第13讲：函数的奇偶性【知识梳理+8个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第13讲：函数的奇偶性】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心定义：前提+判定式 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要前提（若不满足，直接判定“非奇非偶”）。在此前提下，通过与的关系定义： 函数类型 数学表达式（定义域内任意） 文字描述 偶函数 自变量取相反数，函数值不变 奇函数 自变量取相反数，函数值也取相反数 非奇非偶 定义域不对称，或对称但不满足上述任一条件 无对称性 既奇又偶 且 仅（定义域关于原点对称），必修阶段作了解 二、判定步骤：四步规范流程 必修阶段需严格按以下步骤判定，避免因忽略定义域出错： 1.求定义域：写出函数的所有自变量取值（即定义域）； 2.判对称性：检查“若，则”是否成立。若不成立，直接判定为非奇非偶； 3.算：将代入解析式，化简； 4.比关系： 若→偶函数； 若→奇函数； 两者都不满足→非奇非偶。 三、图像特征：直观理解关键 奇偶性的本质是图像对称，课本典型示例如下： 函数类型 图像对称性 课本典型例子 偶函数 关于轴对称 、 奇函数 关于对称 、、 >必修常考推论：若奇函数在处有定义（即），则（图像过原点），常用于求参数值。 四、常见函数的奇偶性（课本核心） 熟记以下基本函数的奇偶性，可快速解题： 函数类型 课本示例 奇偶性判定（结合定义域） 一次函数 （） -（）：定义域（对称）→奇函数； -（如）→非奇非偶 二次函数 （） -（，如）：定义域（对称）→偶函数； -（如）→非奇非偶 反比例函数 （） 定义域（对称）→奇函数（如） 幂函数 （为整数） -偶（、）→偶函数； -奇（、）→奇函数； -（，）→偶函数 简单三角函数 、 定义域均为（对称）： -→奇函数； -→偶函数 五、常考结论：解题核心技巧 所有结论均需满足“定义域关于原点对称”，是课内选择、填空、解答题的高频考点： 结论1：奇偶性的运算性质（和、差、积、商） 设、定义域交集非空且对称，则： 运算 奇偶性组合（奇/偶，奇/偶） 结果奇偶性 奇±奇、偶±偶 奇、偶 奇±偶 非奇非偶 或（） 奇×奇、奇÷奇；偶×偶、偶÷偶 偶 或（） 奇×偶、奇÷偶 奇 >示例：（奇），（奇）→（偶）。 结论2：偶函数的“绝对值特性” 若是偶函数，则对任意，有。 用途：将偶函数不等式转化为“非负区间”不等式（结合单调性）。 >示例：是偶函数，且在递增，解： 等价于→→或。 结论3：奇偶性与单调性的关系 函数类型 对称区间单调性 奇函数 关于原点对称的区间（如与）上，单调性相同（同增/同减） 偶函数 关于原点对称的区间（如与）上，单调性相反（一增一减） >示例：（奇）在递增，则在也递增；（偶）在递增，则在递减。 六、必修阶段易错点提醒 1.忽略定义域对称：如（定义域），虽满足，但定义域不对称，仍为非奇非偶； 2.误用“”：仅当奇函数在处有定义时成立，如（定义域不含），无此性质； 3.记混运算性质：需区分“和差”与“积商”规律，如“奇+奇=奇”，而非“偶”。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的奇偶性判断】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【例题2】（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【相似题2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【解题策略】 一、解题核心思路：四步定方向 第一步：先判“定义域对称性”——排除非奇非偶的快捷前提 思路目标：判断函数定义域是否关于原点对称（这是奇偶性的必要条件，不满足则直接结论）。 操作方法： 1.写出函数的定义域（注意分母不为0、根号下非负、对数真数大于0等限制）； 2.验证“若在定义域内，则也在定义域内”： 对称案例：定义域为、（）、等； 不对称案例：定义域为（在定义域，不在）、（在定义域，不在）等。 结论：若定义域不对称，直接判定为“非奇非偶函数”，无需后续步骤。 第二步：再算“表达式”——精准化简是关键 思路目标：将代入函数解析式，化简得到的最终形式（避免因化简不彻底导致判断错误）。 操作技巧： 1.逐项代入符号：对解析式中所有替换为，注意符号变化（如、、）； 2.复杂形式处理： 分式函数（如）：代入后分子变号，分母不变，即； 带根号函数（如）：代入后根号内为，即； 含参数函数（如）：代入后为，保留参数不遗漏。 第三步：比较“与的关系”——分情况下结论 思路目标：根据化简后的，与原函数对比，匹配奇偶性定义： 对比结果 函数奇偶性结论 （对所有成立） 偶函数 （对所有成立） 奇函数 既不满足，也不满足 非奇非偶函数 同时满足且（仅，定义域对称） 既奇又偶函数（必修阶段罕见） 关键提醒：需确保“等式对定义域内所有成立”，而非某一个（如，对所有都有，才是偶函数）。 第四步：特殊情况补充——快速验证技巧 对定义域对称的函数，可通过“特殊值初步判断”提高效率（但不能替代严格证明）： 1.若函数是奇函数且在处有定义：代入，必有（如，，符合奇函数特征）； 2.若函数是偶函数：代入和，必有（如，，，符合偶函数特征）。 二、解题思路的易错点规避 1.跳过定义域直接算：如，定义域不对称，直接判定非奇非偶，无需算； 2.化简时符号出错：如，误算（漏改第二个的符号），正确应为； 3.用特殊值代替普遍证明：如，不能仅因就判定为偶函数，需确保对所有成立。 【题型2：由函数的奇偶性识别函数的图像】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·河南·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题策略】 一、核心依据：奇偶性与图像对应 函数类型 图像特征 关键验证点 偶函数 关于轴对称 点在，则必在 奇函数 关于原点对称 点在，则必在；定义域含时过 二、解题四步流程 1.定奇偶性：由题干/解析式确定函数是奇/偶函数（未给则先判断奇偶性）； 2.找对称：按奇偶性锁定对称规则（偶→轴对称，奇→原点对称），排除不符图像； 3.验特征： 偶函数：取对称横坐标（如），查纵坐标是否相等； 奇函数：定义域含则查是否过原点，取查纵坐标是否相反； 4.排选项（选择题）：先排不对称项→再排特殊点不符项→最后排区间特征矛盾项。 三、辅助技巧 1.反推验证：取2-3组对称点，检查是否均在图像上； 2.结合单调性：偶→与升降相反；奇→升降相同； 3.联想典型图：偶（）、奇（、）。 四、易错点 1.勿混淆“原点对称”与其他中心对称； 2.奇函数定义域不含时，不过原点是正常的； 3.需整体对称，而非局部对称。 【题型3：由函数的奇偶性求参数的值】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知、为实数，且函数是偶函数，则 . 【例题2】（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【相似题2】（2025高三下·甘肃白银·学业考试）若函数为偶函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、解题四步核心流程 第一步：先保“定义域对称”（前提） 操作：写出函数定义域，判断是否关于原点对称（或参数需满足什么条件使定义域对称）； 关键：若定义域无论参数取何值都不对称，函数无奇偶性，无需求参数；若定义域对称需参数满足特定条件（如分式分母不为0、根号下非负），先记录该条件。 第二步：据奇偶性列“恒成立等式” 若函数为偶函数：列等式（对定义域内所有x成立）； 若函数为奇函数：列等式（对定义域内所有x成立）。 第三步：化简等式，用“恒成立”求参数 操作：将代入解析式，与（或）整理合并，得到关于x的多项式/表达式； 核心：等式对所有x（定义域内）恒成立，需满足“对应项系数相等、常数项匹配”： 如多项式等式恒成立： 偶次项系数：（得）； 奇次项系数：（得）； 常数项：（得）。 第四步：验证参数（确保无错） 操作：将求得的参数代入原函数，检查两点： 1.定义域是否仍关于原点对称； 2.是否满足奇偶性定义（避免化简时符号出错）。 二、高频特殊情况：奇函数用“f(0)=0”速求 若奇函数在x=0处有定义（定义域含0）： 直接用列方程，快速求参数（比列f(-x)=-f(x)更高效）； 注意：求出参数后仍需验证函数是否为奇函数（避免仅满足f(0)=0但不满足整体奇偶性）。 三、易错点规避 1.漏验定义域对称：如参数使定义域不对称，即使满足f(-x)=f(x)，函数也非偶函数； 2.化简f(-x)符号错：如、，符号错误会导致参数求解偏差； 3.忽略“恒成立”：仅对某一个x成立不行，需保证所有x都成立（必须用对应项系数相等，而非代入具体x值）。 【题型4：由奇偶性求函数的解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【例题2】（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【相似题2】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【解题策略】 一、解题五步核心流程（适用于“已知某区间解析式，求对称区间解析式”） 第一步：明确“已知区间”与“待求区间” 操作：先确定题干给出的解析式对应的区间（如已知时的），则待求区间为其关于原点的对称区间（对应时的）； 关键：区间需关于原点对称（如已知，待求；已知，待求），否则无法用奇偶性。 第二步：在“待求区间”取自变量，转化到“已知区间” 操作：设在待求区间内（如待求，则设），则必然在已知区间内（此时，符合已知条件）； 目的：将未知的（在待求区间）通过与已知的（在已知区间）建立联系。 第三步：用“奇偶性定义”搭桥，推导待求区间解析式 若函数为奇函数（）： 先由已知区间解析式写出（代入到已知式），再变形得，即待求区间解析式； 若函数为偶函数（）： 直接由已知区间解析式写出，则，即待求区间解析式； 示例：已知时，若是奇函数，求时的： 设，则，故； 由奇函数定义，（即时的解析式）。 第四步：补全“特殊点”（x=0）的解析式（若需） 场景：当已知区间含或待求区间涉及时，需补充： 若函数为奇函数且在处有定义：（直接用奇偶性推论）； 若函数为偶函数：可由已知区间（如）的解析式直接代入求得； 关键：若定义域不含（如），则无需补全。 第五步：整合所有区间，写出完整解析式 操作：将“已知区间解析式”“待求区间解析式”“特殊点解析式”按区间分段写出； 示例：上述奇函数的完整解析式为： 二、高频场景与应对技巧 1.已知x≥0，求x<0（或反之）： 核心是“设x在待求区间，用-x转已知”，注意符号变化（如、（x<0时））； 2.已知分式/绝对值函数的某区间解析式： 化简时需保留定义域限制（如已知时，设，则，，奇函数则）； 3.验证技巧： 求出完整解析式后，取对称点（如x=2和x=-2），检查是否满足奇偶性（如奇函数需f(-2)=-f(2)），避免计算错误。 三、易错点规避 1.漏转自变量符号：如设x<0时，误将写成的已知式（未替换-x）； 2.忽略x=0的补全：如奇函数在x=0处有定义却未写f(0)=0，导致解析式不完整； 3.区间边界混淆：如已知x>0，待求x≤0时，需明确x=0的归属（用已知或推论求）。 【题型5：由函数的奇偶性单调性解抽象不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·吉林白城·阶段练习）已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是 . 【例题2】（25-26高三上·河南·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为 ． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数是偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数m的取值范围． 【相似题2】（25-26高三上·安徽淮北·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【解题策略】 一、三步解题法 1.用奇偶性化简不等式 目标：将不等式两边化为与的形式（消去负号）： 奇函数：（如→→，或直接保留，因奇函数对称区间单调性一致）； 偶函数：（如→，转化到单调区间）。 2.用单调性去函数符号 依据：增函数→；减函数→（需保证$A、B$在同一单调区间，偶函数优先用）。 例：偶函数在递增，由→。 3.解自变量不等式（结合定义域） 解第二步得到的不等式（如→或），若抽象函数有定义域（如），需叠加定义域限制（最终解：或）。 二、易错点 1.偶函数漏用：直接用，忽略； 2.忘结合定义域：解出的超出函数定义域范围； 3.单调性方向搞反：减函数时不等号方向未反转。 【题型6：抽象函数的奇偶性】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【例题2】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【相似题2】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【解题策略】 一、解题三步核心流程（以“判断奇偶性”为例） 1.验定义域对称（前提） 若题干未直接给定义域，需结合函数隐含条件（如f(x)的表达式有意义），确认“x在定义域内则-x也在”，否则非奇非偶。 2.特殊值赋值（破题关键） 常用赋值找突破口： 求f(0)：令x=0（或x=y=0），代入题干恒等式（如f(x+y)=f(x)+f(y)→f(0)=0）； 找f(-x)与f(x)：令y=-x（或x替换为-x），代入恒等式（如f(x)+f(-x)=f(0)=0→f(-x)=-f(x)）。 3.用定义下结论 若推得f(-x)=f(x)（对定义域内所有x）→偶函数； 若推得f(-x)=-f(x)（对定义域内所有x）→奇函数； 推不出则非奇非偶。 二、高频场景技巧 1.利用奇偶性求值（如求f(-a)）： 先判奇偶性，再用定义：偶函数→f(-a)=f(a)，奇函数→f(-a)=-f(a)。 2.结合恒等式证奇偶性（如题干给f(xy)=f(x)+f(y)）： 令x=-1，y=x→f(-x)=f(-1)+f(x)，再求f(-1)=0（令x=y=-1）→f(-x)=f(x)→偶函数。 三、易错点 1.漏验定义域对称（抽象函数易忽略，需优先确认）； 2.赋值错误（如求f(0)时赋值不当，导致推导卡壳）； 3.仅用个别值下结论（需确保f(-x)与f(x)关系对所有x成立）。 【题型7：奇偶性与对称性结合】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 【例题2】（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则 ． 相似练习 【相似题1】【多选】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．函数的最小正周期是4 C．函数在上单调递增 D．直线是图象的对称轴 【相似题2】【多选】（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上为增函数 C． D． 【解题策略】 一、基础：先明确两类对称的核心等式 对称类型 核心等式（对定义域内x成立） 偶函数（y轴对称） 奇函数（原点对称） 关于直线对称 （或） 关于点对称 （或） 二、解题三步核心流程 1.识别对称类型 从题干提取“奇偶性”和“另一对称性”（如：偶函数+关于x=2对称；奇函数+关于点(3,0)对称）。 2.写出对应对称等式 把两类对称转化为数学等式（参考上表），例如： 偶函数+关于x=2对称：列； 奇函数+关于点(3,0)对称：列。 3.联立等式推关键性质 通过代换（如用换、消去）推导结论，高频为“求周期”： 示例1（偶函数+x=a对称）： 由和，得，令，则→周期； 示例2（奇函数+点(a,0)对称）： 由和，得→→周期。 二、高频场景技巧 1.求解析式： 如：已知是奇函数（），且关于x=1对称（），已知x∈[0,1]时，求x∈[1,2]的解析式： 设x∈[1,2]，则→；由对称等式：，再验证奇函数性质（无需调整，因x∈[1,2]时，需另求）。 2.判断周期性： 记住高频结论： 偶函数+x=a对称→周期； 奇函数+点(a,0)对称→周期； 奇函数+x=a对称→周期。 三、易错点 1.对称等式写错：如把“关于x=a对称”误写为（实际等价，但推导时易符号出错，优先用）； 2.代换失误：联立等式时，用换后漏改符号（如奇函数，换x为时，需写）； 3.忽略定义域：推导后需确认结论在定义域内成立。 【题型8：“局部奇函数”】 例题精选 【例题1】（21-22高一上·山西朔州·阶段练习）定义：对于函数，若定义域内存在实数满足：，则称为“局部奇函数”.若是定义在区间上的“局部奇函数”，则实数a的取值范围是 . 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【相似题2】（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广西·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 7．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数是偶函数 D． 12．（24-25高一上·四川广安·期中）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（    ） A．存在实数，使得； B．存在实数，当时，有成立； C．对任意实数，当时，都有成立； D．若，则实数的取值范围为. 三、填空题 13．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 14．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 15．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 四、解答题 16．（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 17．（24-25高一上·海南海口·期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性并加以证明； (2)用定义判断函数在上的单调性； (3)求关于的不等式的解集. 18．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一数学上学期常考题型归纳 【第13讲：函数的奇偶性】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心定义：前提+判定式 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要前提（若不满足，直接判定“非奇非偶”）。在此前提下，通过与的关系定义： 函数类型 数学表达式（定义域内任意） 文字描述 偶函数 自变量取相反数，函数值不变 奇函数 自变量取相反数，函数值也取相反数 非奇非偶 定义域不对称，或对称但不满足上述任一条件 无对称性 既奇又偶 且 仅（定义域关于原点对称），必修阶段作了解 二、判定步骤：四步规范流程 必修阶段需严格按以下步骤判定，避免因忽略定义域出错： 1.求定义域：写出函数的所有自变量取值（即定义域）； 2.判对称性：检查“若，则”是否成立。若不成立，直接判定为非奇非偶； 3.算：将代入解析式，化简； 4.比关系： 若→偶函数； 若→奇函数； 两者都不满足→非奇非偶。 三、图像特征：直观理解关键 奇偶性的本质是图像对称，课本典型示例如下： 函数类型 图像对称性 课本典型例子 偶函数 关于轴对称 、 奇函数 关于对称 、、 >必修常考推论：若奇函数在处有定义（即），则（图像过原点），常用于求参数值。 四、常见函数的奇偶性（课本核心） 熟记以下基本函数的奇偶性，可快速解题： 函数类型 课本示例 奇偶性判定（结合定义域） 一次函数 （） -（）：定义域（对称）→奇函数； -（如）→非奇非偶 二次函数 （） -（，如）：定义域（对称）→偶函数； -（如）→非奇非偶 反比例函数 （） 定义域（对称）→奇函数（如） 幂函数 （为整数） -偶（、）→偶函数； -奇（、）→奇函数； -（，）→偶函数 简单三角函数 、 定义域均为（对称）： -→奇函数； -→偶函数 五、常考结论：解题核心技巧 所有结论均需满足“定义域关于原点对称”，是课内选择、填空、解答题的高频考点： 结论1：奇偶性的运算性质（和、差、积、商） 设、定义域交集非空且对称，则： 运算 奇偶性组合（奇/偶，奇/偶） 结果奇偶性 奇±奇、偶±偶 奇、偶 奇±偶 非奇非偶 或（） 奇×奇、奇÷奇；偶×偶、偶÷偶 偶 或（） 奇×偶、奇÷偶 奇 >示例：（奇），（奇）→（偶）。 结论2：偶函数的“绝对值特性” 若是偶函数，则对任意，有。 用途：将偶函数不等式转化为“非负区间”不等式（结合单调性）。 >示例：是偶函数，且在递增，解： 等价于→→或。 结论3：奇偶性与单调性的关系 函数类型 对称区间单调性 奇函数 关于原点对称的区间（如与）上，单调性相同（同增/同减） 偶函数 关于原点对称的区间（如与）上，单调性相反（一增一减） >示例：（奇）在递增，则在也递增；（偶）在递增，则在递减。 六、必修阶段易错点提醒 1.忽略定义域对称：如（定义域），虽满足，但定义域不对称，仍为非奇非偶； 2.误用“”：仅当奇函数在处有定义时成立，如（定义域不含），无此性质； 3.记混运算性质：需区分“和差”与“积商”规律，如“奇+奇=奇”，而非“偶”。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的奇偶性判断】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 【例题2】（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 相似练习 【相似题1】（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 【相似题2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 【解题策略】 一、解题核心思路：四步定方向 第一步：先判“定义域对称性”——排除非奇非偶的快捷前提 思路目标：判断函数定义域是否关于原点对称（这是奇偶性的必要条件，不满足则直接结论）。 操作方法： 1.写出函数的定义域（注意分母不为0、根号下非负、对数真数大于0等限制）； 2.验证“若在定义域内，则也在定义域内”： 对称案例：定义域为、（）、等； 不对称案例：定义域为（在定义域，不在）、（在定义域，不在）等。 结论：若定义域不对称，直接判定为“非奇非偶函数”，无需后续步骤。 第二步：再算“表达式”——精准化简是关键 思路目标：将代入函数解析式，化简得到的最终形式（避免因化简不彻底导致判断错误）。 操作技巧： 1.逐项代入符号：对解析式中所有替换为，注意符号变化（如、、）； 2.复杂形式处理： 分式函数（如）：代入后分子变号，分母不变，即； 带根号函数（如）：代入后根号内为，即； 含参数函数（如）：代入后为，保留参数不遗漏。 第三步：比较“与的关系”——分情况下结论 思路目标：根据化简后的，与原函数对比，匹配奇偶性定义： 对比结果 函数奇偶性结论 （对所有成立） 偶函数 （对所有成立） 奇函数 既不满足，也不满足 非奇非偶函数 同时满足且（仅，定义域对称） 既奇又偶函数（必修阶段罕见） 关键提醒：需确保“等式对定义域内所有成立”，而非某一个（如，对所有都有，才是偶函数）。 第四步：特殊情况补充——快速验证技巧 对定义域对称的函数，可通过“特殊值初步判断”提高效率（但不能替代严格证明）： 1.若函数是奇函数且在处有定义：代入，必有（如，，符合奇函数特征）； 2.若函数是偶函数：代入和，必有（如，，，符合偶函数特征）。 二、解题思路的易错点规避 1.跳过定义域直接算：如，定义域不对称，直接判定非奇非偶，无需算； 2.化简时符号出错：如，误算（漏改第二个的符号），正确应为； 3.用特殊值代替普遍证明：如，不能仅因就判定为偶函数，需确保对所有成立。 【题型2：由函数的奇偶性识别函数的图像】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 【例题2】（25-26高三上·河南·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排除法可得结论. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，排除D. 当时，，排除C. 当时，0，排除A. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数定义域及奇偶性和函数值逐个判断即可. 【详解】易知，无解，图像不可能和轴有交点，故排除A， 因为，定义域为 所以， 故为偶函数，排除C， 时，，排除D． 故选：B 【相似题2】（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 【解题策略】 一、核心依据：奇偶性与图像对应 函数类型 图像特征 关键验证点 偶函数 关于轴对称 点在，则必在 奇函数 关于原点对称 点在，则必在；定义域含时过 二、解题四步流程 1.定奇偶性：由题干/解析式确定函数是奇/偶函数（未给则先判断奇偶性）； 2.找对称：按奇偶性锁定对称规则（偶→轴对称，奇→原点对称），排除不符图像； 3.验特征： 偶函数：取对称横坐标（如），查纵坐标是否相等； 奇函数：定义域含则查是否过原点，取查纵坐标是否相反； 4.排选项（选择题）：先排不对称项→再排特殊点不符项→最后排区间特征矛盾项。 三、辅助技巧 1.反推验证：取2-3组对称点，检查是否均在图像上； 2.结合单调性：偶→与升降相反；奇→升降相同； 3.联想典型图：偶（）、奇（、）。 四、易错点 1.勿混淆“原点对称”与其他中心对称； 2.奇函数定义域不含时，不过原点是正常的； 3.需整体对称，而非局部对称。 【题型3：由函数的奇偶性求参数的值】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知、为实数，且函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质，结合二次函数的对称性，即可列式求解. 【详解】函数是偶函数， 则且，得， 所以. 故答案为：4 【例题2】（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若是奇函数，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质得函数关于点中心对称，然后利用反比例函数的对称中心得函数的对称中心为，即可求得a，b的值，检验满足题意. 【详解】因为是奇函数， 所以，即， 所以函数关于点中心对称， 函数， 它是由函数向左平移1个单位再向上平移2个单位得到的， 而函数的对称中心为，所以函数的对称中心为， 所以， 当时， ，显然为奇函数，符合题意. 故选：A 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 【相似题2】（2025高三下·甘肃白银·学业考试）若函数为偶函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数特征和分子为偶函数，得到分母也为偶函数，时满足要求，结合，求出答案. 【详解】因为为偶函数，且为偶函数， 所以为偶函数，若，则满足要求， 若，则，此时不是偶函数，不合要求， 所以.所以，又，所以. 故选：A. 【解题策略】 一、解题四步核心流程 第一步：先保“定义域对称”（前提） 操作：写出函数定义域，判断是否关于原点对称（或参数需满足什么条件使定义域对称）； 关键：若定义域无论参数取何值都不对称，函数无奇偶性，无需求参数；若定义域对称需参数满足特定条件（如分式分母不为0、根号下非负），先记录该条件。 第二步：据奇偶性列“恒成立等式” 若函数为偶函数：列等式（对定义域内所有x成立）； 若函数为奇函数：列等式（对定义域内所有x成立）。 第三步：化简等式，用“恒成立”求参数 操作：将代入解析式，与（或）整理合并，得到关于x的多项式/表达式； 核心：等式对所有x（定义域内）恒成立，需满足“对应项系数相等、常数项匹配”： 如多项式等式恒成立： 偶次项系数：（得）； 奇次项系数：（得）； 常数项：（得）。 第四步：验证参数（确保无错） 操作：将求得的参数代入原函数，检查两点： 1.定义域是否仍关于原点对称； 2.是否满足奇偶性定义（避免化简时符号出错）。 二、高频特殊情况：奇函数用“f(0)=0”速求 若奇函数在x=0处有定义（定义域含0）： 直接用列方程，快速求参数（比列f(-x)=-f(x)更高效）； 注意：求出参数后仍需验证函数是否为奇函数（避免仅满足f(0)=0但不满足整体奇偶性）。 三、易错点规避 1.漏验定义域对称：如参数使定义域不对称，即使满足f(-x)=f(x)，函数也非偶函数； 2.化简f(-x)符号错：如、，符号错误会导致参数求解偏差； 3.忽略“恒成立”：仅对某一个x成立不行，需保证所有x都成立（必须用对应项系数相等，而非代入具体x值）。 【题型4：由奇偶性求函数的解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 【例题2】（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 【相似题2】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 【解题策略】 一、解题五步核心流程（适用于“已知某区间解析式，求对称区间解析式”） 第一步：明确“已知区间”与“待求区间” 操作：先确定题干给出的解析式对应的区间（如已知时的），则待求区间为其关于原点的对称区间（对应时的）； 关键：区间需关于原点对称（如已知，待求；已知，待求），否则无法用奇偶性。 第二步：在“待求区间”取自变量，转化到“已知区间” 操作：设在待求区间内（如待求，则设），则必然在已知区间内（此时，符合已知条件）； 目的：将未知的（在待求区间）通过与已知的（在已知区间）建立联系。 第三步：用“奇偶性定义”搭桥，推导待求区间解析式 若函数为奇函数（）： 先由已知区间解析式写出（代入到已知式），再变形得，即待求区间解析式； 若函数为偶函数（）： 直接由已知区间解析式写出，则，即待求区间解析式； 示例：已知时，若是奇函数，求时的： 设，则，故； 由奇函数定义，（即时的解析式）。 第四步：补全“特殊点”（x=0）的解析式（若需） 场景：当已知区间含或待求区间涉及时，需补充： 若函数为奇函数且在处有定义：（直接用奇偶性推论）； 若函数为偶函数：可由已知区间（如）的解析式直接代入求得； 关键：若定义域不含（如），则无需补全。 第五步：整合所有区间，写出完整解析式 操作：将“已知区间解析式”“待求区间解析式”“特殊点解析式”按区间分段写出； 示例：上述奇函数的完整解析式为： 二、高频场景与应对技巧 1.已知x≥0，求x<0（或反之）： 核心是“设x在待求区间，用-x转已知”，注意符号变化（如、（x<0时））； 2.已知分式/绝对值函数的某区间解析式： 化简时需保留定义域限制（如已知时，设，则，，奇函数则）； 3.验证技巧： 求出完整解析式后，取对称点（如x=2和x=-2），检查是否满足奇偶性（如奇函数需f(-2)=-f(2)），避免计算错误。 三、易错点规避 1.漏转自变量符号：如设x<0时，误将写成的已知式（未替换-x）； 2.忽略x=0的补全：如奇函数在x=0处有定义却未写f(0)=0，导致解析式不完整； 3.区间边界混淆：如已知x>0，待求x≤0时，需明确x=0的归属（用已知或推论求）。 【题型5：由函数的奇偶性单调性解抽象不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·吉林白城·阶段练习）已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数的奇偶性，确定单调性，由单调性结合定义域列出不等式求解即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递增， 由可得： ，解得. 所以满足的的取值范围是 故答案为： 【例题2】（25-26高三上·河南·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用偶函数性质和单调性即可求解不等式. 【详解】由定义在上的偶函数可得：， 所以不等式等价于不等式， 又因为在上单调递减， 所以， 整理得：， 即解得：或， 则不等式的解集为， 故答案为： 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数是偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2），结合二次函数的单调性分析即可； （3）利用奇偶性及单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，即， 即恒成立，即． （2）由（1）知． 函数在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 又因为为偶函数， 在上单调递增，在上单调递减． （3），即， 因为为偶函数，且在上单调递增， 所以，即， 展开可得，即， 解得． 【相似题2】（25-26高三上·安徽淮北·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)定义域内单调递减，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. 【详解】（1）因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， （2）对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3）因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 【解题策略】 一、三步解题法 1.用奇偶性化简不等式 目标：将不等式两边化为与的形式（消去负号）： 奇函数：（如→→，或直接保留，因奇函数对称区间单调性一致）； 偶函数：（如→，转化到单调区间）。 2.用单调性去函数符号 依据：增函数→；减函数→（需保证$A、B$在同一单调区间，偶函数优先用）。 例：偶函数在递增，由→。 3.解自变量不等式（结合定义域） 解第二步得到的不等式（如→或），若抽象函数有定义域（如），需叠加定义域限制（最终解：或）。 二、易错点 1.偶函数漏用：直接用，忽略； 2.忘结合定义域：解出的超出函数定义域范围； 3.单调性方向搞反：减函数时不等号方向未反转。 【题型6：抽象函数的奇偶性】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 【例题2】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明； （2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可； （3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可. 【详解】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 【相似题2】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【答案】(1)， (2)奇函数 (3)是上的减函数，证明见解析 【分析】（1）通过赋值即可求解； （2）令，结合可判断； （3）令，由可判断，即可判断其单调性. 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 【解题策略】 一、解题三步核心流程（以“判断奇偶性”为例） 1.验定义域对称（前提） 若题干未直接给定义域，需结合函数隐含条件（如f(x)的表达式有意义），确认“x在定义域内则-x也在”，否则非奇非偶。 2.特殊值赋值（破题关键） 常用赋值找突破口： 求f(0)：令x=0（或x=y=0），代入题干恒等式（如f(x+y)=f(x)+f(y)→f(0)=0）； 找f(-x)与f(x)：令y=-x（或x替换为-x），代入恒等式（如f(x)+f(-x)=f(0)=0→f(-x)=-f(x)）。 3.用定义下结论 若推得f(-x)=f(x)（对定义域内所有x）→偶函数； 若推得f(-x)=-f(x)（对定义域内所有x）→奇函数； 推不出则非奇非偶。 二、高频场景技巧 1.利用奇偶性求值（如求f(-a)）： 先判奇偶性，再用定义：偶函数→f(-a)=f(a)，奇函数→f(-a)=-f(a)。 2.结合恒等式证奇偶性（如题干给f(xy)=f(x)+f(y)）： 令x=-1，y=x→f(-x)=f(-1)+f(x)，再求f(-1)=0（令x=y=-1）→f(-x)=f(x)→偶函数。 三、易错点 1.漏验定义域对称（抽象函数易忽略，需优先确认）； 2.赋值错误（如求f(0)时赋值不当，导致推导卡壳）； 3.仅用个别值下结论（需确保f(-x)与f(x)关系对所有x成立）。 【题型7：奇偶性与对称性结合】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 【答案】 【分析】特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令，逐一验证即可求解； 严格推理的方法，利用对称性的定义验证，若，对称轴为，若，则对称中心为，逐一验证即可求解. 【详解】破招方法1：用特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令， （1）令，再令，则，所以图象的对称中心为． （2）若是奇函数，则，令，则，所以图象的对称中心为； （3）若是奇函数，则，令，则，所以，则图象的对称中心为； （4）若是偶函数，则，令，则，则图象的对称轴是； （5）若是偶函数，则，令，则，图象的对称轴是； （6）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （7）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （8）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （9）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （10）若是偶函数，则，令，则，则，则图象的对称轴是； （11）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （12）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； 破招方法2：用严格推理的方法， （13）若的图象关于点对称，令，所以， 即， 所以的图象关于点中心对称； （14）若的图象关于直线对称，则，则，即，则图象的对称轴是； （15），则，则，则的图象关于直线对称； （16），则，则，则的图象关于点对称 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，. 【例题2】（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的对称性和奇偶性，已知函数值的方程，求得参数，写出函数解析式，再利用奇偶性转换自变量的值，解得对应函数值. 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】【多选】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．函数的最小正周期是4 C．函数在上单调递增 D．直线是图象的对称轴 【答案】ACD 【分析】由题设可得，函数关于对称，且、在上单调递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性，进而判断各选项即可. 【详解】由，得，所以函数为奇函数， 由是偶函数，得函数关于对称， 则直线是图象的对称轴，故D正确； 且，则， 所以，则， 所以函数的周期为8，故B错误； 对于A，由，若，则，故A正确； 对任意的，，当时，都有， 即，所以在上递减， 结合奇函数知，函数在上递减，即函数上函数递减， 由于函数关于对称， 所以函数在上单调递增，故C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题设得到，函数关于对称，且、在上单调递减，进而判断各选项即可. 【相似题2】【多选】（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上为增函数 C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意结合偶函数的性质可得图象关于直线对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为函数为偶函数，其图象关于对称， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B，函数在上为增函数且函数的图象关于对称， 所以函数在上为减函数，故B错误； 对于C，由于函数的图象关于对称，且函数在上为增函数， 所以，故C错误； 对于D，由于， 因为函数在上为减函数，且， 所以，即，故D正确. 故选：AD 【解题策略】 一、基础：先明确两类对称的核心等式 对称类型 核心等式（对定义域内x成立） 偶函数（y轴对称） 奇函数（原点对称） 关于直线对称 （或） 关于点对称 （或） 二、解题三步核心流程 1.识别对称类型 从题干提取“奇偶性”和“另一对称性”（如：偶函数+关于x=2对称；奇函数+关于点(3,0)对称）。 2.写出对应对称等式 把两类对称转化为数学等式（参考上表），例如： 偶函数+关于x=2对称：列； 奇函数+关于点(3,0)对称：列。 3.联立等式推关键性质 通过代换（如用换、消去）推导结论，高频为“求周期”： 示例1（偶函数+x=a对称）： 由和，得，令，则→周期； 示例2（奇函数+点(a,0)对称）： 由和，得→→周期。 二、高频场景技巧 1.求解析式： 如：已知是奇函数（），且关于x=1对称（），已知x∈[0,1]时，求x∈[1,2]的解析式： 设x∈[1,2]，则→；由对称等式：，再验证奇函数性质（无需调整，因x∈[1,2]时，需另求）。 2.判断周期性： 记住高频结论： 偶函数+x=a对称→周期； 奇函数+点(a,0)对称→周期； 奇函数+x=a对称→周期。 三、易错点 1.对称等式写错：如把“关于x=a对称”误写为（实际等价，但推导时易符号出错，优先用）； 2.代换失误：联立等式时，用换后漏改符号（如奇函数，换x为时，需写）； 3.忽略定义域：推导后需确认结论在定义域内成立。 【题型8：“局部奇函数”】 例题精选 【例题1】（21-22高一上·山西朔州·阶段练习）定义：对于函数，若定义域内存在实数满足：，则称为“局部奇函数”.若是定义在区间上的“局部奇函数”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分析可得方程在区间上有解，变形可得，设，，分析的值域，即可得得取值范围，可得答案． 【详解】解：根据题意，若是定义在区间上的“局部奇函数”， 即方程在区间上有解，变形可得， 设，，则，， 函数与直线在区间上有交点， ，，有，是偶函数， 因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以 区间上单调递增， 又有， ，故， 所以必有， 故得取值范围为． 故答案为：． 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广西·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 7．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数是偶函数 D． 12．（24-25高一上·四川广安·期中）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（    ） A．存在实数，使得； B．存在实数，当时，有成立； C．对任意实数，当时，都有成立； D．若，则实数的取值范围为. 三、填空题 13．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 14．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 15．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 四、解答题 16．（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 17．（24-25高一上·海南海口·期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性并加以证明； (2)用定义判断函数在上的单调性； (3)求关于的不等式的解集. 18．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A B A C C A A 题号 11 12 答案 BC ACD 1．C 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，进而计算即可. 【详解】是定义在上的偶函数， 所以其定义域关于原点对称，即，所以， 因为，所以， 所以恒成立，则， 所以， 故选：C． 2．C 【分析】由题意可得在上单调递增，不等式对于一切恒成立，可转化为对于一切恒成立，设，求与即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 所以在上单调递增. 因为不等式对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 即对于一切恒成立. 设， 则. 因为的开口向上，且，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 所以. 故选:C. 3．A 【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【详解】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 4．A 【分析】通过分析得的周期为4，的图象关于点对称，当时，，结合即可求解. 【详解】因为，所以①， 则函数的图象关于点对称． 因为为偶函数，所以②， 则函数的图象关于直线对称． 由①②得，则，故的周期为4， 所以． 由，令，得，即③． 已知，由函数的图象关于直线对称，得． 又函数的图象关于点对称，得， 所以，即，所以④． 联立③④解得，故当时，． 由的图象关于点对称， 可得． 故选：A． 5．B 【分析】由条件推出在上单调递减，又由函数为偶函数，推出的图象关于直线对称，由对称性和单调性即可得的大小关系. 【详解】因为的定义域为R， 且对任意的，有， 设，则有，所以在上单调递减. 又因为函数为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，所以， 则. 故选：B. 6．A 【分析】由题可得为奇函数，然后由奇函数性质可得a，然后可得答案. 【详解】设，则， 又的定义域为，从而是奇函数，即， 故，即. 因为，所以，解得， 则，故. 故选：A 7．C 【分析】先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】因为的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为， 故选：C 8．C 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 9．A 【分析】先判断函数的奇偶性即可排除BD，再结合函数值正负判断即可. 【详解】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误. 故选：A. 10．A 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 11．BC 【分析】推导出可判断A选项的正误；推导出可判断B选项的正误；分析得出可判断C选项的正误；推导出可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为，且， 则，即，A错； 对于B选项，因为，则， 因为，则， 即，即， 故函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为，故函数是偶函数，C对； 对于D选项，因为，则， 即，D错． 故选：BC 12．ACD 【分析】当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，，则， 所以存在，使得，所以A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则； 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确； 对于C，要证， 即证，即证， 由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确； 对于D，令，则， 可得，所以为奇函数，且为上的递增函数， 由，可得， 即，即， 因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确. 故选：ACD. 13．4 【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可. 【详解】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以. 故答案为：4. 14． 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为， 且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 15． 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 16．(1) (2)函数是奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入得到方程组，求出的值； （2）利用函数的奇偶性的定义求证； （3）利用单调性的定义求证. 【详解】（1） ∵函数的图象经过两点， ∴，解得； （2）函数是奇函数.证明如下： 由（1）知，，函数的定义域为. ∵， ∴函数是奇函数. （3）任取，则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. 17．(1)奇函数； (2)单调增函数； (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性进行判断. （2）根据函数单调性的定义进行判断. （3）根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，函数， ， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由于， 所以，所以在上单调递增. （3）由（1）（2）可知： 不等式，即， ，解得， 所以不等式的解集为. 18．(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $