第19讲：函数的零点方程的根【知识梳理+12个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第19讲：函数的零点方程的根】 总览 题型梳理 一、核心概念与本质关系 1.函数零点定义：函数中，使的实数. 2.方程的根定义：方程的解. 3.等价关系：函数零点方程实数根函数图像与轴交点横坐标. 4.核心结论：方程有实根函数有零点函数图像与轴有交点. 二、零点存在性定理 1.条件：①函数在上连续；②. 2.结论：函数在内至少有一个零点（方程至少有一个实根）. 3.关键说明： 充分非必要条件 逆否命题：连续函数内无零点. 局限性：时仍可能有零点. 三、零点求法（核心方法） 1.代数法 直接求解：适用于一次、二次方程（求根公式，）. 因式分解法：零点为. 2.图像法 直接法：观察与轴交点横坐标. 转化法：求与交点横坐标. 3.二分法（近似解） 步骤：①确定，验证；②求中点；③判断：则为零点，否则缩小区间；④重复至区间长度小于精确度. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：零点存在定理的应用】 【解题策略】 1.验证函数在区间上的连续性； 2.计算区间端点函数值、； 3.若，则区间内至少有一个零点； 4.若需确定唯一零点，补充验证函数在区间上的单调性. （25-26高一上·全国·期末）已知函数，．经典例题例题 (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． 【详解】（1）根据题意，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最小值为2 （2）当时，， 令， 所以函数在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减 又， 而，， 且 所以 又，， 则，所以． 又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点 （24-25高一下·湖南长沙·月考）已知函数.小试牛刀1 (1)判断函数与的单调性（不需要写理由）； (2)证明：函数有唯一零点，有唯一零点，且； 【详解】（1）由题意可得， ， 由对数函数和复合函数单调性可知为减函数，为增函数. （2）对于函数， 由（1）知为减函数，所以在存在唯一零点， 对于函数， 又， 故，又， 由（1）知为增函数，所以在存在唯一零点， 下面证明： 由，可知； 由，可知，即， 构造函数，因为为减函数，且， 所以存在唯一，使得，即； 综上所述，函数在存在唯一且相等的零点. （24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.小试牛刀2 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； 【详解】（1）若选①，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以； 若选②，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以. （2）若选①，当时，函数. 因为在上单调递减， 且在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 又因为在定义域上单调递减， 所以函数在上单调递减. 又因为的图象连续不间断， 且，，则， 所以在区间上有唯一的零点. 若选②，（2）当时，函数. 因为在上单调递增， 在定义域上单调递增，所以在上单调递增， 又因为在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又因为的图象连续不间断， 且，， 所以在区间上有唯一的零点. （24-25高一上·山东济宁·阶段练习）定义上的奇函数和偶函数满足.小试牛刀3 (1)求函数和函数的解析式； (2)设函数，若在内有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知得，与已知式联立方程组可解得； （2）由（1）化简函数式并确定定义域，然后由零点存在定理求解，注意分类讨论． 【详解】（1）由已知，① 得：，又为奇函数，偶函数； 即② 由①②联立，解得：，. （2） ①当时，，得，不符合题意； ②当时，由得：若满足题意，需， 即，解得. 综上，满足题意的实数的取值范围是. 【题型2:二分法求函数零点】 【解题策略】 1.确定初始区间，满足且函数连续； 2.计算中点，求； 3.缩小区间：则为零点；令；令； 4.重复步骤2-3，直到区间长度小于精确度，取中点为近似解. （24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（   ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）.经典例题例题 A．4 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【分析】根据二分法结合零点的近似值求解. 【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 则，解得，所以至少需要操作10次. 故选：C. （25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示：小试牛刀1 x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. （21-22高一上·安徽安庆·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理可知结果. 【详解】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C （2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：小试牛刀3 x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 【题型3：由函数的零点求参数范围】 【解题策略】 1.转化为方程有实根问题； 2.方法：①参数分离法（将参数表示为，求的值域）；②判别式法（二次方程）；③图像法（分析函数与轴交点存在性）； 3.结合函数定义域、值域限制参数范围. （25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知与有2个交点，作出函数的图象，结合图象即可得结果. 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在]上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是. 故选：B. （25-26高一上·北京西城·期中）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示：    函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：D. （25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数性质并作出图象，建立目标式的函数关系，借助二次函数求出范围. 【详解】函数的图象关于直线对称， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 令，则函数的图象与直线有3个交点，其横坐标为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象，得，，， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 故选：A （25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【答案】 【分析】对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果. 【详解】当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意； 当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意； 若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解， 所以实数的取值范围是. 故选： 【题型4：求函数零点/方程的根的个数】 【解题策略】 1.代数法：解方程，直接统计根的个数（注意重根）； 2.图像法：①画出图像，统计与轴交点个数；②转化为与交点个数； 3.辅助分析：利用函数单调性、极值、奇偶性、区间端点值确定图像特征. （25-26高三上·江苏淮安·月考）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ）经典例题例题 A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】判断函数的周期，作出函数和的图象，数形结合，观察图象的交点个数，即可确定答案. 【详解】因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数， 结合当时，，可作出的图象； 又函数，在同一坐标系中可作出其图象：    由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点， 则此时有5个零点； 当时，的图象和的图象有6个交点， 则此时有6个零点； 故在区间内的零点个数为， 故选：D （25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，关于的方程的解的个数可能是 .小试牛刀1 【答案】 【分析】令，方程转化为，再根据判别式分析二次方程根的个数，再结合分段函数得出方程的解的个数情况. 【详解】函数的图像如下：    令，则，则， 当时，即，或，方程无解， 即无解； 当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个， 当时，即，，，则， 故，， 当时，则有两解， 当时，若，则有三解，若，则有两解， 故方程解的个数为4或5个， 综上方程解的个数可能为个. 故答案为：. （25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为 ；方程有且仅有 个实数解.小试牛刀2 【答案】 8 6 【分析】根据给定条件，利用赋值法确定函数的周期，再结合函数图象求出最小正周期；作出的图象，数形结合求出方程实数解个数. 【详解】函数的定义域为，由，得， 由，得，则， 即，因此，8是函数的一个周期， 当时，，函数在上递增，在上递减，值域为， 由，得函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于直线对称， 作出函数在上的图象，观察图象得函数最小正周期为8； 由，得，则方程实数解个数， 即为函数与函数图象交点个数，在上述坐标系内作出函数图象， 而函数的值域为，当时，， 因此函数与函数图象只在内有交点， 观察图象得函数与函数图象有且只有6个交点， 所以方程有且仅有6个实数解. 故答案为：8；6 （2025高三·全国·专题练习）若平面直角坐标系内A，B两点满足点A，B都在函数的图象上，且点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”．已知函数，则的“和谐点对”有（    ）小试牛刀3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数的图象的交点个数即可． 【详解】如图所示，作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即的“和谐点对”有2个． 故选：B． 【题型5：由函数的零点/方程的根个数求参数范围】 【解题策略】 1.构造含参函数，分析其单调性、最值； 2.画出函数大致图像，结合零点个数要求（与轴交点个数）； 3.建立极值与的大小关系、区间端点值与的关系，解不等式求参数范围. （25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数，，若关于x的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是 .经典例题例题 【答案】 【分析】利用函数图象，结合二次方程零点分布，分类讨论特殊根，即可求出参数范围. 【详解】由函数， 作出的图象：    令，由关于x的方程有三个不同的实数解， 则方程有两个解，且有一个解，另一个解， 从而由二次函数零点分布可知： 当时，，此时另一个解，不满足题意； 当一个解，另一个解时， 需满足，解得， 综上的取值范围是. 故答案为： （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且，若方程有六个不同的实根，则实数的取值范围是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】做出分段函数的图象，利用数形结合的方法，可求的取值范围. 【详解】做出函数的草图如下： 由方程有六个不同的实根，可得. 故答案为： （25-26高一上·山东德州·期中）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出分段函数的图象，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出，结合图象可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图象如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. （25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，其中.若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据二次函数的性质和绝对值函数的性质，结合题意，分析计算，可得m的范围，根据二次函数的性质，可求得答案 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 因为，所以图象为“V”形， 因为存在互不相等的三个实数，使得， 所以，即， 解得或（舍）， 因为为开口向上，对称轴为x=2的抛物线， 所以在上单调递增， 所以，即的值域为. 故答案为： 【题型6：二次函数的零点/方程的根分布的应用】 【解题策略】 1.设二次函数，方程的根为； 2.核心条件：①判别式（根的存在性）；②对称轴（根的位置）；③区间端点函数值（根在区间内外）；④韦达定理（根的和积关系）； 3.按根的分布类型（如两根都大于、一根在内等）列不等式组求解. （25-26高一上·浙江杭州·期中）若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为 ．经典例题例题 【答案】 【分析】由题意可得、是的两根，、是的两根，且 （数轴上，的中点是，根据，不妨设，，再不妨设，，根据韦达定理可得 且，，整理化简可得，解得即可得的取值范围. 【详解】于的方程有且仅有四个实根，其中， 因为，所以， 则方程的两根为，方程的两根为， 则 （数轴上，的中点是， 因为， 不妨设，， 因为，是的两根， 所以，， 再不妨设， 因为，是的两根， 则 ，， 所以， 则，又， 因为，则， 故的取值范围为. 故答案为：. （25-26高一上·江苏南通·期中）（1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由；小试牛刀1 （2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围； （3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）；理由见解析 （2） （3），理由见解析 【分析】（1）设，根据韦达定理和即可求解； （2）去绝对值，分类讨论根的情况，求出对应的取值范围，即可求解； （3）去绝对值，分别求得，，进而，将问题转化为比较的大小即可求解. 【详解】（1）一元二次方程， 由韦达定理，得， 则一正一负，不妨设， 可得， 因为，所以， 经检验由可得，即可得， 因此可得. （2），易知. 当即或时，原方程变形为，解得， 此时方程有1个解，，所以且； 当即时，原方程变形为， 即，此时方程在内需有2个解， 设，则，开口向上， 有，解得. 综上，方程有3个不等的实根， 实数需满足，解得或. 故实数的取值范围为. （3）方程的两个根， 当，即时，原方程变形为， 即，易知，所以此时两根异号， 此时有效根为，且该根在内； 当时，即，原方程变形为， 解得，依题意此根必是有效根，因此，可得； 由题意可知； 所以， 要比较与的大小，只需比较与0的大小， 易知函数在上单调递增，所以； 而函数在上单调递减，所以； 可得当时，，即； 因此. （25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】分，，结合二次函数零点分布，可求实数的取值范围. 【详解】因为函数有两个零点，，所以. 又因为，，所以或， 由； 由. 综上可知：. 故答案为： （25-26高三上·山东泰安·期中）已知函数．小试牛刀3 (1)若为奇函数，求的值； (2)若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据奇函数的定义域关于原点对称求得，然后再根据奇函数的定义求得； （2）根据题意得及，即可求得，然后将函数零点问题转化为在上有两个不同的零点，且不是的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式组求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，所以， 又，所以，即恒成立， 所以； （2）若点在直线上，则，又函数的图象过点， 所以，所以，所以； 所以， 因为在上有两个不同的零点， 所以在上有两个不同的解，且， 记，其开口向上，对称轴为， 要使在上有两个不同的零点， 则，即，解得， 又，所以且， 所以且，即的取值范围为. 【题型7：由指数型函数零点/方程的根求参数】 【解题策略】 1.换元转化：令，将方程转化为关于的代数方程； 2.求的正根（结合的范围）； 3.由的解的存在性，反推参数范围（注意指数函数的值域限制）. （25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）．经典例题例题 (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可； （2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果. 【详解】（1）若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. （2）当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. （24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】作出函数图象，观察得出的关系及范围，然后把化为一个变量的函数，再求得范围． 【详解】作出的图象，如图所示．由，得，， 则，，则，， 令，，则， 当时，函数的取值范围是． 故答案为：．    （24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与的图象，由图可得出，分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于的表达式，由可得出、关于的表达式，进而可得出关于的函数关系式，结合函数单调性可求得结果. 【详解】作出函数与的图象如下图所示：    由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意分析交点间的关系，并结合函数的性质，利用数形结合求解，属于难题. （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，.小试牛刀3 (1)判断在上的单调性（直接写出结论，不需要理由）； (2)对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增 (2) (3) 【分析】1）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）令，由可得出，利用对勾函数的单调性可求得实数m的取值范围； （3）令，令，分析可知函数在上有两个不等的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）在上单调递增. 证明：任取、且，则，， 所以， ， ，所以，函数在上为增函数. （2）当时，令， 则， 则，由可得， 因为函数在上单调递增，所以，， 所以，实数的取值范围是. （3）对任意的，， 所以，函数为偶函数， 由（1）可知，函数在上为增函数，则该函数在上为减函数， 令，当时，，则， 由可得， 令，则函数在上有两个不等的零点， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【题型8：由对数型函数零点/方程的根求参数】 【解题策略】 1.换元转化：令，转化为关于的代数方程； 2.限制条件：对数真数，转化为的对应范围； 3.结合的根的情况，反推参数范围（注意对数函数的定义域、值域）. （23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象与直线交点的横坐标，即为的零点，因此作出函数的图象，直线，由它们有三个交点可得出的范围，的关系，从而求得结论． 【详解】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． （24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】结合分段函数区间端点处的函数值与函数的单调性作出的图象，再结合图象得的范围，由对数运算性质可得，再由的范围可得范围. 【详解】， 令，解得； 令，解得； 令，则； 由， 则在上单调递减，在单调递增，在单调递减. 画出的图象如下图所示， 由题意是互不相同的实数，满足，不妨设. 则由图可知，. 则由， 可得，解得. 结合图象可知， 所以的取值范围是. 故答案为：. （24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】做出函数大致图象，数形结合可得出实数的取值范围，由对称性得、关系，对数函数的性质的、的关系， 从而化简代数式，由双勾函数的定义域得出取值范围. 【详解】作出函数与的图象如下图所示， 由题意可知，直线与函数的图象有个交点， 由图可知，， 因为二次函数的对称轴方程为， 由图象可得，则， 由及图象可得， 由于，则，则，所以，， 从而得，且，从而得， 所以，， 令，因为，则， 令，则，， 则在单调递增，则， 故的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. （2024高一·全国·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据函数的单调性得出的关系及范围，然后利用对勾函数的性质得出结论． 【详解】函数在，上单调递减，在上单调递增，，， 画出的图象，如图， 令，由，得，，， 由，得，即，由，得， 于是，由对勾函数性质知，在上递增，则， 所以的范围是． 故答案为： 【题型9：“换元型” 由方程的根的个数求参数范围】 【解题策略】 1.求的取值范围：即函数的值域； 2.分析方程（含参数）在内的根的个数； 3.结合的图像特征（单调性、极值），建立根的个数与的关系，求解参数范围. （25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 则. 故选：C. （25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ，这6个实数根的和为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】令，可得或，分类讨论，结合的图像，可得实数的取值范围，计算可求得6个实数根的和. 【详解】函数的图象如图所示， 令可得方程， 解得或， 由即，方程的四个解和； 当即时，方程另两解； 若，，此时， 方程另两解， 则， 所以， 故填    （25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的图象，来分析二次方程根的分布，最后利用根的分布可列参数满足的不等式，并进行求解即可. 【详解】作出函数的图象： 函数的零点等价于方程， 当时，此时方程化为可得， 由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故； 当时，此时方程化为可得或， 由可得方程有一个解为， 由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故； 所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足， 由于 所以二次方程的根仅有一个满足，另一个根， 则满足或，解得， 综上的取值范围为， 故选：D 【多选题】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 【题型10：嵌套函数型f(g(x))由方程的根的个数求参数范围】 【解题策略】 1.换元：令，求的取值范围（由的定义域、值域确定）； 2.分析的根； 3.统计每个对应的的解的个数，总个数满足要求； 4.结合的图像特征（单调性、极值），建立参数与解的个数的关系. （25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得， 故选：D. （2025高一·全国·专题练习）已知函数，，若方程有4个实数根，求实数的取值范围.小试牛刀1 【答案】 【分析】令，则原方程化为，因为方程有4个实数根，且，则原方程有4个解等价于函数，与的图象有2个不同的交点.作出函数，的图象与的图象，数形结合即可求解实数的范围. 【详解】令，则原方程化为，因为方程有4个实数根， 且，故当时，方程有2个不同的解.    则原方程有4个解等价于函数，与的图象有2个不同的交点，因为时，，当且仅当，即时等号成立， 故可作出函数，的图象如下图所示：    由图象可知，当时，函数，的图象与的图象有2个不同的交点. 故实数的范围为. （25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解. 【详解】令，则，如图， 由图像可知，和均最多有2个不同的根， 所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是. 故选：B （25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ）小试牛刀3 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据解析式，作出图象，根据有7个零点，可得与的图象有7个交点，分别讨论、、、和，5种不同的情况，根据图象交点个数，分析判断，可得a的范围，即可得答案. 【详解】当时，单调递减， 当时，单调递减，当时，单调递增， 作出图象，如图所示    因为函数有7个零点，所以有7个根， 即与的图象有7个交点， 令，则， 当时，与的图象只有一个交点，此时，    因为，所以与图象只有一个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，且为-1和2， 则和与图象共有4个交点，不符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为，    则， 此时与共有7个交点，符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为， 则， 此时与共有6个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，设为， 则， 若时，此时与共有4个交点，不符合题意， 若时，此时与共有3个交点，不符合题意，参考上图， 综上，a的取值范围是，则可以为2. 故选：A 【题型11：比较零点的大小关系】 【解题策略】 1.构造辅助函数：设，比较与的零点即比较的根； 2.分析函数单调性：若单调递增，由、可直接比较； 3.图像法：画出多个函数图像，观察零点的横坐标位置关系； 4.区间定位：利用零点存在定理确定各零点所在区间，间接比较大小. （24-25高一下·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意令，分别作，，的图象，如图， 当时，可得，故D正确； 当时，可得，故C正确； 当时，可得，故A正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误； 故选：ACD. （24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． （24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B （23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 【题型12：根据奇偶对称性求函数零点的和】 【解题策略】 1.奇函数性质：若是奇函数，且是零点，则也是零点，成对零点和为；若有定义，则（单独零点）； 2.对称轴性质：若关于对称，且是零点，则也是零点，成对零点和为； 3.统计所有零点，按对称性分组求和，汇总得到总零点和. （25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（    ）经典例题例题 A．2n B．3n C．4n D．5n 【答案】D 【分析】根据奇函数及分式型函数的性质确定、的对称中心为，进而求目标式的值. 【详解】由是R上的奇函数，则的对称中心为， 由，显然的对称中心为， 由函数与有n个交点分别为，，，， 所以，， 所以. 故选：D （24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值. 【详解】因为，由于，则，则， 所以，，即函数的值域为， 因为， ， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，则， 所以，，则函数的图象关于点对称， 因为函数与的图象有个交点，记为， 不妨设， 所以，点与点关于点对称，且有，， 所以，，， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求解析式，可利用以下结论来求解： （1）若函数与的图象关于点对称，则； （2）若函数与的图象关于直线对称，则. （24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数、的图象都关于点对称，结合对称性可得出结果. 【详解】因为函数、的定义域均为， 因为， 所以，， 故函数的图象关于点对称， 因为 ， 故，则函数的图象也关于点对称， 不妨设，由题意可知，这两个函数的交点也关于对称，且， 则点与点关于点对称，则， 因此，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点和问题，分析两个函数的对称性是解题的关键，进而根据对称性求和. （2024·广东广州·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在上的所有实根之和为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的性质，再画出函数的图象，利用对称性和周期性求所有实数根的和. 【详解】由可知，函数关于对称， 由函数是奇函数，可知，，即， 则，所以函数的周期为， 如图，根据函数的性质，画出函数的示意图，    由对称性可知，方程在上有一个实数根，根据函数关于对称， 可知在上也有一个实数根，再根据函数的周期性，如图，得到与在区间的6个交点， 利用对称性可知，，，， 所以方程在上的所有实根之和为. 故选：A 一、单选题 1．（25-26高一上·北京房山·期中）函数的零点所在的区间（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 3．（24-25高一上·天津和平·期末）方程的一个根所在的区间为，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建·期末）已知函数，当时，关于的方程的实数解的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·河北保定·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有1个零点 B．当时，有4个零点 C．可能有6个零点 D．当的零点个数最多时，的取值范围为 8．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 10．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 11．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且当时，存在点M，N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是 . 四、解答题 12．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知函数（为自然对数的底数），函数与的图象关于直线对称，. (1)若方程的实数解为，证明； (2)若关于的方程有两个不等的实数解，求的取值范围. 13．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性（无需证明）； (2)若，解关于的不等式； (3)若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围. 14．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数，. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若，求证：，并求的值； (3)令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C C D BCD ABD 1．C 【分析】根据给定函数，构造函数并确定单调性，利用零点存在性定理推理判断. 【详解】函数的定义域为，而， 当时，，令函数， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又， 因此函数的零点在上，所以函数的零点在上. 故选：C 2．C 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 3．C 【分析】令，利用零点存在定理求解. 【详解】令，定义域为，且连续， 又， 所以方程的一个实根必在， 所以， 故选：C 4．C 【分析】画出奇函数的图象，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和，数形结合可得结果． 【详解】由题意得方程的根是函数的图象与直线的交点的横坐标， 根据分段函数的解析式，以及是定义在上的奇函数，作出函数的图象如图所示：    作出直线，由图可知，与的图象有5个交点，从左到右依次记为， 根据的图象的对称性可得， 根据是奇函数得，， 所以， 由得， 所以， 故选：C 5．C 【分析】根据函数解析式画出函数图象，令，则，结合函数图象可得与有个交点，则问题转化为，的解得个数，结合函数图象即可判断. 【详解】因为的图像如图所示： 令，则，因为，由图像可知，关于的方程有三个解分别为， ，从图像中可以看出，，令，所以， 所以方程无解，有两解，有两解，故关于的方程有四个解. 故选：C 6．D 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 7．BCD 【分析】由题可得求的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，分别作出函数，的图象，利用数型结合及零点的嵌套可逐项求解判断. 【详解】A：的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，函数，的图象如图， 当时，无解；当时，的解为，则有两个解，故A错误； B：当时，设方程的解为，，易得，， 则，均有两个根，所以有个解，即有个解，故B正确. C：当时，易得方程的解为，，，则，，，均有个解，所以有个解，即有个解，故C正确. D：当时，设方程的解为，，，易得，，， 则，均有个解，最多有个解，所以最多有个解， 当有个解时，则，即， 所以当的解最多时，的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 8．ABD 【分析】AB选项，变形得到，，构造，由函数单调性得到，故AB正确；C选项，同一坐标内画出的图象，得到；D选项，结合ABC选项，利用图象得到. 【详解】AB选项，由题意得，， 因为可变形为， 令，显然为单调递增函数，故， 故，，AB正确； C选项，由题意得， 在同一坐标内画出的图象， 可以看出，C错误； D选项，由AB选项可知，而，故 又，故， 由图象可得，，所以， 故，D正确. 故选：ABD 【点睛】函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形为，从而构造，结合单调性进行求解.. 9．或 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， 所以或，如图，画出函数的大致图象，   时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或 10． 【分析】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为： 11．（或） 【分析】由题意可得在上有解，令，求导，求得值域即可. 【详解】函数关于的对称函数的解析式为， 若存在点M，N关于x轴对称，则在上有解， 即在上有解，即在上有解， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，所以. 故答案为：或. 12．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对的取值分类讨论，当时，构造，用单调性和零点存在定理得出的范围，由变形式子，结合的范围即可证明； （2）由对称得，推出，联立进行化简，然后进行换元求解，令，转化为二次方程在上有两不等实根问题，列不等式组求解即可. 【详解】（1）方程，即， 当时，方程无实数解， 当时，令，则在上单调递增， 又，， 故在内有唯一零点， 即， 所以， 所以. （2）， ， ，即， ， ， 令，即在有两个不等实根， ， ，即的取值范围为. 13．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出函数的定义域，分、、三种情况讨论，结合基本函数的单调性可得出函数的单调性； （2）由函数的定义域可得出且，当时，分析函数在上的单调性，由可得出关于的不等式，解之即可； （3）令，则函数在上为增函数，且，由题意可知，方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，令，由参变量分离法可知直线与函数在时的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，函数在和上都是减函数； 当时，函数在和上都是减函数； 当时，函数在和上都是增函数， 在和上都是减函数. （2）由函数的定义域可知，，解得且， 由（1）可知当时，函数在上是减函数， 由，可得， 可得， 因为，则有，解得或， 因此，不等式的解集为. （3）令，则函数在上为增函数，且， 则方程有两个不同的解等价于方程在上有两个不同的解， 即方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解， 令，则， 则在上有两个不同的解， 因为函数在上为减函数，在上为增函数， 则，如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数在时的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 14．(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域； （2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值； （3）令，，由结合参变量分离法可得，利用双勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1） ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为； （2）若，则， ，. 设， 则， 两式相加得，即，， 故. ； （3）， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点， 则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则， 因为函数在区间上单调递增，且，， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【第19讲：函数的零点方程的根】 总览 题型梳理 一、核心概念与本质关系 1.函数零点定义：函数中，使的实数. 2.方程的根定义：方程的解. 3.等价关系：函数零点方程实数根函数图像与轴交点横坐标. 4.核心结论：方程有实根函数有零点函数图像与轴有交点. 二、零点存在性定理 1.条件：①函数在上连续；②. 2.结论：函数在内至少有一个零点（方程至少有一个实根）. 3.关键说明： 充分非必要条件 逆否命题：连续函数内无零点. 局限性：时仍可能有零点. 三、零点求法（核心方法） 1.代数法 直接求解：适用于一次、二次方程（求根公式，）. 因式分解法：零点为. 2.图像法 直接法：观察与轴交点横坐标. 转化法：求与交点横坐标. 3.二分法（近似解） 步骤：①确定，验证；②求中点；③判断：则为零点，否则缩小区间；④重复至区间长度小于精确度. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：零点存在定理的应用】 【解题策略】 1.验证函数在区间上的连续性； 2.计算区间端点函数值、； 3.若，则区间内至少有一个零点； 4.若需确定唯一零点，补充验证函数在区间上的单调性. （25-26高一上·全国·期末）已知函数，．经典例题例题 (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． （24-25高一下·湖南长沙·月考）已知函数.小试牛刀1 (1)判断函数与的单调性（不需要写理由）； (2)证明：函数有唯一零点，有唯一零点，且； （24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.小试牛刀2 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； （24-25高一上·山东济宁·阶段练习）定义上的奇函数和偶函数满足.小试牛刀3 (1)求函数和函数的解析式； (2)设函数，若在内有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【题型2:二分法求函数零点】 【解题策略】 1.确定初始区间，满足且函数连续； 2.计算中点，求； 3.缩小区间：则为零点；令；令； 4.重复步骤2-3，直到区间长度小于精确度，取中点为近似解. （24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（   ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）.经典例题例题 A．4 B．7 C．10 D．13 （25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示：小试牛刀1 x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 （21-22高一上·安徽安庆·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：小试牛刀3 x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【题型3：由函数的零点求参数范围】 【解题策略】 1.转化为方程有实根问题； 2.方法：①参数分离法（将参数表示为，求的值域）；②判别式法（二次方程）；③图像法（分析函数与轴交点存在性）； 3.结合函数定义域、值域限制参数范围. （25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高一上·北京西城·期中）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【题型4：求函数零点/方程的根的个数】 【解题策略】 1.代数法：解方程，直接统计根的个数（注意重根）； 2.图像法：①画出图像，统计与轴交点个数；②转化为与交点个数； 3.辅助分析：利用函数单调性、极值、奇偶性、区间端点值确定图像特征. （25-26高三上·江苏淮安·月考）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ）经典例题例题 A．14 B．13 C．12 D．11 （25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，关于的方程的解的个数可能是 .小试牛刀1 （25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为 ；方程有且仅有 个实数解.小试牛刀2 （2025高三·全国·专题练习）若平面直角坐标系内A，B两点满足点A，B都在函数的图象上，且点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”．已知函数，则的“和谐点对”有（    ）小试牛刀3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5：由函数的零点/方程的根个数求参数范围】 【解题策略】 1.构造含参函数，分析其单调性、最值； 2.画出函数大致图像，结合零点个数要求（与轴交点个数）； 3.建立极值与的大小关系、区间端点值与的关系，解不等式求参数范围. （25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数，，若关于x的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是 .经典例题例题 （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且，若方程有六个不同的实根，则实数的取值范围是 ．小试牛刀1 （25-26高一上·山东德州·期中）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，其中.若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为 .小试牛刀3 【题型6：二次函数的零点/方程的根分布的应用】 【解题策略】 1.设二次函数，方程的根为； 2.核心条件：①判别式（根的存在性）；②对称轴（根的位置）；③区间端点函数值（根在区间内外）；④韦达定理（根的和积关系）； 3.按根的分布类型（如两根都大于、一根在内等）列不等式组求解. （25-26高一上·浙江杭州·期中）若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为 ．经典例题例题 （25-26高一上·江苏南通·期中）（1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由；小试牛刀1 （2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围； （3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由. （25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为 .小试牛刀2 （25-26高三上·山东泰安·期中）已知函数．小试牛刀3 (1)若为奇函数，求的值； (2)若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围． 【题型7：由指数型函数零点/方程的根求参数】 【解题策略】 1.换元转化：令，将方程转化为关于的代数方程； 2.求的正根（结合的范围）； 3.由的解的存在性，反推参数范围（注意指数函数的值域限制）. （25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）．经典例题例题 (1)当取何值时，函数为奇函数； (2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． （24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是 ．小试牛刀1 （24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，.小试牛刀3 (1)判断在上的单调性（直接写出结论，不需要理由）； (2)对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围. 【题型8：由对数型函数零点/方程的根求参数】 【解题策略】 1.换元转化：令，转化为关于的代数方程； 2.限制条件：对数真数，转化为的对应范围； 3.结合的根的情况，反推参数范围（注意对数函数的定义域、值域）. （23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为 .小试牛刀1 （24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ．小试牛刀2 （2024高一·全国·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是 ．小试牛刀3 【题型9：“换元型” 由方程的根的个数求参数范围】 【解题策略】 1.求的取值范围：即函数的值域； 2.分析方程（含参数）在内的根的个数； 3.结合的图像特征（单调性、极值），建立根的个数与的关系，求解参数范围. （25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ，这6个实数根的和为 ．小试牛刀1 （25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：嵌套函数型f(g(x))由方程的根的个数求参数范围】 【解题策略】 1.换元：令，求的取值范围（由的定义域、值域确定）； 2.分析的根； 3.统计每个对应的的解的个数，总个数满足要求； 4.结合的图像特征（单调性、极值），建立参数与解的个数的关系. （25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025高一·全国·专题练习）已知函数，，若方程有4个实数根，求实数的取值范围.小试牛刀1 （25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ）小试牛刀3 A．2 B．3 C．4 D．5 【题型11：比较零点的大小关系】 【解题策略】 1.构造辅助函数：设，比较与的零点即比较的根； 2.分析函数单调性：若单调递增，由、可直接比较； 3.图像法：画出多个函数图像，观察零点的横坐标位置关系； 4.区间定位：利用零点存在定理确定各零点所在区间，间接比较大小. 【多选题】（24-25高一下·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型12：根据奇偶对称性求函数零点的和】 【解题策略】 1.奇函数性质：若是奇函数，且是零点，则也是零点，成对零点和为；若有定义，则（单独零点）； 2.对称轴性质：若关于对称，且是零点，则也是零点，成对零点和为； 3.统计所有零点，按对称性分组求和，汇总得到总零点和. （25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（    ）经典例题例题 A．2n B．3n C．4n D．5n （24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 .小试牛刀1 （24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2024·广东广州·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在上的所有实根之和为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高一上·北京房山·期中）函数的零点所在的区间（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 3．（24-25高一上·天津和平·期末）方程的一个根所在的区间为，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建·期末）已知函数，当时，关于的方程的实数解的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·河北保定·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有1个零点 B．当时，有4个零点 C．可能有6个零点 D．当的零点个数最多时，的取值范围为 8．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 10．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 11．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且当时，存在点M，N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是 . 四、解答题 12．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知函数（为自然对数的底数），函数与的图象关于直线对称，. (1)若方程的实数解为，证明； (2)若关于的方程有两个不等的实数解，求的取值范围. 13．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性（无需证明）； (2)若，解关于的不等式； (3)若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围. 14．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数，. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若，求证：，并求的值； (3)令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C C D BCD ABD 1．C 【分析】根据给定函数，构造函数并确定单调性，利用零点存在性定理推理判断. 【详解】函数的定义域为，而， 当时，，令函数， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又， 因此函数的零点在上，所以函数的零点在上. 故选：C 2．C 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 3．C 【分析】令，利用零点存在定理求解. 【详解】令，定义域为，且连续， 又， 所以方程的一个实根必在， 所以， 故选：C 4．C 【分析】画出奇函数的图象，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和，数形结合可得结果． 【详解】由题意得方程的根是函数的图象与直线的交点的横坐标， 根据分段函数的解析式，以及是定义在上的奇函数，作出函数的图象如图所示：    作出直线，由图可知，与的图象有5个交点，从左到右依次记为， 根据的图象的对称性可得， 根据是奇函数得，， 所以， 由得， 所以， 故选：C 5．C 【分析】根据函数解析式画出函数图象，令，则，结合函数图象可得与有个交点，则问题转化为，的解得个数，结合函数图象即可判断. 【详解】因为的图像如图所示： 令，则，因为，由图像可知，关于的方程有三个解分别为， ，从图像中可以看出，，令，所以， 所以方程无解，有两解，有两解，故关于的方程有四个解. 故选：C 6．D 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 7．BCD 【分析】由题可得求的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，分别作出函数，的图象，利用数型结合及零点的嵌套可逐项求解判断. 【详解】A：的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，函数，的图象如图， 当时，无解；当时，的解为，则有两个解，故A错误； B：当时，设方程的解为，，易得，， 则，均有两个根，所以有个解，即有个解，故B正确. C：当时，易得方程的解为，，，则，，，均有个解，所以有个解，即有个解，故C正确. D：当时，设方程的解为，，，易得，，， 则，均有个解，最多有个解，所以最多有个解， 当有个解时，则，即， 所以当的解最多时，的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 8．ABD 【分析】AB选项，变形得到，，构造，由函数单调性得到，故AB正确；C选项，同一坐标内画出的图象，得到；D选项，结合ABC选项，利用图象得到. 【详解】AB选项，由题意得，， 因为可变形为， 令，显然为单调递增函数，故， 故，，AB正确； C选项，由题意得， 在同一坐标内画出的图象， 可以看出，C错误； D选项，由AB选项可知，而，故 又，故， 由图象可得，，所以， 故，D正确. 故选：ABD 【点睛】函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形为，从而构造，结合单调性进行求解.. 9．或 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， 所以或，如图，画出函数的大致图象，   时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或 10． 【分析】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为： 11．（或） 【分析】由题意可得在上有解，令，求导，求得值域即可. 【详解】函数关于的对称函数的解析式为， 若存在点M，N关于x轴对称，则在上有解， 即在上有解，即在上有解， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，所以. 故答案为：或. 12．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对的取值分类讨论，当时，构造，用单调性和零点存在定理得出的范围，由变形式子，结合的范围即可证明； （2）由对称得，推出，联立进行化简，然后进行换元求解，令，转化为二次方程在上有两不等实根问题，列不等式组求解即可. 【详解】（1）方程，即， 当时，方程无实数解， 当时，令，则在上单调递增， 又，， 故在内有唯一零点， 即， 所以， 所以. （2）， ， ，即， ， ， 令，即在有两个不等实根， ， ，即的取值范围为. 13．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出函数的定义域，分、、三种情况讨论，结合基本函数的单调性可得出函数的单调性； （2）由函数的定义域可得出且，当时，分析函数在上的单调性，由可得出关于的不等式，解之即可； （3）令，则函数在上为增函数，且，由题意可知，方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，令，由参变量分离法可知直线与函数在时的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，函数在和上都是减函数； 当时，函数在和上都是减函数； 当时，函数在和上都是增函数， 在和上都是减函数. （2）由函数的定义域可知，，解得且， 由（1）可知当时，函数在上是减函数， 由，可得， 可得， 因为，则有，解得或， 因此，不等式的解集为. （3）令，则函数在上为增函数，且， 则方程有两个不同的解等价于方程在上有两个不同的解， 即方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解， 令，则， 则在上有两个不同的解， 因为函数在上为减函数，在上为增函数， 则，如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数在时的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 14．(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域； （2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值； （3）令，，由结合参变量分离法可得，利用双勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1） ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为； （2）若，则， ，. 设， 则， 两式相加得，即，， 故. ； （3）， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点， 则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则， 因为函数在区间上单调递增，且，， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $