第5周 直线的倾斜角与斜率-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 18 — 第五周 直线的倾斜角与斜率 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第12题.该题主要考查数形结合、分类讨论思想,考查了考生活学活用的素养,从而 提高学生的逻辑推理能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 直线的倾斜角 1.(多选)下列命题中,正确的是 ( ) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α,则sinα∈(0,1) 2.(2025·山西晋城·阶段练习)已知直线l向上的方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l的倾 斜角为 . 考点二 直线的斜率 3.若过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,则m 的值为 . 4.经过下列两点的直线的斜率是否存在? 如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角. ①A(2,3),B(4,5);②C(-2,3),D(2,-1);③P(-3,1),Q(-3,10);④M(2,4),N(-3,4). 考点三 倾斜角和斜率的应用 5.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线AB 和AC 的斜率; (2)若点D 在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD 的斜率的变化范围. 6.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB 有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 考点四 两条直线平行的判定 7.已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m 的值为 . 8.判断下列各题中的直线l1 与l2 是否平行: (1)l1 经过点A(-1,-2),B(2,1),l2 经过点 M(3,4),N(-1,-1); (2)l1 的斜率为1,l2 经过点A(1,1),B(2,2); (3)l1 经过点A(0,1),B(1,0),l2 经过点 M(-1,3),N(2,0); (4)l1 经过点A(-3,2),B(-3,10),l2 经过点 M(5,-2),N(5,5). 考点五 两条直线垂直的判定 9.(多选)下列各对直线互相垂直的是 ( ) A.l1 过点 M(1,1),N(1,2),l2 过点P(1,5),Q(3,5) B.l1 的斜率为- 2 3 ,l2 过点P(1,1),Q0,- 1 2 C.l1 的倾斜角为30°,l2 过点P(3,3),Q(4,2 3) D.l1 过点 M(1,0),N(4,-5),l2 过点P(-6,0),Q(-1,3) 10.已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m 的值. — 17 — — 20 — 考点六 平行与垂直的应用 11.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D 四点,试判定四边形 ABCD 的形状. 12.(2025·武汉·阶段练习)已知四边形 ABCD 的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形 ABCD为直角梯形,求A 点坐标. 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 两条直线平行与垂直的综合应用 已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0). 探究问题: 求点D 的坐标,使四边形ABCD 为直角梯形(A,B,C,D 按逆时针方向排列) 【综合·一练到底】(共25分) 1.(2025·恩施·阶段练习)已知直线l1,l2 的斜率分别为kl1= a-2 3 ,kl2= 3 b+1 ,直线l1,l2 互相垂 直,且a,b>0,则2a+ 1 b 的最小值为 . 2.如图所示,菱形OBCD 的顶点O 与坐标原点重合,OB 边在x 轴的正半轴上,已 知∠BOD=60°,求菱形OBCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 3.(1)直线l1 经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2 经过点 M(1,1),N(2,1),判断l1 与l2 是否垂直; (2)已知直线l1 经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2 经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a 的值. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·济南·阶段练习)已知 M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q 的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ; (2)若点Q 在x 轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线 MQ 的倾斜角. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 19 — —86 — 所以cos<n1,n2>= n1·n2 |n1||n2| = -1 3× 3 =-13 , 设平面 MNA 与平面MNB 的夹角为θ, 则cosθ=|cos<n1,n2>|= 1 3. 故所求两平面夹角的余弦值为1 3. 【方法技巧】 利用坐标法求两平面夹角的步骤 (1)建立空间直角坐标系; (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量; (3)求两个法向量的夹角; (4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角). 【探究·一举突破】 探究路径 解 如图,过点 D 作DC 的垂线交SC 于 E,以D 为原点,以DC,DE,DA 所在直线 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. ∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD= 2,∴点S到y 轴的距离为1,到x 轴的距 离为 3,则有D(0,0,0),S(-1,3,0),A (0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1),设 平 面 SAD 的法向量为m=(x,y,z), ∵AD→=(0,0,-2),AS→=(-1,3,-2), ∴ -2z=0, -x+ 3y-2z=0, 取x= 3,得平面SAD 的一个法向量为m= (3,1,0). 又AB→=(2,0,-1),设 平 面 SAB 的 法 向 量 为n=(a,b,c), 则 n·AB→=0, n·AS→=0, 即 2a-c=0, -a+ 3b-2c=0, 令a= 3, 则n=(3,5,2 3), ∴cos<m,n>= m ·n |m||n|= 8 2×2 10 = 105 , 故平面SAD 与平面SAB 夹角的余弦值是 105 . 【综合·一练到底】 1.证明 以 D 为坐标 原 点,分 别 以 DA, DC,DD1 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 Dxyz. 设正方体的棱长为2, 则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F (0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2), ∴DA→=D1A1→=(2,0,0),DE→=(2,2, 1),D1F →=(0,1,-2). 设平面AED 的一个法向量为n1=(x1,y1,z1). 由 n1·DA →=(x1,y1,z1)·(2,0,0)=0, n1·DE →=(x1,y1,z1)·(2,2,1)=0, 得 2x1=0, 2x1+2y1+z1=0. 令y1=1,得n1=(0,1,-2). 同理,平面A1FD1 的一个法向量为n2=(0,2,1). ∵n1·n2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0, ∴n1⊥n2, ∴平面AED⊥平面A1FD1. 2.解 如 图,以 D 为 坐 标 原 点,分 别 以 DA,DC,DD1 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), F 0,12 ,0 ,E 1,12,1 ,B(1,1,0), ∴AE→= 0,12,1 ,AF→= -1,12,0 . 设平面AEC1F 的一个法向量为n=(1, λ,μ), 则n·AE→=0,n·AF→=0, ∴ 1 2λ+μ=0 , -1+12λ=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ λ=2 , μ=-1, ∴n=(1,2,-1). 又∵AB→=(0,1,0), ∴点B 到截面AEC1F 的距离d= |AB→·n| |n| = 2 6 = 63. 3.解 (1)证明:连接 A1E,因为 A1A=A1C,E 是AC 的中点,所以 A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1, 平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以A1E⊥平面ABC. 如图,以 点 E 为 原 点,分 别 以 射 线 EC, EA1 为y,z轴的正半轴,建立空间直角 坐标系Exyz. 不妨设AC=4,则A1(0,0,2 3),B(3, 1,0),B1(3,3,2 3),F 32 ,3 2 ,2 3 , C(0,2,0). 因此,EF→= 3 2 ,3 2 ,2 3 ,BC→=(- 3, 1,0). 由EF→·BC→=0得EF⊥BC. (2)设直线EF 与平面A1BC所成角为θ, 由(1)可得BC→=(- 3,1,0),A1C→=(0,2,-2 3),设平面 A1BC 的法向量为n=(x,y,z), 由 BC→·n=0, A1C →·n=0, 得 - 3x+y=0,2y-2 3z=0, 取n=(1,3,1),故sinθ=|cos<EF→,n>|= |EF →·n| |EF→|·|n| =45. 因此直线EF 与平面A1BC所成角的余弦值为 3 5. 【选做·一飞冲天】 (1)证明 ∵四边形ABCD,CDGF,ADGE 均 为正方形, ∴GD⊥DA,GD⊥DC. 又DA∩DC=D,DA,DC⊂平面ABCD,∴GD⊥ 平面ABCD. 以点 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直 角坐标系. 则B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1). ∵点 M 在棱DG 上,故可设 M(0,0,t)(0≤t≤1). ∵MB→=(1,1,-t),EF→=(-1,1,0), ∴MB→·EF→=0,∴BM⊥EF. (2)解 假 设 存 在 点 M,使 得 直 线 MB 与 平 面BEF 所 成 的 角 为45°. 设平面BEF 的法向量为n=(x,y,z), ∵BE→=(0,-1,1),BF→=(-1,0,1), ∴ n·BE→=0, n·BF→=0, ∴ -y+z=0,-x+z=0, 令z=1,得x=y=1, ∴n=(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量, ∴|cos<n,MB→>|=|n·MB →| |n||MB→| = |2-t| 3× 2+t2 , ∵直线 MB 与平面BEF 所成的角为45°, ∴sin45°=|cos<n,MB→>|, ∴ |2-t| 3× 2+t2 = 22 , 解得t=-4±3 2. 又0≤t≤1,∴t=3 2-4. ∴存在点 M(0,0,3 2-4). ∴当点 M 位于棱DG 上,且 DM=3 2-4时,直线 MB 与平面 BEF 所成的角为45°. 第五周 直线的倾斜角与斜率 【考点·一应俱全】 1.AC [任意一条直线都有唯一的倾斜角,故A正确;倾斜角不可能 为负,故B错误;倾斜角为0°的直线有无数条,它们都垂直于y轴, 故C正确;当α=0°时,sinα=0;当α=90°时,sinα=1,故D错误.] 2.60°或120° [有两种情况:①如图(1),直线l向上的方向与x 轴 正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°. (1) (2) ②如图(2),直线l向上的方向与x 轴正向所成的角为120°,即直 线l的倾斜角为120°.] 【规律总结】 直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图 形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 3.1 [由斜率公式k=4-mm+2=1 ,得m=1.] 4.解 ①存在.直线AB 的斜率kAB= 5-3 4-2=1 , 则直线AB 的倾斜角α满足tanα=1, 又0°≤α<180°, 所以倾斜角α=45°. ②存在.直线CD 的斜率kCD = -1-3 2-(-2)=-1 , 则直线CD 的倾斜角α满足tanα=-1, 又0°≤α<180°, 所以倾斜角α=135°. ③不存在.因为xP=xQ=-3, 所以直线PQ 的斜率不存在,倾斜角α=90°. ④存在.因为yM=yN=4, 所以直线 MN 的斜率为0,倾斜角α=0°. 5.解 (1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率kAB = 2-3 -4-3= 1 7. 直 线 AC 的 斜 率kAC = -2-3 0-3 = 5 3. 故直 线 AB 的 斜 率 为 17 ,直 线 AC 的 斜 率 为5 3. (2)如图所示,当点 D 由点B 运动到点C 时,直线 AD 的斜率由 kAB 增大到kAC,所以直线AD 的斜率的变化范围是 1 7 ,5 3 . 6.解 如图,由题意 可 知kPA = 4-0 -3-1=-1 , kPB= 2-0 3-1=1. (1)要使直线l与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的 取 值 范 围 是(-∞,-1]∪[1, +∞). (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之 间,又直线PB 的倾斜角是45°,直线PA 的倾斜角是135°, 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 【规律总结】 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度,二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 7.0或1 [当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线 MN 的斜 率存在,MN 与AB 不平行,不符合题意;当 m=-1时,直线 MN 的斜率不存在,而直线 AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不符 合题意;当m≠-2,且m≠-1时,kAB = 4-m m-(-2)= 4-m m+2 ,kMN = 3-1 m+2-1= 2 m+1. 因 为 AB∥MN,所 以 kAB =kMN,即 4-m m+2= 2 m+1 ,解得m=0或 m=1.当 m=0或1时,经检验,两直线不重 合.综上,m 的值为0或1.] 8.解 (1)k1= 1-(-2) 2-(-1)=1 ,k2= -1-4 -1-3= 5 4 ,k1≠k2,l1 与l2 不 平行. (2)k1=1,k2= 2-1 2-1=1 ,k1=k2, 故l1∥l2 或l1 与l2 重合. (3)k1= 0-1 1-0=-1 ,k2= 0-3 2-(-1)=-1 , 则有k1=k2. 又kAM = 3-1 -1-0=-2≠-1 , 则A,B,M 三点不共线.故l1∥l2. (4)由已 知 点 的 坐 标,得l1 与l2 均 与x 轴 垂 直 且 不 重 合,故 有 l1∥l2. 【方法技巧】 判断两条不重合的直线是否平行的方法 9.ABD [A中,l1 与x轴垂直,l2 与x轴平行,故两直线垂直;B中, l2 过点P(1,1),Q 0,- 1 2 ,kPQ =32,故 两 条 直 线 垂 直;C中, kPQ= 3,故l1 不与l2 垂直;D中,l1 过点 M(1,0),N(4,-5),kMN = -53 ,l2 过点P(-6,0),Q(-1,3),kPQ= 3 5 ,故两条直线垂直.] 10.解 若∠A 为直角,则AC⊥AB,∴kAC·kAB=-1, 即m+1 2-5 ·1+1 1-5=-1 ,解得m=-7; 若∠B 为直角,则AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1, 即1+1 1-5 ·m-1 2-1=-1 ,解得m=3; 若∠C为直角,则AC⊥BC,∴kAC·kBC=-1, 即m+1 2-5 ·m-1 2-1=-1 ,解得m=±2. 综上所述,m=-7或m=3或m=±2. 11.解 A,B,C,D 四点在坐标平面内的位置 如图, 由斜率公式可得 kAB= 5-3 2-(-4)= 1 3 ,kCD = 0-3 -3-6= 1 3 , kAD = 0-3 -3-(-4)=-3 , kBC= 3-5 6-2=- 1 2 , ∴kAB=kCD,由图可知AB 与CD 不重合, ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC,∴AD 与BC 不平行. 又kAB·kAD = 1 3× (-3)=-1, ∴AB⊥AD. 故四边形ABCD 为直角梯形. 12.解 ①若∠A=∠D=90°,如图(1),由已知AB∥DC,AD⊥AB, 而kCD =0,故A(1,-1). 图(1) 图(2) ②若∠A=∠B=90°,如图(2).设 A(a,b),则kBC =-3,kAD = b-2 a-1 ,kAB= b+1 a-6. 由AD∥BC⇒kAD =kBC,即 b-2 a-1=-3 ;由AB⊥BC⇒kAB ·kBC = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 85 — —88 — -1,即b+1a-6 ·(-3)=-1.解得 a=125 , b=-115 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故A 125,- 11 5 . 综上所述,A 点坐标为(1,-1)或 125 ,-115 . 【探究·一举突破】 探究路径 解 设所求点D 的坐标为(x,y), 如图所示,由于kAB=3, kBC=0, ∴kAB·kBC=0≠-1, 即AB 与BC 不垂直, 故AB,BC都不可作为直角梯形的直角腰. (1)若 CD 是 直 角 梯 形 的 直 角 腰,则 BC⊥ CD, AD⊥CD, ∵kBC=0, ∴CD 的斜率不存在,从而有x=3. 又kAD =kBC, ∴y-3x =0 ,即y=3,此时AB 与CD 不平行, 故所求点D 的坐标为(3,3). (2)若AD 是直角梯形的直角腰, 则AD⊥AB,AD⊥CD, ∵kAD =y -3 x ,kCD = yx-3 , ∴ y-3 x ·3=-1, y-3 x · y x-3=-1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得x=185 ,y=95 , ∴D 点坐标为 185 ,9 5 . 综上,D 点坐标为(3,3)或 185 ,9 5 . 【综合·一练到底】 1.3+2 2 [由题得kl1·kl2= a-2 3 · 3 b+1=-1 , 所以a+b=1,又a>0,b>0, 所以2 a+ 1 b= 2 a+ 1 b (a+b) =3+2ba + a b ≥3+2 2b a ·a b =3+2 2, 当且仅当2b a = a b , 即a=2- 2,b= 2-1时等号成立. 所以2 a+ 1 b 的最小值为3+2 2.] 2.解 在菱形OBCD 中,OD∥BC,∠BOD=60°, 所以直线OD,BC的倾斜角相等,都为60°, 所以kOD =kBC=tan60°= 3. 因为CD∥OB,且OB 在x 轴上, 所以直线OB,CD 的倾斜角相等,都为0°, 所以kOB=kCD =0, 由菱形的性质,知∠COB=30°,∠OBD=60°, 所以直线OC,BD 的倾斜角分别为30°,120°, 所以kOC=tan30°= 3 3 ,kBD =tan120°=- 3. 3.解 (1)直线l1 的斜率不存在,直线l2 的斜率为0,所以l1⊥l2. (2)由题意,知直线l2 的斜率k2 一定存在, 直线l1 的斜率可能不存在. 当直线l1 的斜率不存在时,3=a-2, 即a=5,此时k2=0, 则l1⊥l2,满足题意. 当直线l1 的斜率k1 存在时,a≠5, 由斜率公式,得k1= 3-a a-2-3= 3-a a-5 , k2= a-2-3 -1-2= a-5 -3. 由l1⊥l2,知k1k2=-1, 即3-a a-5 · a-5 -3 =-1,解得a=0. 综上所述,a的值为0或5. 【选做·一飞冲天】 解 (1)设Q(x,y),由已知得kMN =3, 由PQ⊥MN,可得kPQ·kMN =-1, 即 y x-3×3=-1.① 由已知得kPN =-2, 由PN∥MQ,可得kPN =kMQ, 即y+1 x-1=-2.② 联立①②求解得x=0,y=1,即Q(0,1). (2)设Q(x,0), ∵∠NQP=∠NPQ, ∴kNQ=-kNP. 又∵kNQ= 2 2-x ,kNP=-2, ∴ 22-x=2 ,即x=1, ∴Q(1,0). 又∵M(1,-1), ∴MQ⊥x轴, 故直线 MQ 的倾斜角为90°. 第六周 直线的方程 【考点·一应俱全】 1.解 (1)∵直线y= 33x 的斜率为 3 3 , ∴直线y= 33x 的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°,故其斜率为 3. ∴所求直线方程为y+3= 3(x-2), 即 3x-y-2 3-3=0. (2)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5, 故直线方程可记为x=5. (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率 kPQ= -4-3 5-(-2)= -7 7 =-1. ∵直线过点P(-2,3), ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+ y-1=0. 【易错提醒】 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出 方程y-y0=k(x-x0). (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直 线,但x=x0 除外. 2.解 由斜截式方程知,直线l1 的斜率k1=-2, 又因为l∥l1,所以kl=-2. 由题意知,l2 在y轴上的截距为-2, 所以直线l在y 轴上的截距b=-2. 由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2. 3.解 当m=0时,l1:4y-5=0;l2:x-4=0,l1 与l2 垂直; 当m≠0时,l2 的方程可化为y=- 1 6mx+ 2 3m. 由-3m8=- 1 6m ,得m=±23 ; 由10-3m 8 ≠ 2 3m ,得m≠23 且m≠83 , 所以当m=-23 时,l1 与l2 平行; 又-3m8 · -16m =-1无解. 故当m=-23 时,l1 与l2 平行; 当m=0时,l1 与l2 垂直. 4.解 (1)由题意可知,kl1=-1,kl2=a 2-2, ∵l1∥l2, ∴ a 2-2=-1, 2a≠2, 解得a=-1, 故当a=-1时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2 平行. (2)由题意可知,kl1=2a-1,kl2=4, ∵l1⊥l2, ∴4(2a-1)=-1,解得a=38. 故当a=38 时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直. 5.解 (1)BC边过两点B(5,-4),C(0,-2), 由两点式,得 y-(-4) -2-(-4)= x-5 0-5 ,即2x+5y+10=0, 故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0. (2)设BC的中点为M(a,b), 则a=5+02 = 5 2 ,b=-4+ (-2) 2 =-3 , 所以 M 52 ,-3 , 又BC边的中线过点A(-3,2), 所以 y-2 -3-2= x-(-3) 5 2- (-3) ,即10x+11y+8=0, 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0. 6.解 由直线经过点 A(1,0),B(m,1),因此该直线斜率不可能为 零,但有可能不存在. (1)当直线斜率不存在,即m=1时,直线方程为x=1; (2)当直线斜率存在,即 m≠1时,利用两点式,可得直线方程为 y-0 1-0= x-1 m-1 , 即x-(m-1)y-1=0. 综上可得,当m=1时,直线方程为x=1; 当m≠1时,直线方程为x-(m-1)y-1=0. 7.解 (1)当截距不为0时, 设直线l的方程为xa + y a =1 , 又l过点(3,4),所以3a+ 4 a=1 ,解得a=7, 所以直线l的方程为x+y-7=0. (2)当截距为0时,设直线l的方程为y=kx, 又l过点(3,4),所以4=k·3,解得k=43 , 所以直线l的方程为y=43x ,即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0. 8.解 (1)设A(a,0),B(0,b), ∵P(3,2)为AB 的中点,∴A(6,0),B(0,4), ∴由截距式得直线l的方程为x6+ y 4=1 ,即2x+3y-12=0. (2)由题意,设直线的截距式方程为xa + y b =1 (a,b>0), ∵直线过P(3,2),∴3a+ 2 b=1 , ∴1=3a+ 2 b≥2 3 a ·2 b ,∴ab≥24, 当且仅当3 a= 2 b ,即a=6,b=4时,等号成立, ∴△AOB 的面积S=12ab≥12 , ∴△AOB 面积的最小值为12,此时直线l的方程为x6+ y 4=1 , 即直线l的方程为2x+3y-12=0. 9.解 (1)由两点式方程得y-73-7= x-5 1-5 ,即x-y+2=0, (2)由点斜式方程得y-3=-3(x+4), 即3x+y+9=0. (3)由题意知x=2,即x-2=0. (4)由点斜式得y=2(x-1), 即2x-y-2=0. 【方法技巧】 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时,通常不设直线的一般式方程,而是根据给定条 件,选出四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式. 10.B [由题意,所求直线的斜率k=-2,且过P(2,1),所以直线方 程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.] 11.解 方法一 l的方程可化为y=-34x+3 , ∴l的斜率为-34. (1)∵l'与l平行,∴l'的斜率为-34. 又∵l'过点(-1,3), ∴由点斜式知l'的方程为y-3=-34 (x+1), 即3x+4y-9=0. (2)∵l'与l垂直, ∴l'的斜率为43 ,又l'过点(-1,3), ∴由点斜式可得l'的方程为y-3=43 (x+1), 即4x-3y+13=0. 方法二 (1)由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0.将点 (-1,3)代入上式得m=-9. ∴所求直线的方程为3x+4y-9=0. (2)由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0. 将(-1,3)代入上式得n=13. ∴所求直线的方程为4x-3y+13=0. 12.解 (1)由题意知m2-2m-3≠0,即 m≠3且 m≠-1,令y=0, 得x= 2m-6 m2-2m-3 , ∴ 2m-6 m2-2m-3 =-3,解得m=-53. (2)由题意知,2m2+m-1≠0,即m≠12 且m≠-1. 由直线l化为斜截式方程 得y=m 2-2m-3 2m2+m-1 x+ 6-2m 2m2+m-1 , 则m 2-2m-3 2m2+m-1 =1,解得m=-2. 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)当直线l过原点时,直线l在x 轴和y 轴上的截距均为0, ∴a=2,此时直线l的方程为3x+y=0; 当直线l不过原点时,a≠2,直线l在x 轴和y 轴上的截距分别为 a-2 a+1 ,a-2, ∴a-2a+1=a-2 ,解得a=0或a=2(舍去), ∴直线l的方程为x+y+2=0. 综上所述,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2, ∵l不经过第二象限, ∴ - (a+1)≥0, a-2≤0,) 解得a≤-1. 综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-1]. 【综合·一练到底】 1.y=-13x+ 4 3 [因为AB=AC,所以△ABC 外心,重心,垂心都 位于线段BC的垂直平分线上,设线段BC的垂直平分线的斜率为 k,则k·kBC=-1,因为kBC= 3-0 0-(-1)=3 ,所以k=-13 ,又因为 BC的中点坐标为 -12 ,3 2 ,所以△ABC 的欧拉线方程为y- 3 2=- 1 3 x+ 1 2 ,化成斜截式为y=-13x+43.] 2.解 设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,其中D,E 分别为AB, AC的中点, ∵点B 在中线BE:y-1=0上, ∴设B 点坐标为(x,1). 又∵A 点坐标为(1,3),D 为AB 的中点, ∴由中点坐标公式得D 点坐标为 x+12 ,2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 87 —