第13章 三角形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 新教材人教版八年级三角形单元拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（7题72分），选题有深度且覆盖全面，可精准量化掌握程度，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形重心、三边关系、中线高判定|结合生活情境（悬挂物体重心），考查空间观念| |填空题|6/18|三角尺摆放角度、六边形稳定性、折叠面积|融入动手操作（三角尺摆放），体现数学眼光| |解答题|7/72|翻折综合、新概念“和谐三角形”、潜望镜光线|21题翻折问题考查推理能力，23题潜望镜情境强化应用意识，22题新概念探究发展创新意识|

第13章 三角形·拔尖卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上． 【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上， 薄板状物体的重心位置在直线上． 故选：C． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，若，，则的值不可能为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合选项判断哪个数值不在该范围内． 【详解】解：∵在△ABC中，，， ∴， ∴， ∴． 选项A：在的范围内，故该选项不符合题意； 选项B：在的范围内，故该选项不符合题意； 选项C：在的范围内，故该选项不符合题意； 选项D：不在的范围内，故该选项符合题意． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴是的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵， ∴为边上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵G为的中点， ∴是边上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵， ∴为的高线，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）在下列条件中：①；②；③；④，其中能确定为直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题重点考查三角形内角和定理，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键． 通过三角形内角和为判断每个条件是否能推出一个角为，从而确定是否为直角三角形． 【详解】①，， ，即， 为直角三角形． 故①符合题意． ，， ． 不是直角三角形． 故②不符合题意． ， ，． ， ，． ，． 为直角三角形． 故③符合题意． ， ，． ， ，． ，． 不是直角三角形． 故④不符合题意． 综上，①和③能确定，共2个． 故选：B 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 7．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，是平行四边形的边上的点，连接、、Q是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，，再根据等底等高得到，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：平行四边形， ，， Q是的中点， ， ，， ， 故阴影部分的面积为． 8．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，，点在直线上，点在直线上，点在、之间且在所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不与、重合），连接并延长到，设 ，要使得为定值，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，设，则，利用平行线的性质以及三角形外角性质可得，，即可得，再根据为定值求出的值即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，为定值， ∴． 9．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折使最终落在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由折叠的性质可知，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得，根据平行线的性质可知，根据，可知． 【详解】解：如下图所示， 由折叠可知， 四边形是长方形， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 由折叠可知， 又， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，则下列结论： ①；②；③；④．正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角定理逐一进行判断即可． 【详解】解：，平分， 平分， ， ，①正确； ， 是的角平分线， ， ；②正确； 是的角平分线，平分， ， ， ， ， ，③正确； ，故④错误； 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 12．（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 【答案】75度/ 【详解】解：由题意得，， ∴， ． 13．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木框稳定，需利用木条将其分割成三角形，从六边形的一个顶点出发引对角线即可确定所需木条数量. 【详解】 解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引条对角线，这将把六边形分割成个三角形，从而使整个木框具有稳定性； 故至少要钉上根木条. 14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点B的对应点为，连接，若，则面积的最大值为____． 【答案】 【分析】作，设，交于点，根据三角形的中线平分面积得到，折叠得到，推出，再根据，以及斜边大于直角边，得到当重合时，最大，进行求解即可． 【详解】解：作，设，交于点， ∵为的中点， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当重合时，最大， 此时最大． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________． 【答案】 【分析】设、交于点，根据题意可得，，再根据，，得到，即可求解． 【详解】解：如图，设、交于点， 、，，，，， ，， ，， ， 故答案为：． 16．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：当时，当于时，当时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：如图，当时， ，， ， 平分， ， ； 如图，当于时， ， ； 如图，当时， ，， ． 综上所述，的度数为或或． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：如图，记，，． ， 又 平分， ， （2） 理由如下：设，， 平分 ， 又 18．（8分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 19．（10分）（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，，，与交于点F，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，延长交于点，根据平行线的性质结合三角形的外角定理即可求解； （2）设，，可得，，，，结合（1）可知，进而根据三角形内角和求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，延长交于点，    ∵， ， ， ， ； （2）解：如图②，    ，， 即， 设，， ，，，， 由（1）知：， ， ， ， ． 20．（10分）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 21．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F． (1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：　 ；所有与∠C相等的角：　 　 ．   (2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ． ① 求∠B的度数； ②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30 【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B相等的角；由等角代换即可得与∠C相等的角； （2）①由三角形内角和定理可得，再由根据角的和差计算即可得∠C的度数，进而得∠B的度数． ②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可． 【详解】（1）由翻折的性质可得：∠E＝∠B， ∵∠BAC＝90°，AE⊥BC， ∴∠DFE＝90°， ∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°， 即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°， ∴∠C＝∠FDE， ∴AC∥DE， ∴∠CAF＝∠E， ∴∠CAF＝∠E＝∠B 故与∠B相等的角有∠CAF和∠E； ∵∠BAC＝90°，AE⊥BC， ∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90° ∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90° ∴∠BAF＝∠C 又AC∥DE， ∴∠C＝∠CDE， ∴故与∠C相等的角有∠CDE、∠BAF； （2）①∵ ∴ 又∵， ∴∠C＝70°，∠B＝20°; ②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°则,, 由翻折可知：∵, , ∴, , 当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：； 当∠FDE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）； 当∠DFE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）； 综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．且． 【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识． 22．（12分）（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， 或． 23．（14分）（25-26七年级下·广东湛江·期中）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 【答案】(1)，理由见解析 (2)； (3) 【分析】（1）利用光的反射定律，结合内错角相等得到反射角相关的角的关系，再依据平行线的判定定理判断和的位置关系； （2）利用平角的性质求出的度数，根据平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据反射定律推出的度数，结合平角定义、三角形内角和定理计算的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得：、， ， ， ， 、， ， ； （2）解：由题意得：、， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得：、， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形·拔尖卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，若，，则的值不可能为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）在下列条件中：①；②；③；④，其中能确定为直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，是平行四边形的边上的点，连接、、Q是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，，点在直线上，点在直线上，点在、之间且在所在直线的左侧，若，点为线段上一点（不与、重合），连接并延长到，设 ，要使得为定值，则值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折使最终落在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，则下列结论： ①；②；③；④．正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 12．（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 13．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点B的对应点为，连接，若，则面积的最大值为____． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________． 16．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 18．（8分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 19．（10分）（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，，，与交于点F，求的度数． 20．（10分）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 21．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F． (1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：　 ；所有与∠C相等的角：　 　 ．   (2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ． ① 求∠B的度数； ②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由． 22．（12分）（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 23．（14分）（25-26七年级下·广东湛江·期中）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $