=b,0C=c,则DE=() A.-1 2x1 B.-22 1 d+二b+二c a+二b+二c 3 3 3 3 3 3 1 1 -a- D.- 1a+万+2c 333 6.《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，已知在堑堵 ABC-A,BC中，AB⊥AC,AB=4,AC=AA,=6,BE=EA,CF=2FA,则 AE.BF=() A.-4 B.4 C.-3 D. -1- 道阻且长，行则将至 XXX中学 2025一2026学年第一学期校本作业 二、多选题：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的 7.已知空间向量ā=(2，-1,3)，b=-4,2,x,下列说法正确的是() A.若a1万，则x=3 10 B.若3ā+b=(2,-1,10),则x=1 C.若a在6上的投影向量为五，则x=4 710 D.若a与5夹角为锐角，则x∈3，+切 8.如图，正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为a,E是棱CD上的动点，且DE=DC(0≤入≤1)，则下列结论 正确的是（) D A.EB,⊥AD B B.点E到直线A,B的距离为√2a D C.直线4E与BA所成角的范围为子2 D.二面角E-48-4的大小为写 三、填空题 9.若直线1的斜率k∈-1，V3),则直线的倾斜角的取值范围是 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A'B'CD'中，点A到直线CD'的距离为一，点A到平面CB'D 的距离为一，平面A'BD到平面CB'D'的距离为 D' -2 道阻且长，行则将至 XXX中学 2025一2026学年第一学期校本作业 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 11.如图，AB是⊙0的直径.PA与00所在的平面垂直，PA=AB=2,C是⊙0上的一动点（不同于A, B),M为线段PB的中点，点N在线段PC上，且AN⊥PC P (I)求证：AN⊥MN; (2)当AC=BC时，求直线PC与直线AM所成角的余弦值， M -3 道阻且长，行则将至 XXX中学 2025一2026学年第一学期校本作业 12.如图，直三棱柱ABC-AB,C中，M,N分别为AB和BC的中点. (1)求证：MN/平面ACC,A,; (2)若AC=BC=CC,∠ACB=90°，求二面角N-CM-B的正切值； (3)若AC=2√2，AB=4,∠ACB=90°，MN⊥A,C,求A,C与平面CMN所成角的正弦值. C B C A M -4 道阻且长，行则将至 XXX中学 2025一2026学年第一学期校本作业 答案与解析： 1.A 【详解】立线的方同民蛋坐标川一、5同，成直线的翁率为得1。 所以直线的倾斜角为号 故选：A 2.C 【详解】对于A,AB=a+2b,BC=-5ā+6b, 子+名AB.8C不英线，即4B.C点不线，放A错误 对于B,BC=-5a+6b,CD=7a-2b, 亭：号C,0历不共线，即8，C,0三点不共线，成B结吴 C,AB=a+26,BD=BC+CD=-5a+66+7a-26=2a+4b, :AB=BD,则AB,BD共线，即A,B,D三点共线，故C正确： D,AC=AB+BC=a+26-5a+66=-4a+86,CD=7a-26, 之’AC,CD不共线，即4C,D三点不共线，故D错误 -48 7必 故选：C. 3.C 【详解】己知向量=(9,9,6，b=(1,1,0, 则向量ā在向量上的投影向量为 b= 9+96=-95 6 1+1 故选：C 4.答案】C 9 【详解】由于=A+4=+(4乐+4C)=+B+4C)， 所以a=W=aA+aB+AC矿+B+AC) ++C2+20+环+派 -5 道阻且长，行则将至 XXX中学 2025—2026学年第一学期校本作业 -2+2+2+0+2x2x,+2×2×5-0, 故选：C 5【答案】B 【详解】因为0-号0L8E-BC, 3 所以DE=0E-0D=0B+BE-0D=OB+(OC-OB)-0D c+o-o-+5+ 3 3 3 故选：B 6.B 【详解】方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴， AA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. AB=4,AC=AA =6,BE=EA,CF=2FA, B ∴.A0,0,0),B(4,0,0),C0,6,0,A(0,0,6,E2,0,3,F(0,2,4), ∴AE=2,0,3,BF=(-4,2,4, B .AE.BF=2×-4+0×2+3×4=4. 方法二：由题意得， 正=4+4E=M+48=4+B-4到=4+丽， BF=BA+4F=4-B+}4C=M-丽+(aC-4)=子M-丽+}C, :堑堵ABC-A,B,C,为直三棱柱，且AB⊥ACAB·AC=AB·AA=AA·AC=0, 征丽-（}M+（居-西+4c }4}西*6-4=12-8=4 故选：B. 7.ABD 【详解】对于A,:a1b,:ab=0, 又a=(2,-1,3,b=（4,2,x), -6- 道阻且长，行则将至 XXX中学 2025—2026学年第一学期校本作业 即ab=（2,-1,3)-4,2,x=-8-2+3x=0, 解得x号政A正确 对于B,:3ā+b=(2,-1,10), .3ā+b=32,-1,3+(-4,2,x=(2,-1,9+x)=(2,-1,10), .9+x=10,解得x=1,故B正确， a-B bB.万-16 对于C.a在6上的投影向量为万同，即可同3， 代入坐标化简可得3(-10+3x)=20+x2, 故x2-9x+50=0,x无解，故C错误， 对于D,:a与b夹角为锐角， 10 .a.b=-10+3x>0,解得x> 3 且ā与6不共线，即 42 2兮后3，解得x*-6, 则后与8夹角为锐角，解得x>号，放D正确 故选：ABD 8.ABD 【详解】如图建立空间直角坐标系，则A(a,0,0),E(0,m,0),0≤m≤a,B,(a,a,a),D(0,0,a,A(a,0,a), 对于A:EB=(a,a-m,a,AD=(-a,0,a, ZA D C 因为EB·AD=-a2+0+a2=0,所以EB⊥AD,即EB⊥AD,正确； A B 对于B:由正方体的结构特征知，CD/1A,B且四边形CDAB为矩形， 所以E到AB,的距离为B,C=V2a,正确， D AB 对于C:AE=（-a,m,0,BD=（-a-a,0), 设直线AE与BD所成角为O,则cos0=cos AE,B,D= a-m 2(a2+m5' 显然在m∈[0，a]中，cos0随m的变大而变小， -7- 道阻且长，行则将至 XXX中学 2025—2026学年第一学期校本作业 当m=0时，0s0最大等于三，此时6最小为子 2 当m=a时，c0s0最小等于0，此时6最大为受 所以0引，即直线松与aA所成角的范围为[引，不正确： ππ 对于D:二面角E-A,B,-A,即二面角D-A,B,-A, DA,⊥A,B,AA⊥AB,DA,C平面EAB,AAC平面AA,B, 所以∠DAA即为二面角E-A,B,-A的平面角， 在正方形4DD,4中∠D4A=牙，则二面角E-AB,-A的大小为子正确 故选：ABD 【详解】设直线l的倾斜角为a,a∈[0，π， v=tanx 1π3π 则k=tana,因为k∈-l,V3,所以-1<tana<√5， 34π 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角α∈Q,y好 10. 66 2525 5万 22 33 33 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD'所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A1,0,0,),C(0,1,0,B(1,1,0),A1,0,1,B'(1,1,1,,C(0,1,1,D'(0,0,1, CD' 11 CD=(0,-1,1),CD的单位方向向量方= cm0-4c=(-,0, D 则点4到直线CD'的距离为√-(C=5 也可以连接AC,AD',则点A到直线CD'的距离为等边△ACD'的高， 因为△4CD'边长为2，所以高为2sin-56, 32 AC=(-1,1,1,CB=(1,0,1,CD=(0,-1,1, B 故AC.CB=(-1,1,1(1,0,1=0,AC.CD=(-1,1,1(0,-1,1=0, -8 道阻且长，行则将至 XXX中学 2025—2026学年第一学期校本作业 又CB'∩CD'=C,CB,CD'c平面CB'D',所以AC'⊥平面CB'D', 所以平面CB'D'的法向量为AC=(-1,1,1), ACAC-11,0(-1,1川_2W3 点A到平面CB'D'的距离为 AC V1+1+1 3 因为AB=DC=(0,L,-1,AD=B'C=(-1,0,-1), 故A'B与D'C平行，又A'BC平面A'BD,D'C文平面A'BD,所以D'CII平面A'BD, 同理可得BC//平面A'BD, 又D'C∩B'C=C,D'C,B'Cc平面CB'D',所以平面A'BD到平面CB'D'平行， 其中BC=（-1,0,0),平面CB'D'的法向量为AC=(-1,1,1, BC.AC3 平面A'BD到平面CB'D'的距离为 AC' 3 故答案为： 6253 2 3 3 11. 【详解】(I)因为PA⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以PA⊥BC, 因为AB是OO的直径，所以BC⊥AC, 又PA∩AC=A,且PA,ACc平面PAC,所以BC⊥平面PAC. 又因为ANc平面PAC,所以AN⊥BC, 因为AN⊥PC,且PCOBC=C,PC,BCc平面PBC,所以AN⊥平面PBC, 因为MNc平面PBC,所以AN⊥MN 故AN⊥MN. (2)解法一：因为AC=BC,所以在等腰直角三角形ABC中，AB=2,得AC=√2 又在直角三角形PAC中，PA=2,得PC=√6 因为△PAB为等腰直角三角形，M为PB的中点，且PA=AB=2,得PB=2√2，所以AM=√2， 取BC的中点为S连接MS,则MS/PC,且MS=6 2 所以∠AMS为异面直线PC与AM所成的角或其补角， 在Ra4CS中，AC=5,CS=5,所以AS=0 2 -9- 道阻且长，行则将至 XXX中学 2025一2026学年第一学期校本作业 在△4MS中，M万，MSV6,S10,所以cos∠AMS=T二82+、了 =22-V5 2 2 2AM.MS 2V2xV66, 2 故直线PC与直线AM所成角的余弦值为 6 解法二：当AC=BC时，CO⊥AB,O,M分别是AB和PB的中点，所以OM IIPA 又PA与⊙O所在的平面ABC垂直，所以OM⊥平面ABC,ABc平面ABC,所以OM⊥AB 此时CO,OB,OM两两垂直， 分别以CO,OB,OM所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图： ZA 得P(0,-1,2),C(-1,0,0),A0,-1,0),M(0,0.1, M 故PC=(-1,1,-2,AM=(0,1,1 则cos(PC,AM PC·AM 0+1-2-V5 PC AM √6x√2 6 B 故直线PC与直线AM所成角的余弦值为 6 12. 【详解】(1)如图，取AC的中点P,连接PM、PC, C 因为M、P分别为B、AC的中点，所以PN∥BC且PM-号BC, B 又因为直三棱柱ABC-AB,C,中，N为BC,的中点，所以BC11C,N且。BC=CN, C 所以PM/C,N且PM=C,N,故四边形PMNC,是平行四边形，从而MN/IPC, A M B 因为PC,C平面ACC,A,MNz平面ACC,A,,所以MN/平面ACC,A (2)以C为原点，CA、CB、CC,所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设AC=BC=CC1=2,则C(0,0,0),M(1,1,0,N(0,1,2),B(0,2,0), C B 平面CMB的法向量为m,=(0,0,1), 设平面CMN的法向量为n2=(x,y,z),CM=(1,L,0),CN=(0,l,2), B CN=y+2=0令=1，得y=-2x=2,故=(2，-2，， 则 2·CM=x+y=0 M -10 道阻且长，行则将至