第十四章 全等三角形 数学活动+本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

数学活动 活动1》利用全等设计图案 1.万花筒的一个图案如图所示，图中所有小三角 形均是全等三角形，其中把四边形ABCD以A 为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的 四边形() A.顺时针旋转60° B.顺时针旋转120° C.逆时针旋转60 D.逆时针旋转120° 2.如图所示是一个长方形的门窗，在装修房屋 时，为了把它设计成美观大方的图案，设计师 要求在长方形中设计若干对全等的三角形，使 其面积的和等于长方形的面积， (1)按要求在长方形中画出你的设计图形， (2)写出你的设计方案。 3.如图所示是某房间木地板的一个图案，其中 AB=BC=CD=DA,AE=EC=CF=FA 图案由有花纹的全等三角形木块（阴影部分） 与无花纹的全等三角形木块（中间部分）拼成， 这个图案的面积是0.05m2.如果房间的面积 是13m,那么最少需要有花纹的三角形木块 和无花纹的三角形木块各多少块？ 40 (答案P9) 活动2〉用全等三角形证明拼图猜想 4.【综合与实践】 数学课上，王老师开展了一节以角的平分线为 主题的数学活动， 【作图】(1)如图所示，请你根据所学知识，作出 ∠AOB的平分线（保留作图痕迹，不写作法）. (2)角的平分线的画法是根据全等三角形的 判定 【应用】王老师告诉同学们，利用角的平分线作 图的原理，我国古代工匠设计出如图所示的平 分角的仪器，其中OD=OE,利用它，将仪器放 置在∠ABC上，使点O与顶点A重合，D,E 分别在AB,AC上，沿AF画一条射线AP, AP是∠BAC的平分线.此时所得的四边形 ADFE被称为“筝形”. A(O) 【解惑】(3)快下课时，王老师让同学们利用课 余时间连接筝形ADFE的两条对角线，探究 这两条对角线AF,DE的位置关系，小明认为 它们互相垂直，小方认为没有角的度数无法判 定，应该是相交，请你运用三角形的知识，判断 谁的说法正确并说明理由， 优+学案·课时通△ 本章综合提升（答案P10) //I1I1/ ·本章知识归纳 /111111/ 全等形及全等三角形的定义 对应边、对应角相等 全等三角形的性质 周长、面积相等 找第三边…( 已知两边 找夹角…( 若有直角…( 或 找这边的另一邻角…( 全等三角形 三角形全 已知一边 找这个角的另一邻边…（ 等的判定 与邻角 已知一 找这条边的对角…( 边一角 已知一边 找一角…（ 与对角 已知是直角，找一边…( 找夹边…( 已知两角 找其中一角的对边…( 尺规作图 性质：角的平分线上的点到角两边的距离 角的平分线的性质与判定 判定：角的内部到角两边的距离相等的点在 思想方法归纳 /III1II/I1II/I/l/I/0 【变式训练1】如图所示，AC=AE,∠C= ∠E,∠1=∠2. 1.转化思想 (1)求证：AB=AD. Q链接本章 (2)求证：EM=CN. 本章在证明线段相等或角相等时，通常 转化为证明三角形全等来解决， 【例1】如图所示，AB=AD,BC=CD,求 证：PB=PD △八年级·上册·数学.RJ 41 2.分类讨论思想 链接本章 某些情况下，在三角形全等时，有多种 对应的情况，注意分类讨论 【例2】（菏泽东明一模）如图所示，AB= 18m,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且 AC=6m,点P从B向A运动，每分钟走1m, 点Q从B向D运动，每分钟走2m,点P,Q同 时出发，运动几分钟后，△CAP与△PBQ全等？ D 【变式训练2】（信阳二模）如图所示，AB= 4cm,AC=BD=3cm,∠CAB=∠DBA,点P 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运 动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运 动.设运动时间为t(s),则当点Q的运动速度为 cm/s时，△ACP与△BPQ全等. 。通模拟匹 1.(淄博二模)如图所示的两个三角形全等，则 ∠E的度数为( ) 65 45入 A.80° B.70° C.60° D.50° 42 2.（厦门海沧区模拟)在如图所示的图形中，若 PE=PF,则能判断点P在∠EOF的平分线 上的是() D 3.(上海普陀区一模)如图所示，在四边形ABCD 中，AC为对角线，AB=DC,如果要证得 △ABC与△CDA全等，那么可以添加的条 件是( A.AD∥BC B.∠B=∠D C.∠B=∠ACD D.∠ACB=∠CAD=90° 第3题图 第4题图 4.（秦皇岛二模)如图所示，△ABC≌△AEF,有 以下结论：①AC=AE;②∠FAB=∠EAB; ③EF=BC;④∠EAB=∠FAC.其中正确的 结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(青岛校级二模)如图所示，已知AB=AC,若 以“SAS”为依据证明△ABE≌△ACD,需添加 一个条件是 优学案·课时通 6.(铁岭三模)如图所示，小虎用10块高度都是 3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂 直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直 角三角板(AC=BC,∠ACB=90),点C在 DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则 两堵木墙之间的距离为 cm. 7.(惠州二模)如图所示，CB=CD,∠D十 ∠ABC=180°，CE⊥AD于点E. (1)求证：AC平分∠DAB. (2)若AE=10,DE=4,求AB的长. 8.(济南校级模拟)如图所示，AE与BD相交于 点C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,点P从 点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速 度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以 1cm/s的速度运动，P,Q两点同时出发，当点 P到达点A时，P,Q两点同时停止运动，设点 P的运动时间为t(s). (1)求证：AB∥DE. (2)写出线段AP的长.（用含t的式子表示） △八年级·上册·数学.RJin (3)连接PQ,当线段PQ经过点C时，求t 的值. 之通中考y恤 9.(济南中考)如图所示，已 知△ABC≌△DEC, ∠A=60°，∠B=40°，则 ∠DCE的度数为( ) A.40° B.60° C.80° D.100° 10.(凉山州中考)如图所示，点E,F在BC上， BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件，不能证 明△ABF≌△DCE的是() A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB=DC D.AF-DE BE F C 第10题图 第11题图 11.(天津中考)如图所示，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长 为半径画弧，交AB于点E,交AC于点F;再 分别以点E,F为圆心，大于)EF的长为半 径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC 的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交 于点D,则∠ADC的大小为() A.60°B.65°C.70° D.75° 43 12.（成都中考)如图所示，△ABC≌△CDE,若 ∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度 数为 第12题图 第13题图 13.（德州中考)如图所示，C是AB的中点， CD=BE,请添加一个条件 ，使 △ACD≌△CBE. 14.（牡丹江中考)如图所示，在△ABC中，D是 AB上一点，CF∥AB,D,E,F三点共线，请 添加一个条件 ,使得AE=CE.（只 添一种情况即可) 第14题图 第15题图 15.（宿迁中考)如图所示，在△ABC中，∠B 50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB 长为半径画弧，交AC于点E,再分别以B、E 为圆心，大于2BE的长为半径画孤，两弧在 ∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则 ∠DAF= 16.(淄博中考)如图所示，已知AB=CD,点E, F在线段BD上，且AF=CE. 请从①BF=DE;②∠BAF=∠DCE; ③AF=CF中，选择一个合适的选项作为已 知条件，使得△ABF≌△CDE, 你添加的条件是： (只填写一个序号). 44 添加条件后，请证明AE∥CF. 17.(南通中考)如图所示，点D在△ABC的边 AB上，DF经过边AC的中点E,且EF= DE.求证：CF∥AB. 18.(镇江中考)如图所示，∠C=∠D=90°， ∠CBA=∠DAB, (1)求证：△ABC≌△BAD. (2)若∠DAB=70°，则∠CAB= D 19.(青岛中考)已知：如图所示，四边形ABCD, E为DC边上一点. 求作：四边形内一点P,使EP∥BC,且点P 到AB,AD的距离相等. 优+学案·课时通△(2)DE∥AC. 3.C4.C5.D 6.证明：，AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°，∴.DC=DE DC=DE, 在△DCF和△DEB中，∠C=∠BED, CF=EB, ∴.△DCF≌△DEB(SAS),.BD=DF 7.解：(1)如图所示，作∠ADE=∠C,交AB于点E,DE即 为所求. (2)22 8.D9.1510.42 11.解：(1)∠B=50°，∠C=60°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=70°. :AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=立∠BAC=35, ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=50°+35°=85 (2)如图所示，过点D作DH⊥AC于 点H ,'AD是△ABC的角平分线，DE⊥ AB,DH⊥AC, ..DH=DE=8. ,点F是AC上的动点，∴.DF的最小值为DH的长， 即DF的最小值为8. 12.解：PC=PD. 理由：如图所示，过点P分别作PE⊥OB 于点E,PF⊥OA于点F, ∴.∠CFP=∠DEP=90. ,OM是∠AOB的平分线， .'PE=PF. :∠PFO=∠PEO=90°，∠AOB=90°，∴∠FPE=90°. .∠2+∠FPD=90°.：∠CPD=90°， .∠1十∠FPD=90°.∴.∠1=∠2. 在△CFP和△DEP中， ∠CFP=∠DEP, PF=PE. ∠1=∠2， .△CFP≌△DEP(ASA).∴.PC=PD: 第2课时角的平分线的判定 1.A2.A 3.证明：D是BC的中点，.BD=CD DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.△BDE和△CDF都是直角三角形，△ADE和△ADF也 都是直角三角形 在Rt△BDE和Rt△CDF中， (BD=CD, BE=CF, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),.DE=DF. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， (AD-AD, DE=DF, .Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∴.∠DAE=∠DAF, ∴AD是△ABC的角平分线. 4.C5.122°6.C7.D8.B 9.①② 10.证明：(1)如图所示，过点P作PD⊥ AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥ AC于点F. ,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, .'.PD=PE,PE=PF, ..PD=PE=PF, ∴.AP平分∠BAC. (2②)：SaPa:Sa:S△Pe-(分AB·PD）:(2BC· PE):(AC.PF),PD-PE-PF, .SAPAB SAPRC SAPAC=AB:BC AC. 11.证明：.PE⊥OB,PD⊥OA, .∠PEG=∠PDF=90. 在Rt△PFD和Rt△PGE中， (PF=PG, DF=EG, .Rt△PFD≌Rt△PGE(HL).∴.PD=PE.P是OC上 一点，PD⊥OA,PE⊥OB,.OC是∠AOB的平分线： 12.解：(1)1：1 (2)如图所示，过点D作DE⊥AB于点 E,DF⊥AC于点F. E AD平分∠BAC,DE=DF. .AB=m,AC=n, ∴.SAABD:S△McD= (AB·DE）:(分ACDF) m i n. (3)AD=DE, ∴.由(1)知，S△ABD:S△EBD=1:1. SABDE=10, ∴.S△ABD=10. .AC=3,AB=5,AD平分∠BAC, .由(2)知，S△ABD:S△ACD=AB:AC=5:3, .S△AcD=6,.S△ABc=10+6=16. 数学活动 1.D 2.解：(1)设计如图所示：（答案不唯一） (2)设计方案：取各边的中点进行连线，再连接相对的顶点，即 中点相连，四边形相对的顶点相连， 3.解：·一个图案由4块有花纹的全等三角形木块和2块无花 纹的全等三角形木块拼成，且全等三角形的面积相等， .有花纹的三角形木块为(13÷0.05)×4=1040（块）， 无花纹的三角形木块为(13÷0.05)×2=520（块）. 答：最少需要有花纹的三角形木块1040块，无花纹的三角形 木块520块. 4.解：(1)如图①所示，射线OM即为所求 (2)ssS (3)小明的说法正确，理由如下： 如图②@所示，设AF与DE交于点O. 在△ADF和△AEF中 (AD-AE, DF=EF, AF-AF, ∴.△ADF≌△AEF(SSS), ∴.∠DAF=∠EAF, 在△AOD和△AOE中， AD=AE, ∠DAF=∠EAF, AO=AO, '.△AOD≌△AOE(SAS), .∠AOD=∠AOE, :∠AOD+∠AOE=180°， ∴∠AOD=∠AOE=90°， ∴.AF⊥DE, 故小明的说法正确， 本章综合提升 【本章知识归纳】 SSS SAS SAS HL ASA SAS AASAAS HL ASA AAS相等角的平分线上 【思想方法归纳】 【例1】证明：在△ABC和△ADC中， (AB=AD, BC=DC, AC=AC, .∴.△ABC≌△ADC(SSS), .∠BAC=∠DAC. 在△ABP和△ADP中， (AB=AD, ∠BAC=∠DAC, AP=AP, ∴.△ABP≌△ADP(SAS),∴.PB=PD 【变式训练1】证明：(1)，∠1=∠2， .∠1+∠EAC=∠2+∠EAC, .∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE,， RAC=AE, ∠C=∠E, .△ABC≌△ADE(ASA), ∴.AB=AD. (2)△ABC≌△ADE, .AB=AD,∠B=∠D.又∠1=∠2， .∴.△ABM≌△ADN(ASA),∴.AM=AN. .AE=AC,∴.EM=CN. 【例2】解：CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B, ∠A=∠B=90. 设运动x分钟后，△CAP与△PBQ全等， BP=x m,BQ=2x m,AP=(18-x)m. 分两种情况： ①若BP=AC,则x=6, AP=12 m,BQ=12 m,AP=BQ, .△CAP≌△PBQ; ②若BP=AP,则18-x=x, 解得x=9,BQ=18m≠AC, 此时△CAP与△PBQ不全等. 综上所述，运动6分钟后，△CAP与△PBQ全等. 【变式训练2】1或1.5 【通模拟】 1.B2.D3.D4.B 5.AE=AD(答案不唯一) 6.30 7.解：(1)证明：如图所示，过点C作CF⊥AB,交AB的延长线 于点F .CE⊥AD, .∠DEC=∠CFB=90°. :∠D+∠ABC=180°，∠CBF+ ∠ABC=180°， ∠D=∠CBF. 在△CDE和△CBF中， ∠D=∠CBF, ∠DEC=∠BFC, CD-CB, .△CDE≌△CBF(AAS), ∴.CE=CF, ∴.AC平分∠DAB (2)由(1)，得△CDE≌△CBF,.BF=DE 在Rt△ACE和Rt△ACF中， (AC=AC, CE=CF, ∴.Rt△ACE≌Rt△ACF(HL), ∴.AE=AF=10, ∴.AB=AF-BF=6. 8.解：(1)证明：在△ABC和△EDC中， (AC=EC, ∠ACB=∠ECD, BC=DC, ∴.△ABC≌△EDC(SAS), ∴.∠A=∠E, ∴.AB∥DE. (2)当0≤t≤4时，AP=2tcm, 当4<t≤8时，BP=(2t一8)cm, .AP=8-(2t-8)=(16-2t)cm. (3)如图所示，根据题意，得DQ=tcm, 由(1)，得∠A=∠E,ED=AB=8cm, 则EQ=(8一t)cm. 在△ACP和△ECQ中， ∠A=∠E, AC=EC, ∠ACP=∠ECQ, .△ACP≌△ECQ(ASA),∴.AP=EQ, 8 当0≤t≤4时，2t=8-t,解得t=3; 当4<t≤8时，16一2t=8-t,解得t=8. 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为 【通中考】 9.C10.D11.B 12.100° 13.AD=CE或∠ACD=∠B 14.DE=EF或AD=CF 15.10 16.解：可选取①或②（只选一个即可）. ①证明：在△ABF和△CDE中， AB=CD, AF=CE, BF=DE, .△ABF≌△CDE(SSS),.∠B=∠D. .BF=DE ∴.BF+EF=DE+EF, ..BE=DE 在△ABE和△CDF中， AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, ∴.△ABE≌△CDF(SAS), .∠AEB=∠CFD, ∴.AECF 或②证明：在△ABF和△CDE中， (AB=CD, 4 ∠BAF=∠DCE， AF=CE, .△ABF≌△CDE(SAS) ∠B=∠D,BF=DE, .BF十EF=DE十EF,.BE=DF 在△ABE和△CDF中， AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, ∴.△ABE≌△CDF(SAS), ∴.∠AEB=∠CFD, :.AE//CF. 17.证明：，点E为边AC的中点， ∴.AE=EC. DE=EF,∠AED=∠CEF, .△AED≌△CEF(SAS), ∴.∠DAE=∠FCE ∴CF∥AB 18.解：(1)证明：在△ABC和△BAD中， ∠C=∠D=90°， ∠CBA=∠DAB AB=BA, ∴.△ABC≌△BAD(AAS) (2)20 19.解：如图所示，作∠DAB的平分线AM,以E为顶点，ED为 一边作∠DEN=∠C,EN交AM于点P,如图所示，点P 即为所求. 或8. 3 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.A2.②3.B4.B5.A6.100°7.C 8.证明：根据题意，得四边形FGCE与四边形FDAE对称， ∴.DA=GC=CB,∠G=∠D=∠B=90° 又.∠GCF+∠ECF=90°，∠BCE+∠ECF=90°， ∴.∠GCF=∠BCE. ,'.△FGC≌△EBC(ASA) 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线 1.C 2.证明：.CD垂直平分AB,.AC=BC 11