江苏省常州高级中学2025-2026学年高二上学期10月阶段考试数学试题

江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高二年级10月阶段考试 数学试卷 命题人：张子睿、杨丽蕾 审卷人：曹浩东2025.10 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷上 2.本卷总分150分，考试时间120分钟， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.己知直线4：ax+2y=0与直线42：x+(a+1)y+4=0,则“a=1”是“4∥12”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.直线1：x-ycos0+2=0的倾斜角的取值范围是 A.[0, B. C. D.唔u受药 3.若点P(L,1)在圆C:x2+y2+2x-m=0的外部，则m的取值范围为 A.(-1,4) B.(4,1) C.(-1,+o) D.(-00,4) 4.已知Q为圆M:x2+y2=4上的动点，点P满足QP=(2,-1),则点P的轨迹方程为 A.(x-2)2+y+1)2=20 B.(x+2)2+(y-1)2=20 C.(x-2)2+(y+)2=4 D.(x+2)2+y-1)2=4 5.已知定点A(-L,0),圆C与y轴相切，直线2x+y-2=0是圆C的一条对称轴.若圆 C上存在两点P,Q使得∠PAQ>行，则圆心C的横坐标的取值范围是 A.(U3,+o B.d) c.o,Uc3+∞) D.(L,5) 高二数学第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 6.过圆x2+y2-x+y-2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的 方程为 A,x2+y2+2x-2y-11=0 B.x2+y2-2x+2y-11=0 C.x2+y2-2x-2y-11=0 D.x2+y2+2x+2y-11=0 7.已知Mm,m为曲线y=3-4x-7上任意一点，则+的取值范围是 m+2 A2-子6.2+号 B.[1,3] cr-号a引 D.2+号可 8.若圆0：x2+y2=1与圆02：(x-a)2+0y-b)=9(a,b∈R)有且仅有2条公切线，则 13a-4b+51的取值范围为 A.[0,5) B.[L,5) C.[0,25) D.[5,25) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.下列四个命题中正确的有 A.过点(3，)，且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等的直线方程为x+y一4=0 x-y-2=0 B.若直线a+y-k+1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取 值范围为(-0，-U片+o) C.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+y=3-a不能构成三角形，则实数a所有可 能的取值组成的集合为{-人 D.若直线1沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回 到原来的位置，则该直线！的斜率为号 10.在平面直角坐标系xOy中，(-2,0)，动点P满足|PA=√2|P0|,记点P的轨迹为 曲线C,则 A.C的方程为(-2)2+y2=8 B.若直线y=a+4与C有公共点，则k的取值范围是[2-√6,2+√6] C.当O,A,P三点不共线时，若D(2-2W2,0),则射线PD平分∠APO D.过C外一点a-4a)作C的切线，切点分别为M,,则直线MW过定点（写争 高二数学第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆0：x2+y2=r2(r>0)上恰有3个点到直线 V5x+y+3=0的距离为)设点A-2,0),B(2,0),N0,4),点2是圆0上的任意 一点，过点B作BM⊥AQ于M,则下列说法中正确的有 A.r=3 B.点M的轨迹方程为x2+y2=4(x≠2) C.2|2M|+|OA的最小值为2√10 D.圆0上存在难T点Q,使得引2A+121取到最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线4：x+2y-4=0与直线12：a-y+2k+1=0的交点位于第一象限，则实数k的 取值范围是▲一· 13.己知圆C:(x-1)+y-2)2=1,若从点M(3,5)发出的光线经过直线2：x+y-1=0反 射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是▲ 14.1765年，数学家欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重 心、垂心三点共线，这条直线称为欧拉线.△ABC中，已知A(L,),B(4,5),且△ABC 的欧拉线方程为7x+8y-42=0,则点C的横坐标为▲一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分)· 已知矩形ABCD的两条对角线相交于点E(O,),AD边所在直线的方程为 2x+y+2=0,点F(2,-I)在AB边所在直线上. (1)求点A的坐标； (2)求矩形ABCD的面积. 16.（本题满分15分) 已知圆(x+5)2+y2=r2(r>0)与圆C关于直线y=-2x对称，且点A(6,8)在圆C上. (1)求圆C的方程； (2)过点A的直线I交圆C于另一点B,若△ABC的面积为12，求直线1的方程， 高二数学第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 17.(本题满分15分) 已知圆C:(x-a)2+y-a+1)2=1,A(0,3),0为坐标原点. (1)若a=1,求圆C与圆C:(x-2)2+0y-2)2=4的公共弦长： (2)若圆C上存在点M,使得MA=2MO,求a的取值范围. 18.(本题满分17分) 已知圆M的圆心在x轴的非负半轴上，且经过40-4，B9,号，c,号 D(L,4)中的三个点 (1)求圆M的方程； (2)设直线：y=2x与圆M交于点P,点Q,R分别在直线1和圆M上， 若∠PQR=60°，求点Q的横坐标的取值范围： (3)求圆M与圆N:(x-4)2+(y-3)2=1的公切线的方程. 19.(本题满分17分) 平面直角坐标系xOy中，已知定点N(0,2),动点M满足Mō.M=3,记动点M的 轨迹为曲线C.过点O作两条直线PQ,ST分别与曲线C交于点P,Q和S,T四点（其 中点P、S在上方). (1)求曲线C的方程； (2)若P2⊥ST,求四边形PTOS面积的取值范围： (3)设PT交x轴于点A,SQ交x轴于点B,证明：OA=OB. 高二数学第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高二年级10月阶段考试 数学试卷参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.A2.C 3.A4.C5.D 6.A7.C8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BD 10.ACD 11.ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2( 13.4x-5y+6=0 14.5或127 113 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(13分) 解：(1)因为矩形ABCD,所以ABL4D,所以k=-1= D2 从而直线AB的方程为y=x-2)-1,即x-2y-4=0。 x-2y-4=0 x=0 联立 2x+y+2=0,得 y=-2,即A0,-2). …5分 (2)点E到直线AB的距离4-10-2×14-55】 V12+(-2)25 点E到直线AD的距离4，=2x0+1+21=35, √22+12 5 72 从而矩形ABCD的面积S=4dd2= 5 13分 16.(15分) 解：(1)已知圆的圆心为(-5,0)，则C(a,b)为(-5,0)关于直线y=-2x的对称点， [b-0 ×(-2)=-1 a=3 从而 1a-(-5) 2x0-5b。，解得 =4,即C3,4). =0 22 圆C的半径r=√(6-3)2+(8-4)2=5，则圆C的标准方程为(x-3)2+y-4)2=25. …5分 高二数学答案第1页，共4页 (2)设点C到直线I的距离为d. 若直线l斜率不存在，直线1的方程为x=6,此时B(6,0),AB=8,d=3,SAMc=×8×3=12, 2 符合题意 若直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=k(x-6)+8,即x-y-6k+8=0, 则d=13k-41 +2,4B=22-=2N25-d. 由题，5ac×225-正d=12d>0,解得4=3或4 若d=3,则 1+k2 4=3,解得k=,此时直线1的方程为7x-24y+150 若d=4,则 以-=4，解得太=0或-头，此时直线1的方程为y=8或24x+7y-20=0. V1+k2 综上，直线1的方程为x=6或7x-24y+150=0或y=8或24x+7y-200=0 …15分 17.（15分) 解：(1)a=1时，圆C的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0; 圆C方程为x2+y2-4x-4y+4=0,两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x+2y-2=0. 圆心C1,0)到该直线距离为d=1+2×0-21=5 V12+22 5 故公共弦长为2--45. …6分 (2)设M(x,y),由MA=2MO,x2+(y-3)2=4(x2+y2),化简得x2+y+1)2=4, 故点M轨迹是以(0，-1)为圆心，2为半径的圆. 由题，该圆与圆C有公共点，则2-1≤√a2+(a-1+1)2≤2+1， …15分 2 2 18.(17分) 解：(1)因为圆心M在x轴上，则由对称性可知，圆M只能同时经过A、B、C或B、C D三点若圈M经过点么、C、0,D的垂直平分线为y=号-沿-名，该直线与x轴 交于负半轴，不符合题意，故圆M经过点A、B、C.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 高二数学答案第2页，共4页 16-4E+F=0 代入A、B、C三点坐标，得 514416D-}B+F=0,解得D=E=0,F 25 25+50 256,144,16 25255D+2B+F=0 从而圆M的方程为x2+y2=16. 6分 （2)设a,2a.因为∠PQR=60,则点O到直线2R的距离d=5。 00 2 由题-500≤4，则c+≤16，解限号压<a<含压， …11分 (3)圆M与圆N外切，共有3条公切线，且公切线斜率均存在. m=4 Vk2+1 设公切线方程为y=a+m,由题， 14k-3+m=1 Vk2+1 24 k=0 k= k=- 4 解得 7 3 m=4 或 或 100 20 1 m= 3 24.100 故所求公切线方程为y=4或y= 、x+ 17分 7 或y=-4x420 3 31 19.(17分) 解：(1)设M(x,y),由M石.MN=3,得M0·MN=(-x,-y)(-x,2-y)=x2+y2-2y=3, 故曲线C的方程为x2+(y-1)2=4. ………3分 (2)设圆心E(0,1)到直线PQ,ST的距离分别为41，d2, 则有d+d=0B2=1,P9=2V4-d，ST=2V4-d好， 从而四边形PTQS的面积 s=×24-d.2W4-dG=2v16-4d+d)+ 2 =2+*2-2-+架，400 故四边形PTQS面积S的取值范围为(4V3,7]. …8分 高二数学答案第3页，共4页 (3)法1：设P(x,),(x,2)，S(,)，T(x4,y4),由题意知，直线PQ,ST均不与 x轴重合，故设PQ:x=my,ST:x=y. [x=my 联立PQ与圆E方程 2+0-=4'化简得(m2+1y2-2y-3=0, 2 -3 2 -3 则△>0，为+%m+'%m同理可得⅓+以+，⅓以中 设A(x4,0)，B(x,0)，则PA=(x4-为，-y)，TA=(c4-x4,-4), 由P71瓜，解得x,=弘二型-m-以.同瑶，点B的横坐标为长，=坐 y4-乃 y4-y 为-y2 因此， x4+x=(m-my4+必y) y4-乃3-2 =(m-).4y-2y+2y-y4 (4-40y-y2) -34+3y4-34+ 3y3 =(0m-m）2+1m2+1n2+1m2+1 (y4-)93-y2) -30+2)+304+y2 =(m-n)n2+1 m2+1 (y4-y)0%-y2) -2 2 =3m-.2+10m+Dom2+102+D (y4-)y3-2) =0, 从而OA=OB. …17分 法2：过圆心E作PT,SQ的垂线，G,H为垂足，连接AE,BE,OG,OH. 由垂径定理，G,H分别为PT,SQ的中点. 在圆E中，有∠TP2=∠TS2,∠TOP=∠QOS,从而△TOPn△OOS, 从而易证△TOG∽△QOH,所以∠OGT=∠OH0 因为∠AGE=∠AOE=90,所以A,O,E,G四点共圆，所以∠OEA=∠OGA 同理，B,O,E,H四点共圆，所以∠OEB=∠OHB,所以∠AEO=∠BEO, 从而有△AOE≌△BOE,所以OA=OB. …17分 高二数学答案第4页，共4页