第十三章 专题一 与三角形有关的角+数学活动-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

12.解：(1).CE平分∠ACD,.∠ECD=∠ACE.∠BAC= ∠E+∠ACE,∴.∠BAC=∠E+∠ECD..∠ECD= ∠B+∠E,.∠BAC=∠E+∠B+∠E,∴.∠BAC= 2∠E+∠B. (2),CE平分∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE.,∠ECD ∠ACB=30°，2∠ECD+∠ACB=180°，∴.∠ACB=40°， ∠ECD=70°.，CA⊥BE,∴.∠B+∠ACB=90°，.∠B= 50°.∠ECD=∠B+∠E,∴.∠E=70°-50°=20. 13.解：(1)∠A=2∠BOC一180°.理由如下： O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，，∠ABC= 2∠OBC,∠ACB=2∠OCB.在△ABC中，∠A+2∠OBC+ 2∠OCB=180°，.∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180°.在 △BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，.∠OBC+ ∠OCB=180°-∠BOC,.∠A+2(180°-∠BOC)=180°， ∴.∠A=2∠BOC-180°. (2)∠A=2∠BOC.理由如下： :O是∠ABC和∠ACD的平分线的交点，∴∠ABC= 2∠OBC,∠ACD=2∠OCD.,'∠ACD=∠A+∠ABC= ∠A+2∠OBC,∠OCD=∠BOC+∠OBC,∴.2（∠BOC+ ∠OBC)=∠A+2∠OBC,∴.∠A=2∠BOC. (3)∠A=180°-2∠BOC.理由如下： :O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线的交点， .∠CBD=2∠OBC,∠BCE=2∠OCB,.∠ABC=180° ∠CBD=180°-2∠OBC,∠ACB=180°-∠BCE=180°- 2∠OCB,.∠ABC+∠ACB=360°-2（∠CBO+∠BCO) .:∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴.2（∠CBO+∠OCB)= ∠A+180°.在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∴.∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC,.2(180°-∠BOC)= ∠A+180°，∴.∠A=180°-2∠BOC. 专题一与三角形有关的角 1.C2.30°直角3.50°60°70°4.C5.C 6.30°解析：：BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是 △ABC的外角∠ACM的平分线， ∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50. :∠PCM是△BCP的外角，∠P=∠PCM-∠CBP= 50°-20°=30°. 7.解：(1)证明：如图①所示，连接AO并延长， ∠3是△ABO的外角， ∴.∠1+∠B=∠3.① :∠4是△AOC的外角， .∠2+∠C=∠4.② ①+②，得∠1+∠B+∠2+∠C=∠3+∠4， 即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C. (2)如图②所示，连接AD,由(1)可得 ∠F+∠2+∠3=∠DEF,③ ∠1+∠4+∠C=∠ABC,④ ③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠DEF+ ∠ABC=130°+100°=230°， 即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230° 130 1009 B ② 8解：D5时02∠BED=90-号∠C 证明：：AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线， ÷∠ABE-∠ABC,∠BAE-G∠BAC, :∠BED=∠ABE+∠BAE=合（∠ABC+∠BAC) 2180-∠c)-90-2∠c. 9.解：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=80°， .∠CBD=∠A+∠ACB=110. :BE是∠CBD的平分线， 1 ÷∠CBE=2∠CBD=55 (2):∠ACB=80°，∠CBE=55°， .∠CEB=∠ACB-∠CBE=80°-55°=25. DF∥BE,.∠F=∠CEB=25°. 10.解：∠B+∠C+∠BAC=180°， ∠B=40°，∠C=35°，.∠BAC=105. 又：AE平分∠CAD, ∴.∠CAE=∠DAE. 由翻折得∠BAD=∠DAE, ∠B=∠E=40°. .∠BAD=∠DAE=∠CAE=35° ∴.∠AFD=∠CAE+∠C=70°. 又：∠AFD=∠1+∠E,∠1=70°-40°=30. 11.解：∠CEC'=180°-∠1，∠CFC'=180°-∠2，由翻折得 ∠CEF=2∠CBC,∠CFE=∠CPC.在△CEF中， ∠C=180-∠cEr-∠cFE=150-号(18o-∠1) 2180-∠2)=180-90+7∠1-90+号∠2- 321+∠8. .∠1+∠2=2∠C. 12.解：(1)①是 ②：∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”， △BPC内角的度数分别是72°，72°，36°，∴.∠BCP=36°或 72°，.∠ACP=54°或18°. (2)如图①所示，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时， 满足条件，此时∠BCP=45°； 如图②所示，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此时 ∠BCP=60°； 如图③所示，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时 ∠BCP=50°， 如图④所示，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时 ∠BCP=40°： 如图⑤所示，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时 ∠BCP=30°. 综上所述，满足条件的∠BCP的度数为30°或40°或45°或 50°或60°. 100 1009 ④ 数学活动 1.解：能，画出图形如图所示. 2.A3.D4.D5.125 6,14解析：D:=2,D=2' D55 .D=5. 治普 D6=14. 7.(1)12 （2)23 (3)(n-3)(n-2) (4)103 本章综合提升 【本章知识归纳】 锐角三角形直角三角形钝角三角形底边和腰不相等 等边三角形大于小于180°互余与它不相邻 【思想方法归纳】 【例1】解：解法1：如图①所示，延长AD交BC于点E,则根据三 角形外角的性质有∠ADC=∠C+∠DEC,∠DEC= ∠A+∠B,.∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+ 25°=100°. 解法2：如图②所示，过点D作BC的平行线EF,交AB于 点E,则由平行线的性质知∠FDC=∠C,∠AED=∠B.又 根据三角形外角的性质有∠ADF=∠A十∠AED, '.∠ADF=∠A+∠B.又∠ADC=∠ADF+∠FDC, .∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+25°=100°. 【变式训练1】解：(1)∠1∠2∠A (2)思路一：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB十 ∠4=180°， ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180°-67° 25°-40°=48°. 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°， ∴.∠1=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132° 思路二：：∠2是△ABD的外角， ∴.∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°. .∠1是△CDP的外角， .∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°. 【例2】解：当△ABC为锐角三角形时（如图①所示），，BD,CE 是△ABC的高，∠A=45°，∴∠ADB=∠BEH=90°， 在△ABD中，∠ABD=180°-90°-45°=45. ,∠BHC是△BHE的外角， .∠BHC=90°+45°=135°. ① ② 当△ABC为钝角三角形时（如图②所示）， :H是△ABC两条高所在直线的交点，∠A=45°， ∠ACE=180°-90°-45°=45°，.∠HCD=45°， .∠BHC=180°-90°-45°=45°. 综上所述，∠BHC的度数为135°或45° 【变式训练2】22解析：当腰为4，底为9时，不能构成三角形； 当腰为9，底为4时，周长为22. 【通模拟】 1.C2.B3.A4.180° 5.解：(1)①AD是△ABC的高， .∠ADC=90° :∠C=60°， ∴.∠DAC=180°-∠C-∠ADC=30° ②.∠B=40°，∠C=60°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=80. ,AE是△ABC的角平分线， ∠CAE=7∠BAC=40 ∴.∠DAE=∠CAE-∠DAC=10°. (2).∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C. :AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE=∠BAC=90-3∠B-2∠C. :∠AED是△ABE的外角， ∴∠AED=∠B+∠BAE=90+号∠B-名∠C. :AD是△ABC的高，∠ADC是△ADE的外角， ∴.∠DAE=∠ADC-∠AED =90-(00+∠B-∠c) =90-90-2∠B+g∠c 1 =∠c-∠B. .1 【通中考】 6.B7.C 8.三角形具有稳定性 9.3或4或5或6或7（任写一个即可）解析：设三角形的第三 边长为x,则5一3<x<5+3,即2<x<8. :第三边的长为整数，x=3或4或5或6或7. 10.直角解析：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角 的度数分别为2x°，3x°， 根据题意得x十2x十3x=180, 解得x=30,专题一与三角形 类型1)已知三角形中各角的数量关系，求角 的度数 1.在△ABC中，2（∠A+∠B)=3∠C,则∠C的 补角等于() A.36° B.72° C.108°D.144° 2.在△ABC中，若∠A=号∠B-写∠C,则 ∠A= ,△ABC是 三角形. 3.已知△ABC中的∠B=∠A+10°，∠C= ∠B+10°，则∠A= ,∠B= ∠C= 类型2)根据三角形外角的性质，求角的度数 4.运算能力两个直角三角板按如图所示摆放， 其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C= 30°，AB与DF交于点M.若BC∥EF,则 ∠BMD的度数为() A.60° B.67.5° C.75° D.82.5° 5.如图所示，在△ABC中，∠A=30°，若沿图中 虚线截去∠A,则∠1十∠2=() A.150° B.200° C.210° D.240° 20° 50% 第5题图 第6题图 6.(珠海期中)如图所示，BP是△ABC中∠ABC 的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平 分线.若∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P= 14 有关的角（答案P3) 7.推理能力(1)探究：如图①所示，求证： ∠BOC=∠A+∠B+∠C. (2)应用：如图②所示，∠ABC=100°，∠DEF= 130°，求∠A十∠C+∠D+∠F的度数 E0130° 100 ② 类型3)与角平分线相结合，求相关角的度数 8.探究拓展如图所示，在△ABC中，AD,BE分 别是∠BAC,∠ABC的平分线， (1)若∠C=70°，∠BAC=60°，则∠BED的度 数是 ;若∠BED=50°，则∠C的度数 是 (2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你 的结论。 优十学案·课时通△ 类型4)与平行线相结合，求相关角的度数 9.如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB= 80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交 AC的延长线于点E, (1)求∠CBE的度数. (2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点 F,求∠F的度数 类型5)三角形内角和定理在折叠图形中的 应用 10.如图所示，在△ABC中，D为BC上一点，将 △ABD沿AD翻折得到△AED,AE与BC 相交于点F,若AE平分∠CAD,∠B=40°， ∠C=35°，求∠1的度数. B-- △八年级·上册·数学.RJw 11.如图所示，将△ABC折叠，使点C落在点C 处，折痕为EF.探究∠1，∠2与∠C之间的 数量关系. 类型6》自定义问题 12.阅读理解在一个三角形中，如果一个角是另 一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍 角三角形”.如图所示，在△ABC中， ∠ACB=90°，点P是线段AB上一点（不与 A,B重合)，连接CP, (1)当∠B=72时， ①若∠CPB=54°，则△ACP (填“是” 或“不是”)“倍角三角形” ②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的 度数 (2)当△ABC,△BPC,△ACP都是“倍角三 角形”时，求∠BCP的度数， 15 数学活亏 活动1)搭等边三角形 1.空间观念如图所示，以3根等长的火柴为边， 可以组成一个三角形，用6根等长的火柴为边 最多可以组成几个等边三角形？9根等长的火 柴最多可以组成几个等边三角形？在平面内， 用6根等长的火柴最多可以组成2个三角形， 但在空间里却能组成4个等边三角形，因此本 题要从空间去考虑.用6根火柴棒能拼成边长 为一根火柴棒长的4个等边三角形吗？用9 根火柴棒能拼成？个等边三角形吗？请你想 一想，并画出图形 活动2》多边形的三角剖分 2.如图所示的图形属于多边形的有( △□○0○日 A.3个B.4个C.5个D.6个 3.推理能力从一个n边形的一个顶点出发，分 别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边 形分割成7个三角形，则n的值是() A.6 B.7 C.8 D.9 16 力（答案P4) 4.(菏泽鄄城期末)从多边形的一个顶点出发可 引出7条对角线，则它是() A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形 5.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没 有对角线，边形共有条对角线，则 (m一k)”= 6.对角线把多边形分成几个三角形，叫作“多边 形的三角剖分”.如图所示，凸四边形ABCD, 有两种剖分方法.我们说凸四边形的三角剖分 数为2，记作D4=2.某数学家发现并证明了下 m+1=4n-6( 面的公式：当n≥3时，D (Dn表示 n 凸n边形的三角剖分数，D3=1). 请你用上面的公式计算D6= 7.探究归纳题： ① ② ③ (1)如图①所示，经过四边形的一个顶点可以 作 条对角线，它把四边形分成 个三角形， (2)如图②所示，经过五边形的一个顶点可以 作 条对角线，它把五边形分成 个三角形， (3)探究归纳：对于n边形(n>3),过一个顶点 可以作 条对角线，它把n边形分成 个三角形.（用含n的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条 对角线，那么这个多边形的边数为 4i1 优计学案·课时通△