第十八章 分式 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

建议用时10分钟，实际用时 分钟 第3课时综合运用提公因式法和公式法分解因式（答案P38) 分解因式： (1)4x2+8xy+4y2; (2)4x2(a-b)+(b-a); (3)a3b-2a2b2+ab3; (4)x2(x-3)+4(3-x);(5)(3.x-2)2-(2x+7)2;(6)a2(a-b)+2ab(b-a)+b2(a-b). 建议用时10分钟，实际用时分钟 18.1 18.1.1从分数到分式（答案P38) 1当x满足什么条件时，分式女有意义？ 2.当x满足什么条件时，分式十2))有意文？ 3巴奥分式证，同答下列问题 (1)若分式无意义，求x的取值范围. (2)若分式的值是零，求x的值： (3)若分式的值是正数，求x的取值范围. △八年级·上册.数学.RJ 19 建议用时10分钟，实际用时 分钟 18.1.2第1课时分式的基本性质（答案P39) 阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知工=义=之(a,b,c互不相等)，求x十y十之的值 Ha-bb-c c-a 解：设，二=义=之。=k,则c=ka-b),y=6-c),z=k(c一a), a-b b-c c-a .x+y十x=k(a-b+b-c十c-a)=k·0=0,.x+y十z=0. 依照上述方法解答下列问题： 已知，士-牛-生其中红+y+0,求的位 xy之 建议用时10分钟，实际用时分钟 第2课时分式的约分与通分（答案P39) 1.约分： 2 o9- (3) 2x2-2 x2-2x+1 2.通分： a02s与2m3 1 1 (3)x-y与 2y2 +yi 2g与2z46 1 (4) (5) 1与-2x+ x2-x 60,2a2与，-otg a 20 优+学案·课时通△ 建议用时10分钟，实际用时分钟 计算： 18.2第1课时 分式的乘除（答案P39) (1)4a+46.15a'6 x2-y2 3y-3x 5ab a2-b2 (2》3x2-6xy+3‘x2+2xy+y oph (4)26-aa2-46 a 5a2; 6)+y÷红+3》÷y x2-xy xy-y3i 02广n- 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第2课时分式的乘方及混合运算（答案P39) 1.计算： (-+6·治 2z)广(-)八； (3)(x2-4y2)÷2y+2.。1 a2-81_.a-9,a+3 xy x(2y-x)i (4)a+6a+g2a+6a+9 2.(临沂月考)某水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨重(m一2)2千克，西瓜重(2一4)千克，其 中m>2,售完后，两种水果都卖了540元. (1)请用含m的代数式分别表示这两种水果的单价. (2)凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？ △八年级·上册.数学.RJ 21 建议用时10分钟，实际用时 分钟 18.3第1课时 分式的加减（答案P39) 计算： (1)2 4 ）m-2十2-m (2)2x-3y2x+3y (3)6x+33z xy 'x2-y2x2-y29 (4)a+b-a2-62 a-bi (5)1一x+1 x x-1x-i x-1十+2x (6)2x+1+x+x-2 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第2课时分式的混合运算（答案P39) 1.计算： (2)m”÷(m+ m --2n). m 2.下面是小华同学在笔记本上完成课堂练习的解题过程： (a2+2)·是+22t5,是c第 2-m 3-m =9-m.m-一2（第二步） 2-m3-m =3十m(第三步) 上面过程出错的是第 步，请你把这道题的正确计算过程写出来. 22 优十学案·课时通△ 建议用时10分钟，实际用时分钟 18.4第1课时负整数指数幂（答案P40) 1.计算： (1(2)厂'+1-21-(x-1)； (2)(号)×31+(x-2026)÷(号). 2.计算下列各式，并且把结果化成只含有正整数指数幂的形式： (1)x-2y3·(-3x-1y2)2÷(2xy-2)3; 2)°÷.(。)， (3(w)厂÷(3x), w(方·g() 3.(宿迁宿豫区期未)已知a=-3,6=3,c=(-号)'，d=(-3),先计算a,6c,d的值，再比较它们的 大小，并用“<”连接起来. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第2课时科学记数法（答案P40) 1.用科学记数法表示下列各数： 0.0001,0.00013,0.000000204,-0.00000000406. 2.运算能力“黑洞”是恒星演化的最后阶段.根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被 耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体.如果这一星体的质量超过 太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩.当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏(Schwarzschild)半 径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞.施瓦 氏半径（单位：m)的计算公式是R-2GM,其中G=6.67×10“N,mg,为万有引力常数；M表示星 球的质量（单位：kg);c=3×108m/s,为光在真空中的速度. 已知太阳质量为2×1030kg,计算太阳的施瓦氏半径. △八年级·上册·数学.RJ 23 建议用时10分钟，实际用时分钟 18.5第1课时分式方程的解法（答案P40) 解方程： 2+z-8(83 5 763 81 2 2, 36 (6)x+1+x-=1-x2-1' (6)1 4x2 0x+2十x2-4c-2 建议用时10分钟，实际用时分钟 第2课时分式方程的应用（答案P40) (重庆中考)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进 行更新换代. (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的 设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的 设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万 元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得 70万元的补贴后，还需投人多少资金更新生产线的设备？ 24 优+学案·课时通△=x2y2-2xy+xy-2-2x2y2+2 =-x2y2-xy. (2)由题意，得A一B=-x2y2. 由(1)知A=-x2y2-xy, :-x2y2-xy-B=-z2y2,.B=-zy. (3)由(1)知A=-x2y2-xy, 由(2)知B=-xy, A÷B=(-x2y2-xy)÷(-xy)=xy+1. 故A÷B的正确结果为xy十1. 16.316.3.1平方差公式 1.解：(1)原式=a-2a2+2(a2-1)=a-2a2+2a2-2=a-2. (2)原式=(m2-4n2)-(m2+7mn-8n2) =m2-4n2-m2-7mn+8n =4n2-7mm. 2.解：(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y)=12,x十3y=4, .4×(x-3y)=12, .x-3y=3. (2)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=-10000-4= 9996. a(1-(1-)1-)-(-202)01-22） -(1+2)1-)(1+3)(1-号)小-(1+202)(1 202z)(1+202s)(1-2023) 4大 =×2 ,2023、2021、2024、2022 3 K2022×2022×2023×2023 =7×号8器 1012 =2023 16.3.2第1课时完全平方公式 1.解：(1)原式=x2+6xy+9y2-(x2-y2)-10y2=x2十 6xy+9y2-x2+y2-10y2=6xy. (2)原式=4a2-12ab+9b2-9a2+12ab-4b2=-5a2+5b2. 2.解：(1)原式=2(x十y2_2×612 xy 55 (2)原式=(x十y)2-4xy=62-4×5=16. (3)原式=(x十y)2-2xy=62-2×5=26. 3.解：(1)如果a,b是两个实数，那么有a2十b2≥2ab. (2)证明：(a-b)2≥0， ∴.a3-2ab+b2≥0， ∴.a2+b2≥2ab. 第2课时添括号法则 1.解：(1)原式=(x+y)2-x2-[(x十y)十x]=(x十y)2- z2-[(x十y)2+2z(x+y)+z2]=(x十y)2-z2-(x十y)2-2z (x十y)-z2=-2x2-2xz-2y2. (2)原式=[3-(2a+b)][3+(2a+b)]=9-(2a+b)2=9 (4a2+4ab+b2)=9-4ab-b2-4a2. 2.解：(1)892 (2)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2, 证明如下： 等式左边=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=n+6n3+9n2+ 2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1, 等式右边=(n2+3n+1)2-(n2+1)2+2·3n·(n2+1)+ 9n2=n+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1, 左边=右边. 17.1用提公因式法分解因式 解：(1)原式=y2-3y十2y-6+6=y2-y=y(y-1) (2)原式=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2 (3)原式=6.x(a-b)-4y(a-b)=(6x-4y)(a-b)=2(3x 2y)(a-b). (4)原式=2m(m-n)2+8m2(m-n)=2m(m-n)(m-n+ 4m)=2m(m-n)(5m-n). (5)原式=(x-y)[3(x+y)-(x-y)]=(x-y)(3x+3y x+y)=(x-y)(2x+4y)=2(x-y)(x+2y). (6)原式=(x-y)3-2x(x-y)2=(x-y)2(x-y-2x)= (x-y)2(-x-y)=-(x-y)2(x+y). 17.2第1课时用平方差公式分解因式 解：(1)原式=(2x+5y)(2x-5y). (2)原式=y(x+1)(x-1). (3)原式=(2x十y-x)(2x-y十x). (4)原式=(5a-3b)(3a-5b). (5)原式=-3xy(y+3x)(y-3x). (6)原式=4a2(x+2y)(x-2y). 第2课时用完全平方公式分解因式 解：(1)原式=(2x-1)2.(2)原式=一(3a-b)2. 112 (3)原式=(2m-2n)、(4)原式=-4(a+b2, (5)原式=(a+b+3)2.(6)原式=(x-y). 第3课时综合运用提公因式法和公式法分解因式 解：(1)原式=4(x2+2xy十y2)=4(x十y)2. (2)原式=4x2(a-b)-(a-b)=(a-b)(4x2-1)= (a-b)(2x+1)(2x-1). (3)原式=ab(a2-2ab+b2) =ab(a-b)2」 (4)原式=(x一3)(x2-4) =(x-3)(x+2)(x-2) (5)原式=(3x-2+2x+7)(3x-2-2x-7) =(5x+5)(x-9) =5(x+1)(x-9) (6)原式=(a-b)(a2-2ab+b2) =(a-b)(a-b)2 =(a-b)3. 18.118.1.1从分数到分式 1解要使日有意义，则分母1-≠0，则x≠士1 x2-1 2.解：要使(z十2)z-D有意义，则分母(x+2)(x-1)≠0，则 x≠一2且x≠1. 3.解：(1)由题意得2一3x=0, .2 解得工=3· (2)由题意得x一1=0，且2-3x≠0， 解得x=1. (3)由题意得①z-1>0, 2-3x>0, 此不等式组无解； 8 ②/2-1<0， (2-3x<0, 解得号<x<1. 综上，分式的值是正数时，x的取值范围为号<x<4, 18.1.2第1课时分式的基本性质 解：设y+-+=+卫=k, 之 (y+之=kx①， 则：{x十z=y②， x+y=kz③， ①+②+③，得2x+2y+2x=k(x+y+), .x十y十z≠0， .k=2, 六照式-数亲-宁 第2课时分式的约分与通分 3X6a'b 3 1.解：1)原式=46c×6a646e -2X(3-a)2 2 (2)原式=-53-a》×3-a)53-a)叫 (3)原式=2(x+1)(x-1)_2(x+1) (x-1)2 x-1 2.解：(1) 2 4(m+3) 4m+12 m-32(m+3)(m-3)2m2-18 m-3 m-3 2(m+3)2(m+3)(m-3)2m2-18 x'y(x-y)x'y-x'y2 （2)z+yxx+)-y》-xy-zy1 1 1 x+y x+y xy-zy2xy(z-y)xy(x十y)z-y)x3y-xy3· x2-y22y22y2 (3)x一y= x+yz+yx+y' 2x 2x Ax 4.x 4-9(x+3)x-3-2x+3)x-3)2-18 x(x-3) x2-3.x 2x+62(x+3)2(x+3)(x-3)2x2-18 =x-1 x-1 《⑤2xx-)xx-1)7-2x7 1 x2-2x+1(x-1)2x(x-102x3-2x2+x 2 -2(a+3)(a-3) (6)g=3a=3a+3)a-3)9 a-13(a-1)(a-3) a2-93(a+3)(a-3)2 a 3a(a+3) a2-6a+93(a+3)(a-3)2 18.2第1课时分式的乘除 解：(1)原式=4(a+b, 15a2b12a 5ab (a+b)(a-b)a-b' (2)原式=+)z-y2.「3x-7 3(x一y)2·(z十y)2 、1 x+y a-1(a+2)(a-2) a+2 (3)原式=a-2·a+1)(a-a-2)a+T (4原式=26-a. 5a2 5a a·(a+26(a-2b)=-a+26 (5)原式=xx+y.1·y(x-y_1 z(x-y)z+y (6)原式=(x+1)(x-1) 4(x+1)2 1 (x+1)2 ·2x+Dc-1D·(x-1) 2 (x-1)21 第2课时分式的乘方及混合运算 ,46.2628b 1.解：1)原式=·3ac·3a9c a2 (2)原式= y.x÷y y3 27x‘÷= 27y31 @)照赋-&+wu-2)多·[]-y 17 0原式=at992.2a+号2 (a+3)2 2.解：(1)根据题意，得凤梨的单价为 5元/千克：西瓜的 单价为碧元/千克 (2)根据题意，得凤梨的单价是西瓜单价的倍数为 540 m-2)2÷ 540 540,(m+2)(m-2)_m+2 m2-4(m-2)2 540 m-2* 18.3第1课时分式的加减 4m2-4 解：(1)原式= m-2m-2-n-2=m+2. (2)原式=2红-3y-2x-3y=-6 xy (3)原式=6x+3y-3x_3x+3y 3(x+y) 3 x2-y2 x:-y2(x+y)(x-y)x=y （40原式=a十6-a+b)a-b)=a+6-a十6)=0. a-b x-1 1 (5)原式= _x-1-x2+1 x-Dx(-D+-1)-x(-D) -x(x-1) x(x-1) -1. (6)原式=x一1)(x+1) x(x+2) (x-1)2 ”贵+ 2x+1 x-1 第2课时分式的混合运算 1.解：(1)原式=16+(x+4)(x-).x-4-16+x2-16 x-4 x(x-2)x(x-2) x(x-2)x-2 (2)原式=m-:m+n2-2mm_m-.m 1 m m m (m-n)2 m-n 2.解：三 (a2+) =(m+2)(2-m)+5.m-2 2-m 3-m 9-m2m-2 2-m3-m (3+m)(3-m)m-2 2一m 3-m =-(3+m) =-3-m. 39 18.4第1课时负整数指数幂 1.解：(1)原式=2十2-1=3. (2)原式=号×号+1÷3=号+号-18 3,113 2.解：（1)原式=x2y3·9x2y÷8xy6=( 87y'=9g 8)z2-2-3y3+4--0=9 8x7 原式-()-(）- (3)原式-（号）y÷[(得) 4y2 )原式=c.6c.66 aaea-a 3解：a=-3=-9,6=3=日6=(-号） =9, (-3)°=1， '.a<b<d<c. 第2课时科学记数法 1.解：0.0001=1×104， 0.00013=1.3×10-4, 0.000000204=2.04×10-？, 一0.00000000406=-4.06×10-9 2.解：R=2X6.67×101×2X10 (3×108)2 ≈2.96×103(m). 答：太阳的施瓦氏半径为2.96×103m. 18.5第1课时分式方程的解法 2x 5 解：1)原方程可化为22一1一2z—=3. 方程两边同乘(2x-1),得2x一5=3(2x一1)， 部得工=一包 检验：当x=-2时，2x1=2×(←号)-1=-2≠0， 所以：=言是原分式方程的解。 7 6 3 (2)原方程可化为xx十D(红-Dx+①Dz(1-2) 方程两边同乘x(x一1)(x十1)，得7(x一1)一6x=一3(x 解得x=1. 检验：当x=1时，x(x一1)(x十1)=0， 所以x=1不是分式方程的解.所以原分式方程无解. (3)去分母，得x(x+1)=4+(x-1)(x十1). 解得x=3. 检验：当x=3时，(x-1)(x十1)≠0， 所以，原分式方程的解为x=3. (4)去分母，得 2(x-1)+(x+2)(x-1)=x(x+2). 解得x=4. 检验：当x=4时，(x十2)(x一1)≠0， 所以，原分式方程的解为x=4. (5)去分母，得2(x-1)+3(x+1)=6. 解得x=1. 检验：当x=1时，(x十1)(x一1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解. (6)去分母，得x-2十4x=2(x+2). 解得x=2. 检验：当x=2时，(x十2)(x一2)=0， 所以x=2不是原分式方程的解， 所以，原分式方程无解. 第2课时分式方程的应用 解：(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线，根据题 意，得任+y=30, x=10, 解得 3x+2y=70, y=20. 答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线， (2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买 更新1条甲类生产线的设备需投入(m十5)万元， 根据题意，得200=180 m+5 m 解得m=45, 经检验，m=45是所列方程的解，且符合题意， .∴.10(m+5)+20m-70=10×(45+5)+20×45-70=1330. 答：还需投入1330万元资金更新生产线的设备. 自我测评卷 第十三章自我测评卷 1.D2.C3.D4.C5.B6.B7.B8.C9.B 10.D11.5<x<912.1913.2.214.20°或30° 15.22.5°16.15° 17.解：，AD是BC边上的中线，AC=2BC,BD=CD 设BD=CD=xcm,AB=ycm,则AC=4xcm. .'AC>AB,.'.AC+CD=60 cm,AB+BD=40 cm: 即4x+x=60,x+y=40, 解得x=12,y=28, AC=4x=48 cm,AB=28 cm. 18.解：如图所示，由题意得∠CAD=40°， 1), ∠CBF=75° AE∥BF, ∴.∠CDE=∠CBF=75°， .在△ACD中，∠C=∠CDE ∠CAD=75°-40°=35°. 答：港口A,灯塔C与B岛形成的∠ACB的度数为35 19.解：(1)：三角形的第一条边长为3a十b,第二条边长为 2a-b, ,∴.第三条边长m的取值范围是3a+b一(2a一b)<m< 3a+b+(2a-b),即a+2b<m<5a. (2)a,b满足|a-5|+(b一2)2=0， /a=5, b-2=0,b=2, '.5+2×2<m<5×5,即9<m<25, 则三角形的周长为3a十b+(2a-b)+m=5a+m=25+m. 40