精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高三上学期第一次段考数学试题（日新班）

丰城九中2025-2026学年上学期高三日新段考一数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出集合，逐一验证即可. 【详解】由， 所以，故A错误，，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选：D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 则复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得. 故选：C. 4. 把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用平移变换求出，进而求出其对称轴方程得解. 【详解】依题意，， 则， 由，解得， 因此函数的图象的对称轴方程为， 取，得，C正确，不存在整数使得ABD成立. 故选：C 5. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 6. 在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ） A. 36 B. 40 C. 52 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，垂足为H，则.结合条件“侧棱与底面所成角的余弦值为”，求出，还有高，进而求出表面积. 【详解】过点作，垂足为H，则. 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以， 则梯形的高， 故该正四棱台的表面积是. 故选： D. 7. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图： 所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时． 显然的最大值为1，故． 故选：A 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对给定数据合理变形，构造并用导数判断其单调性证明，构造证明，最后得出结论即可. 【详解】由题意得，，， 令，其定义域为， 则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 可得，故C，D错误， 而， 令，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 而， 由上知，则， 可得，得到，即，故A正确，B错误. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布的性质可得，结合基本不等式判断各选项的结论. 【详解】随机变量，，， 则有， 所以，A正确； ，，当且仅当时等号成立，B错误； ，，当且仅当时等号成立，C正确； ， 当且仅当且，即，时等号成立，D正确. 故选：ACD. 10. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（ ） A. B. C. 与面积之比为3 D. 面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程由求出的值判断选项A；由求出点坐标，得直线MN的斜率和的值判断选项B；联立方程组利用韦达定理求出点坐标，可求与面积之比判断选项C；结合的坐标求出面积判断选项D. 【详解】抛物线的焦点为， ，即，解得，A选项正确； 抛物线，由，可得，. 直线MN的斜率为，则，B选项错误； 直线MN方程为，代入抛物线中有， 则有，得， ， 与面积之比为，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD. 11. 在中，是的中点，则下列结论正确的是（　　） A. 可以是钝角三角形 B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由，利用三角恒等变换化简可得，结合分析得解；对B，由，可得，结合角的范围求解；对C，由，得，结合求解判断；对D，由题可得必是锐角三角形，问题转化即证，即证. 【详解】对于A， ， 即， 所以 所以， 即得，即， 因为，所以， 故，则， 所以， 故为直角三角形，故A错误； 对于B，由，则，所以， 由于，故，故B正确； 对于C，由，则， 所以， 其中， 又， 故，故C正确； 对于D，，所以必是锐角三角形， 即证， 又，即证，即，成立，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】令求出，然后求出展开式中的常数项和含的项，分别与因式中的项相乘可得. 【详解】令可得，解得， 的展开式中通项，， 分别令，得， 所以展开式中的常数项和含的项分别为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 13. 已知，，且，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，可得，，，利用两角和与两角差的余弦公式作差可得，由两角差的正弦公式可得，则由即可求得答案． 【详解】由，知，，． 又，则，． 由两角和与两角差的余弦公式可得 ， ， 两式作差可得． 又由两角差的正弦公式得 ， 则， 因此． 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合正方体的性质可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出球心到平面的距离，从而可求出，进而可求出的最小值. 【详解】 在正方体中，，且平面， 平面，所以平面，平面. 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以球心到平面的距离. 如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径. 因为，所以，即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． （1）写出的前6项； （2）记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简可得，令，结合正弦函数的图象性质可得或，取其中的正数构成递增数列可得结果； （2）由错位相减法求和可得结果. 【小问1详解】 由题意 ． 由，得． 所以或． 即或，取其中的正数构成递增数列． 知的前6项为． 【小问2详解】 由（1）知，所以． 所以．① ．② ①－②，得 ． 所以. 16. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能 （2） 的分布列如下表 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）由2×2列联表直接求解即可 （2）首先求出名教师中经验丰富和经验不丰富教师的人数，然后根据超几何分布求出对应的概率并列出分布列，最后根据期望公式求出期望. 【小问1详解】 零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关， 由题意， 所以根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关. 【小问2详解】 由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人， 则可取的值有， ，， ，，， 的分布列如下表 0 1 2 3 4 所以. 17. 如图，在四棱锥 中，是等边三角形，四边形 是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面 . （2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：取棱 的中点O，连接， 设，则，， 因为是等边三角形，且O是 的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面 ，平面 ，且， 所以平面 . 因为平面，所以平面平面 . （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）取棱 的中点O，连接，由题设条件结合勾股定理依次求出和，接着由线面垂直判定定理得证平面 ，再由面面垂直判定定理即可得证命题； （2）建立适当空间直角坐标系，设，，求出向量和平面的法向量，根据线面角的向量法公式即可建立关于的方程，解方程即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，， 设，则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为 ， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆 ：的右焦点为，离心率为，过点的直线交 于 ，两点（在线段 上），当直线的斜率为0时，. （1）求 的方程； （2）求面积的最大值； （3）过 且与 轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上. 【答案】（1） （2） （3）直线：， 由，解得， 所以线段的中点横坐标为， 所以， 所以线段的中点在直线上. 【解析】 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，然后表示出三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到结果； （3）根据题意，联立直线与直线，表示出点的横坐标，然后表示出中点横坐标，即可证明. 【小问1详解】 依题意，所以， 因为，所以， 所以， 所以 的方程为； 【小问2详解】 设直线：，，，易知 由可得，，，， ，解得， 的面积是与的面积之差， 所以的面积 设，所以，当且仅当时取“=”， 所以面积的最大值为； 【小问3详解】 略 19. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数.已知曲线. （1）当时，求曲线在点处的曲率； （2）已知曲线在不同的两点处的曲率均为0. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数在点处的曲率的定义求解. （2）（i）分析可知有两个不同的解，参变量分离可知有两个不同的解，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）由题意得，结合分析将所证不等式等价变形为即证，构造函数，结合函数的单调性求得值域得，结合，令，多次求导得函数的单调性，则有，最后利用的单调性可证得结论. 【小问1详解】 . 则. 当时，. 则，所以. 【小问2详解】 （i）依题意即（※）有两个不同的解. 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， .又或时，， 所以时方程（※）有两解.的取值范围为. （ii）由（i）知可设，且， .欲证. 即证， 构造函数. ，在上单调递减，. 即，而， 令. ，通分化简得， 欲证，即证.即证. 令在上单调递减. .即证得在上单调递增，， 对于时，恒成立. 又当时，单调递增，， .即证得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年上学期高三日新段考一数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 5. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ） A. 36 B. 40 C. 52 D. 56 7. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（ ） A. B. C. 与面积之比为3 D. 面积为 11. 在中，是的中点，则下列结论正确的是（　　） A. 可以是钝角三角形 B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为______. 13. 已知，，且，，则的值为________． 14. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． （1）写出的前6项； （2）记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 16. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ （2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥 中，是等边三角形，四边形 是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面 . （2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆 ：的右焦点为，离心率为，过点的直线交 于 ，两点（在线段 上），当直线的斜率为0时，. （1）求 的方程； （2）求面积的最大值； （3）过 且与 轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上. 19. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数.已知曲线. （1）当时，求曲线在点处的曲率； （2）已知曲线在不同的两点处的曲率均为0. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $