第十三章 三角形 本章综合提升+综合与实践 确定匀质薄板的重心位置-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

100 1009 ④ 数学活动 1.解：能，画出图形如图所示. 2.A3.D4.D5.125 6,14解析：D:=2,D=2' D55 .D=5. 治普 D6=14. 7.(1)12 （2)23 (3)(n-3)(n-2) (4)103 本章综合提升 【本章知识归纳】 锐角三角形直角三角形钝角三角形底边和腰不相等 等边三角形大于小于180°互余与它不相邻 【思想方法归纳】 【例1】解：解法1：如图①所示，延长AD交BC于点E,则根据三 角形外角的性质有∠ADC=∠C+∠DEC,∠DEC= ∠A+∠B,.∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+ 25°=100°. 解法2：如图②所示，过点D作BC的平行线EF,交AB于 点E,则由平行线的性质知∠FDC=∠C,∠AED=∠B.又 根据三角形外角的性质有∠ADF=∠A十∠AED, '.∠ADF=∠A+∠B.又∠ADC=∠ADF+∠FDC, .∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+25°=100°. 【变式训练1】解：(1)∠1∠2∠A (2)思路一：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB十 ∠4=180°， ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180°-67° 25°-40°=48°. 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°， ∴.∠1=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132° 思路二：：∠2是△ABD的外角， ∴.∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°. .∠1是△CDP的外角， .∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°. 【例2】解：当△ABC为锐角三角形时（如图①所示），，BD,CE 是△ABC的高，∠A=45°，∴∠ADB=∠BEH=90°， 在△ABD中，∠ABD=180°-90°-45°=45. ,∠BHC是△BHE的外角， .∠BHC=90°+45°=135°. ① ② 当△ABC为钝角三角形时（如图②所示）， :H是△ABC两条高所在直线的交点，∠A=45°， ∠ACE=180°-90°-45°=45°，.∠HCD=45°， .∠BHC=180°-90°-45°=45°. 综上所述，∠BHC的度数为135°或45° 【变式训练2】22解析：当腰为4，底为9时，不能构成三角形； 当腰为9，底为4时，周长为22. 【通模拟】 1.C2.B3.A4.180° 5.解：(1)①AD是△ABC的高， .∠ADC=90° :∠C=60°， ∴.∠DAC=180°-∠C-∠ADC=30° ②.∠B=40°，∠C=60°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=80. ,AE是△ABC的角平分线， ∠CAE=7∠BAC=40 ∴.∠DAE=∠CAE-∠DAC=10°. (2).∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C. :AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE=∠BAC=90-3∠B-2∠C. :∠AED是△ABE的外角， ∴∠AED=∠B+∠BAE=90+号∠B-名∠C. :AD是△ABC的高，∠ADC是△ADE的外角， ∴.∠DAE=∠ADC-∠AED =90-(00+∠B-∠c) =90-90-2∠B+g∠c 1 =∠c-∠B. .1 【通中考】 6.B7.C 8.三角形具有稳定性 9.3或4或5或6或7（任写一个即可）解析：设三角形的第三 边长为x,则5一3<x<5+3,即2<x<8. :第三边的长为整数，x=3或4或5或6或7. 10.直角解析：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角 的度数分别为2x°，3x°， 根据题意得x十2x十3x=180, 解得x=30, ∴.3x°=3×30°=90°， 这个三角形是直角三角形 11.9解析：AD是△ABC的中线，.BD=CD. △ACD的周长为8，.AC十CD+AD=8. AC=3,∴.CD十AD=5.∴.BD十AD=5. AB=4,∴.AB+BD+AD=9,即△ABD的周长为9. 12.证明：方法一：DE∥BC, ∴.∠B=∠BAD,∠C=∠CAE. .∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°， .∠B+∠BAC+∠C=180 方法二：：CD∥AB, .∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°， .∠B+∠ACB+∠A=180° 综合与实践确定匀质薄板的重心位置 1.C 2.C 3.解：(1)重心 (2)两条对角线的交点两条对角线的交点两条对角线的 交点一个平面图形的重心在两条对角线的交点上. 4.解：如图所示，点G即为所求. 由图可得BH,AE分别是△ABC边AC,BC的中线， G是△ABC的重心. 5.解：如图所示，点G即为所示，把模板分成两个长方形，连接 各自的中心； 把模板重新分成两个长方形，得到连接各自中心的第二条线 段，标出重心G. 6.(4,2) 7.解：建立平面直角坐标系如图所示. D 4 Cl 21 6 A1 B 连接BC将该几何图形分为长方形和三角形，则S长方彩AB©D一 4X2=8,重心坐标为(2,1DS=5-2×2×3=3,重心坐 标为（什s+4,0+9+3)(台， .S组合图形=8十3=11， 2xs+号X3+4-器 重心坐标：x重心= 11 11 1 y重心= 1×8+1X3_8+3=1, 11 11 因此，组合图形的重心坐标为(0，小. 8.解：①如图所示，点G即为所求作， Rt△ABC的重心是直角三角形三条中线的交点，两个完全相 同直角三角形拼成一个长方形，当两个直角三角形的斜边重 合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边AB的交点 就是四边形的重心. ②如图所示.直角△ABC的重心是直角 三角形三条中线的交点M,直角△AHB 的重心是直角三角形三条中线的交 点N,由题意知，△ACH和△BCH是等 腰三角形且AC=AH,BC=BH. ∴.△ACH和△BCH的重心都在AB边 上，∴四边形ACBH的重心是线段MN与AB的交点. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.B2.D3.A4.△ABC≌△ADE∠DAE BC5.B 6.解：'△ABD≌△ACE, ∴.AD=AE,AB=AC. ..BE=AE-AB=AD-AC=6-4=2(cm). 在△OBE中，∠E=30°，且∠E+∠BOE=∠ABD=50°， .∠BOE=20°..∠COD=20°. 7.解：(1)△ABD≌△CFD,∴.AD=CD=7. ,BC=10,∴.BD=BC-CD=10-7=3. (2)证明：.AD⊥BC, .∠ADB=90°，∴.∠B+∠BAD=90° .△ABD≌△CFD, '.∠BAD=∠FCD, .∠B+∠FCD=90°， ∠CEB=180°-（∠B+∠FCD)=90°，.CE⊥AB. 8.A 9.证明：由平移的性质，得 △ABC≌△A1B,C1. (1)由全等三角形的性质，得BC=B,C1, .BC+CB1=B1C1十CB1,即BB1=CC1 (2)由全等三角形的性质，得 ∠B=∠AB1C1,∴.ABAD.∴∠A=∠D. 14.2三角形全等的判定 第1课时边角边(SAS) 1.D2.B 3.证明：'∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE. '.∠BAE=∠CAD. 在△ABE和△ACD中， (AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE-AD,本章综合提升（答案P4) 111111/ ·本章知识归纳· /11111/ 三角形的定义及有关概念 三角形的概念 按角分类： 分类 三边都不相等的三角形 按边分类 的等腰三角形 等腰三角形 三角形两边的和 第三边 三边之间的关系 三角形 三角形两边的差 第三边 与三角形有关的线段 中线 角平分线 高 内角和定理：三角形三个内角的和等于 三角形的内角 三角形的 直角三角形的两个锐角 内角与外角 三角形的外角：三角形的一个外角等于 的两个内角的和 思想方法归纳 1I111II/II1l10 【例1】二题多解如图所示，已知∠A= 30°，∠B=45°，∠C=25°，试求∠ADC的度数. 1.转化思想 在研究数学问题时，我们通常是把未知的知 识转化为已知的知识，把复杂的问题转化为简单 的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把数 学问题转化为实际问题来解决.在本章中，辅助 线与转化思想是在一起出现的，及时地总结辅助 线的作法将给以后的解题带来极大的方便和帮 助，“转化”起到了由未知到已知、由难到易、由繁 到简的作用， 链接本章 三角形内角与外角的转化；我们可以将 三角形中的边角关系转化为已知的定理和 公式，从而进行计算 △八年级·上册·数学.RJi 17 【变式训练1】二题多解如图所示，P是 【例2】已知非直角△ABC中，∠A=45°， △ABC内一点，延长BP交AC于点D,连 高BD和CE所在直线交于点H,求∠BHC的 接PC. 度数 B (1)∠1，∠2，∠A的大小关系是 (2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想 求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种 帮助嘉嘉完成求解. 思路一 思路二 【变式训练2】等腰三角形的两边长是4和9， 先利用三角形内角和求出 先利用三角形外角的性质 则周长为 ∠PBC十∠PCB的度数， 求出∠2的度数，再利用三 通模拟 K11111111 再利用三角形内角和求出 角形外角的性质求出∠1 ∠1的度数 的度数. 1.(聊城期末)如图所示，在△ABC中，BD是AC 边上的高，CE是∠ACB的平分线，BD,CE交 于点F.若∠AEC=80°，∠BFC=128°，则 ∠ABC的度数为( ) A.28° B.38° C.42° D.62° 2.分类讨论思想 分类讨论思想是将一个较复杂的问题分解 第1题图 第2题图 为几个简单的基础问题，再通过这几个基础性问 2.(合肥模拟)将两块直角三角板按如图所示摆 题的解决来实现解决原来数学问题的思想方法， 放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°， 在分类讨论问题时，应按以下原则进行： ∠DCB=45°.若AC,BD相交于点E,则 (1)分类中的每一部分是相互独立的： ∠AED的度数为( (2)一次分类必须按一个标准； A.110° B.105° C.95° D.75 (3)分类讨论应逐级进行 3.(聊城高唐期末)下列说法：①三角形的一个外 Q链接本章 角等于这个三角形的两个内角的和；②三角形 在本章中分类讨论思想是我们学习的 中最小的锐角不能大于60°；③三角形任意两 重点，如已知等腰三角形的两条边长，求周 个内角的和大于第三个内角；④三角形一边上 长或第三条边长，这时等腰三角形的腰和底 的高小于这个三角形的其他两边；⑤直角三角 不明确，需要进行分类讨论， 形只有一条高.其中正确的个数为() A.1个 B.2个C.3个 D.4个 18 优十学案·课时通 4.(潍坊高密月考)如图所示，∠A十∠B十∠C+9.(徐州中考)若一个三角形的边长均为整数，且 ∠D十∠E的度数为 两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 (写出一个即可) 10.(遂宁中考)若三角形三个内角的比为12： 3,则这个三角形是 三角形 11.(陕西中考)如图所示，AD 是△ABC的中线，AB=4, AC=3.若△ACD的周长为 B 5.(聊城阳谷期末)如图所示，在△ABC中，AE 8,则△ABD的周长为 是角平分线，AD是高. 12.(北京中考)下面是证明三角形内角和定理的 (1)若∠B=40°，∠C=60°，求： 两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成 ①∠DAC的度数；②∠DAE的度数. 证明 (2)已知∠C>∠B,用∠B,∠C表示∠DAE. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等 于180° 如图所示，已知△ABC,求证：∠A十∠B+ ∠C=180°. 方法一 方法二 证明：如图所示，过点证明：如图所示，过点C作 ←通中考》 A作DE∥BC. CD∥AB 6.(福建中考)若某三角形的三边长分别为3， D---------- 4,m,则m的值可以是(） A.1 B.5 C.7 D.9 7.(长沙中考)如图所示，在△ABC中，∠BAC 60°，∠B=50°，AD∥BC,则∠1的度数为() D A.50° B.60° C.70° D.80 8.(吉林中考)如图所示，钢架桥的设计中采用了 三角形的结构，其数学道理是 △八年级·上册·数学.RJ 19 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置（答案5） 活动一)确定简单平面图形的重心位置 活动二》确定平面组合图形的重心位置 1.三角形的重心是() 6.如图所示，在平面直角坐标系内构造出小正方 A.三条高线的交点 形的边长均为单位长度为1的8×4网格，且 B.三条角平分线的交点 点A,B,C都是格点，则△ABC的重心坐 C.三条中线的交点 标为 D.三条垂直平分线的交点 2.取一块质地均匀的三角形木板，顶住三角形的 某一个点，若这块木板能保持平衡，则这个 点是() A.三角形的一个顶点 B.三角形的一条边的中点 7.探究拓展请你建立适当的平面直角坐标系并 C.三角形三条中线的交点 计算下面图形的重心坐标 D.三角形三条高所在直线的交点 3.(1)重力在物体上的作用点叫 (2)均匀正方形薄板的重心在 均匀长方形薄板的重心在 ,均 匀平行四边形薄板的重心在 8.在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小 一个平面图形的重心在哪里呢？ 刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如 果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘 在周末查阅了相关资料，得到如下的信息： 4.如图所示，△ABC的顶点是方格纸中的三个 ①四边形也有重心；②在平面内，图形A与图 格点，在图中画出△ABC的重心G. 形B拼成一个图形C,那么图形C的重心一定 ①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角； ②保留作图痕迹， 在图形A的重心与图形B的重心连接的线段 上.根据以上信息，解决下列问题： 如图所示，有两张全等的直角三角形纸片，其中 一张记为Rt△ABC,C为直角顶点，将这两个三 角形拼成一个四边形，使得斜边重合.请画出所 有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重 心G.(不用写作法，保留痕迹，写出结论) 5.现有如图所示的一块均匀模板，请只用直尺和 铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不 允许用铅笔在直尺上作记号). 20 优+学案·课时通△