第十八章 分式 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

本章综合提升（答案32） 111111/ ·本章知识归纳· /1111111 定义 分母中含有未知数的式子 分式有意义的条件： 相关条件 分式值为0的条件： 分式的分子与分母乘（或除以）同 一通分 分式及 基本性质 个 的整式，分式值的不变 其基本 约分 性质 乘除： a c a d 分式的运算 乘方：()”= 加减：±名 a c ad be ±aa±6a 概念：分母中含有 的方程 分式方程 解法：去分母、化为整式方程、求解、 实际应用：设未知数、列方程、解方程、检验、答 ·思想方法归纳 1III/IIIII11u 【变式训练】小运蕴能力解方程：专十 1.转化思想 1 链接本章) 2=3一x 本章的转化思想主要体现在将分式的 除法转化为乘法，异分母分式的加减转化为 同分母分式的加减，分式方程转化为整式方 程等 2.整体思想 【例1】（北京昌平区期中）解方程： 链接本章) x-1 分式的化简求值中常用到整体思想，把 1 一个式子看成整体，并把这个整体代入 x+1 求值. 【例2】二题多解已知上-1=5，则代数 x y 式3江-20xy一3y的值为( x-2xy-y 35 A.5 B- c D.一 3 △八年级·上册·数学.RJw 135 【变式训练2】（茂名高州月考）若x2一3x十 (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工 1=0,则x+x2十1 的值为() 人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资 为300元，所有工人的工资总金额不超过18万 1 1 1 A.7 B.8 D.10 元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 9 3.建模思想 Q链接本章 列分式方程解应用题是建模思想在本 章中的体现，解决问题的关键是找出题目中 的等量关系，根据等量关系列出分式方程. 【例3】（北京延庆区期中）列方程解应 用题： 小东一家自驾车去某地旅游，手机导航系统 为他们推荐了两条路线方案，方案一全程75km, 方案二全程90km.汽车在方案二行驶的平均速 度是在方案一行驶的平均速度的1.8倍，预计在 。通模拟u 方案二行驶的时间比在方案一行驶的时间少半 1.(六安舒城期末)下列关于分式的说法错误的 小时，求汽车在方案一行驶的平均速度， 有() ①分数一定是分式； ②分式的分子中一定含有字母； ⑧对于任意有理数，分式子总有遮义： 团当A=0,B≠0时，分式含的值为0A,B是 整式). A.1个 B.2个C.3个D.4个 么（保定定州三模）者3”，则力的值为(） A.-3 C.-2D.2 【变式训练3】（雅安中考）某市为治理污水， 3.(新乡原阳月考)计算：( ·) 保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排 放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影 (-2)的结果是() 响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加 25%,结果提前15天完成铺设任务. A.、8x3 山o B823 1o (1)求原计划与实际每天铺设管道各多 16.x2 C. D.16x2 少米. 136 优+学案·课时通△ 4.(金昌三模)下列计算正确的是() 多20千米/时，若小颖回来路上所花的时 A.1-1=1 B1+1=1 xyx一y xy xy 间比去时所用时间节省了}，求公共汽车 C.工-x+11 1 大1 的平均速度. 3y 3y3y D.y0 5.(沧州黄骅一模)对于a,b定义：a★b=1 a-b2, 已知分式方程x★（一D一33z的解满足不等 式(2-a)x-3>0,则a的取值范围为() A.a<1B.a>1C.a<3D.a>3 6.(泰安岱岳区二模)如图所示，一个正确的运算 过程被盖住了一部分，则被盖住的 是 通中考wu 11.（咸海中考)据央视网2023年10月11日消 7.(济南菜芜区模拟)已知代数式二的值比代 息，中国科学技术大学中国科学院量子创新 数式2大2，则x 研究院与上海微系统所、国家并行计算机工 程技术研究中心合作，成功构建了255个光 8.(泰安泰山区二模)若关于x的方程飞， x1+3 子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新 了光量子信息的技术水平和量子计算优越性 千一有增根，则的值为 的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样 的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍， 9.(宿州萧县期末)对于非零实数a,b,规定a① 在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度 66日剑如208=号2若x-100 的样本，需要当前最强的超级计算机花费超 2=1,试求x的值. 过二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学 记数法表示为( A.1×10-5 B.1×10-6 C.1×10-7 D.1×10-8 2天许中考)计红的结哭等于() C. 3 A.3 B.x x-1 D.-1 13.(河北中考)已知A为整式，若计算A xy+y2 10.(青岛市北区二模)小颖乘公共汽车从甲地 到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车 ,y一的结果为x二y,则A=() x2+xy xy 原路返回，出租车的平均速度比公共汽车 A.x B.y C.x+y D.x-y △八年级·上册·数学.RJ 137 14.(济宁中考)解分式方程137 1 21.(滨州中考)欧拉是历史上享誉全球的最伟大 的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域 26时，去分母变形正确的是( ) 作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡 的足迹.设a,b,c为两两不同的数，称Pm= A.2-6x+2=-5B.6x-2-2=-5 b” C.2-6x-1=5D.6x-2+1=5 (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) 15.(山东中考)为提高生产效率，某工厂将生产 c” 线进行升级改造，改造后比改造前每天多生 (c-a)(c-b)(n=0,1,2,3)为欧拉分式. 产100件，改造后生产600件的时间与改造 (1)写出P。对应的表达式 前生产400件的时间相同，则改造后每天生 (2)化简P,对应的表达式 产的产品件数为() A.200 B.300C.400D.500 16,(长沙中考)要使分式，91g有意义，则上需 满足的条件是 17.(威海中考)计算：4 -22-x 18.(绥化中考)化简：÷(x-22y一) 22.(青岛中考节选)为培养学生的创新意识，提 高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、 19.(北京中考)已知a一b一1=0，求代数式 航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价 3(a-2b)+3b 比航海模型的单价多35元，用2000元购买 a2一2a6+6的值. 航空模型的数量是用1800元购买航海模型 数量的行求航空和航海模型的单价。 20.(弹坊中考)先化简，再求值。+1。习)片 8牛号其中。=5十2 138 优十学案·课时通△2.解：(1) 再将一3移到方程右侧，得x十是=3， 1 2 3 2 4 两边平方，得x2+1 十x+2=9, 82 17 17 82 257 9 2 9 16 、如2+1=7，.2一=x十1十3=7+1=8， (2)1小2 1 (3)y=x2+ x2-2++2=(-)}'+2, x+x2+1=8 【例3】解：设汽车在方案一行驶的平均速度为xkm/h,则在方案 (-）≥o 二行驶的平均速度为1.8xkm/h, )y=x+之(x>0)的最小值是2， 由题意得华设+分 1 解得x=50, 1 （④0y=x-6a+a3+10=x-6x+9+ 1 (x-3)2 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意. 答：汽车在方案一行驶的平均速度为50km/h. 1 1 1=(x-3)+z=3y+1=(x-3》2-2+z=3+1+2= 【变式训练3】解：(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天 x-3)-17 铺设管道(1十25%)x=1.25z米， x-3+3, 根据题意，得器2+15=30， 解得x=40, =[-)-] 经检验x=40是分式方程的解，且符合题意， +3有最小值， ∴.1.25x=50, 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米. 当x-3=1,即x=4时，y=x2-6x (x-3)+10有最小 1 (2)设该公司原计划应安排y名工人施工，3000÷ 值3. 40=75(天)， 本章综合提升 根据题意，得300×75y≤180000， 【本章知识归纳】 解得y≤8， 分母不为0分子为0分母不为0不等于0 ac ad a" ∴不等式的最大整数解为8， bd bc b" 则该公司原计划最多应安排8名工人施工。 a±bad±bc 未知数检验 【通模拟】 bd_ 1.B2.C3.C4.D 【思想方法归纳】 【例1】解：方程两边乘(x-1)(x十1)， 5.D解析：a★6= a-6…x★(-1D=1 得3(x十1)=x-1,解得x=一2， 1 1 检验：当x=一2时，(x一1)(x十1)≠0， 小-3-3z x-13(1-x)1 .x=一2是原方程的解. 方程两边乘3(x一1)，得一x=3, 【变式训练1】解：方程两边乘(x一3)，得2一x十2(x一3)=一1， ∴x=一3， 解得x=3, 经检验，x=一3是原分式方程的解： 检验：当x=3时，x一3=0， 把x=-3代入到不等式(2-a)x-3>0中，得-3(2-a)- 所以x=3是增根， 3>0, 即原分式方程无解， 解得a>3. 【例2】A解析：方法一：：1-1 =5,y-2=5,y-x= 6.17.4 x y xy k 5xy,∴.x-y=-5xy, 8.-1解析：一十3=—x,去分母，得+3(x-1)=一工 :.3x-20xy-3y-3(x-y)-20xy -15xy-20xy 方程有增根， x-2xy-y x-y-2xy -5xy-2xy .x-1=0,.x=1, 一35xy=5. ∴.把x=1代入k十3(x一1)=一x中，得 -7xy k+3×(1-1)=-1, 3x-20xy-3y 解得k=一1. 方法二：原式= xy x-2xy-y 1 xy (g)-2 解根据题意得宁占=1， “1-1=51-1 =-5原式=15- 去分母，得x-1-2=2(x-1). =5. 解得x=一1， 【变式训练2】B解析：先将x2-3x十1=0两边同时除以x, 经检验，x=一1是原方程的解. 得x-3+1=0, .x=-1. x 10.解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均 32 速度为(x十20)千米/时， ∴.△ABC为锐角三角形. 根据题意，得×(1-)-P20·解得x=60, 40 (2):∠C=100>90°，∴.△ABC为钝角三角形. (3)∠B=90°，.△ABC为直角三角形. 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意， (4)AC=BC≠AB,.△ABC为等腰三角形 答：公共汽车的平均速度为60千米/时. 13.213.2.1三角形的边 【通中考】 1.解：当腰长是4cm时，三角形的三边长分别是4cm,4cm, 11.B12.A13.A14.A15.B16.x≠19 8cm,因为4十4=8，所以不满足三角形的三边关系；当腰长 17.-x-2 是8cm时，三角形的三边长分别是8cm,8cm,4cm,满足三 1 18.z—y 角形的三边关系，所以三角形的周长是8十8十4=20(cm). 2.解：(1)，a,b,c是△ABC的三边长， 19.解：，a一b-1=0, ..a+c>b,b+c>a;.a-b+c>0,a-b-c<0, .a-b=1, :.3(a-2b)+36=3a-66+36=3a-36 :.la-b+cl+la-b-cI=(a-b+c)-(a-8-c)=a- 3(a-b) (a-b)2 b+c-a+b+c=2c. a2-2ab+62 (a-b)2 (a-b)2 。-- （2)解方程组0+2b=12,得包=2， l2a-b=-1,lb=5, 20.解：原式=a+1)(a-1)-3÷a十2=a2-1-3a+2 根据三角形的三边关系，得5一2<c<2+5,即3<c<7 a-1 a-1 a-1 a-1 c为偶数，∴.c=4或6. (a+2)(a-2),a-1_ 当c=4时，三角形的三边长分别为2,5,4,2十4>5，能构成 a-1 a+2=a-2, 三角形； 当a=√3+2时， 当c=6时，三角形的三边长分别为2,5,6,2+5>6，能构成 原式=√5+2-2=3 三角形 21.解：(1)由题意可得， 故这个三角形的周长为2+5+4=11或2+5+6=13. a b° 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 P.-(a-b)(a-)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)- 1.解：1：AB=号AC,AC=10, 1 (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b ∴.AB=15. (2)由题意可得， △ABC的周长为33，∴BC=8. AD是BC边上的中线， P:-(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)T(c-a)(c-b) a b i.BD-c. (a-b)(a-c)(b-c)(a-b)T(a-c)(b-c) (2)不能.理由如下： =a(6-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-b)(b-c)(a-c) AB-AC,AC-12,AB-18. _ab-ac-ab+bc+ac-bc 又△ABC的周长为33，.BC=3. (a-b)(b-c)(a-c) :AC+BC<AB,不能构成△ABC,故AC的长不能为12. 0 =(a-b)(b-c)(a-c) 2.解：(1)如图所示，线段AD即为所求 (2)如图所示，线段BE即为所求 =0. (3)4 22.解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x 35)元， 根据题意，得2000-1800×4 x-35X5, 解得x=125, 经检验，x=125是方程的解，且符合题意， 13.313.3.1三角形的内角 ..x-35=125-35=90, 1.解：.在△ABD中，∠ADB=100°，∠BAD=40°，.∠ABD= ∴.航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元. 180°-100°-40°=40°.BE是△ABC的角平分线， 限时训练 ∠FBD= 号∠ABD=20,∠BFD=180-10 13.1三角形的概念 20°=60°. 1.解：(1)图中有8个三角形，分别是△AEF,△ABD,△AEC, 2.解：(1)12 △ABC,△AFC,△ACD,△CDF,△BCE. (2)含有∠ADC的三角形有△ACD,△CDF. (2)∠DAE=号 2(a-), (3)在△ACF中，∠ACF的对边是AF, 理由如下： (4)以线段BC为边的三角形有△ABC,△BCE. .在△ABC中，∠B=a,∠C=B, 2.解：(1)，∠A=55°，∠B=45°，∠C=80°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-a-B. ∴.∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°， ,AE是△ABC的角平分线， 33