江苏省苏州市苏州工业园区星汇学校2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷

2025一2026学年苏州星汇学校初二数学10月月考试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分 1.下列式子是分式的是 A号 B C.x+y D.1 2.如图所示，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定t△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适 合的是 () A.AC=AD B.AB-AB C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD B D B B B H (第2题图) (第6题图) (第7题图) (第8题图) 3.若把分式&。中的a和b都扩大2倍，那么该分式的值 2ab A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的} C.缩小为原来的号 D.不变 4.下列各式从左到右的变形是因式分解的是 A.a(a+b)=a2+ab B.a2+2a+1=a(a+1)+1 C.（a+b)(a-b)=a2-b2 D.2a2-6ab=2a(a-3b) 5.根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是 A.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 B.∠A=30°，AB=5,BC=3 C.∠B=60°，AB=6,BC=10 D.∠C=90°，AB=5,AC=3 6.如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，AB=AC, BC边的中点D处挂了一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否过A点，如果过A点，那么这根 木条就是水平的，他作出判断的依据是 () A.垂线段最短 B.三角形三条高所在的直线交于一点 C.角平分线上的点到角两边的距离相等 D.等腰三角形“三线合一” 7.在正方形网格中，网格线的交点称为格点.如图是3×3的正方形网格，己知A,B是两格点，在网格中找一点 C,使得△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有 () A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 8.如图，在△ABC中，AB>AC,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC 于点E,过点F作FH⊥BC于点H,且FH=m,△ABC的周长是n.那么下列结论：①DE=BD+CE;②AD =AE:③BP=CP:④∠BC=90°+号：⑤△ABC的面积=方m.其中正确的有 () A.①②④ B.①③⑤ C.①④⑤ D.①③④⑤ 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分 9.分式32。有意义，则x的取值范围是 初二数学 第1页 共5页 10.若分式8二的值为0，则a的值为 a+1 11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，AB+BC=12cm,则CD=cm. 0 (第11题图) (第13题图) (第14题图) 12.若二次三项式x2-mx-6可分解为(x-3)(x+n),则m的值为 13.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连接N交AB于点E.若AB=9,AC=7,则△ADE 的周长为 14.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O 点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动.若∠AOB=25°，则∠CDE的度数 为 15.如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE=2BE,AE和BD交于点O,那么△BOE和四 边形OECD的面积比是 0 E D (第15题图圖) (第16题图) 16.如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD,AC=7.F是射线BC上一点，且CF=AO,动点P 从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每 秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与 △FCQ全等时，则t=秒， 三、解答题：本大题共10小题，共68分 .东的分再求位：。n的·其中a=20=-05。 18.把下列各式分解因式： (1)4a2-64; (2)m2-6m-7: (3)2x3y+4x2y2+2xr. 初二数学 第2页 共5页 19.计算： (1)56+56×88+44: 21-2)1-)…1-)1-0)为 20.作图题：如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格. ①在BC上找一点P,使点P到AB和AC的距离相等； ②在射线AP上找一点Q,使QB=QC. B 21.如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB,BE⊥AC.求证：MN⊥EF. 22.如图，过AABC的边AC的垂直平分线MN上的点M作△ABC另外两边AB、BC所在的直线的垂线，垂足分 别为D、E,AD=CE,作射线BM.求证：BM平分∠ABC. D A M B C 初二数学 第3页 共5页 23.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E,延长ED和CA,交于点F (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)若∠F=30°，BD=4,EC=6,求AC的长. F D 24.利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2的特点可以解决很多数学问题.下面给出 两个例子： 例1.分解因式： x2+2x-3 =x2+2x+1-4 =(x+1)2-4 =(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1). 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2,求M的最小值. a2-2ab+2b2-2b+2 =a2-2ab+b2+b2-2b+1+1 =(a-b)2+(6-1)2+1 (（a-b)2≥0，(b-1)2≥0， ∴.当a=b=1时，M的最小值是1. 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：a2+12a+35: (2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2-8c+6+20有最小值？并求出这个最小值： (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2=8a+6b-25,求△ABC周长的最大值. 初二数学 第4页 共5页 25.【了解概念】 如图1，己知A,B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP,BP,若∠APM=∠BPN,则称 点P为点A,B关于直线l的“等角点”， 【理解运用】 (1)如图2，在AABC中，D为BC上一点，点D,E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F,判断点B是否 为点D,F关于直线AB的“等角点”，并说明理由： 【拓展提升】 (2)如图2，在(1)的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D,Q关于直线AC的“等角点”为点C,请利用无 刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； (3)如图3，在△ABC中，∠ABC,∠BAC的平分线交于点O,点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC, 点P为点O,B关于直线l“等角点”，连接OP,BP,当∠ACB=60°时，OP+BP的值为 M B B E N C 图1 图2 图3 26.小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰△ABC中，AB=AC.点D是 AC上一动点，点E、P分别在BD延长线上，且AB=AE,CP=EP (1)问题思考在图①中，求证：∠BPC=∠BAC (2)问题再探若∠BAC=60°，如图②，探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 (注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段.) 3)问思拓展，若∠BAC=90,且D平分∠ADC,如图@，请直接写出需的值为一 E A E b D B B B 图① 图② 图③ 初二数学 第5页 共5页2025-2026学年度苏州星汇学校初二数学10月月考试卷 参考答案与解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分」 1.下列式子是分式的是 A.员 B.2 C.x+y D.x+1 2 【解析】解：选项A、C、D中的代数式的分母中不含有未知数，不是分式： 选项B中的代数式的分母中含有未知数，是分式： 故选：B. 2.如图所示，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与t△ABD全等.以下给出的条件适 合的是 () A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.LBAC=∠BAD 【解析】解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD,理由为： 若添加的条件为BC=BD, 在Rt△ABC与Rt△ABD中 80 ∴.Rt△ABC=Rt△ABD(HL): D 若添加的条件为AC=AD, 在Rt△ABC与Rt△ABD中， B 60 (第2题图) ∴.Rt△ABC=Rt△ABD(HL). 故选：A. 3若把分式品中的a和6都扩大2倍，那么该分式的价 A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的子 C.缩小为原来的号 D.不变 【解析】解：若把分式号品中的a和6都扩大2倍得2，月=， 8ab 4ab' 则该分式的值缩小为原来的， 故选：C 4.下列各式从左到右的变形是因式分解的是 A.a(a+b)=a2+ab B.a2+2a+1=a(a+1)+1 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.2a2-6ab=2a(a-3b) 【解析】解：A.是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意： B.右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意： C.是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意： D.符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意： 故选：D. 5.根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是 A.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 B.∠A=30°，AB=5,BC=3 C.∠B=60°，AB=6,BC=10 D.∠C=90°，AB=5,AC=3 初二数学 第1页共10页 【解析】解：A.:∠A=60°，∠B=45°，AB=4,满足ASA的要求， ∴.可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意： B.,∠A=30°，AB=5,BC=3,∠A不是AB,BC的夹角， :可以画出多个三角形，原选项符合题意； C.,'∠B=60°，AB=6,BC=10,满足SAS的要求， ∴.可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； D.,∠C=90°，AB=5,AC=3,满足HL的要求， 可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意： 故选：B 6.如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，AB=AC, BC边的中点D处挂了一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否过A点，如果过A点，那么这根 木条就是水平的，他作出判断的依据是 () A.垂线段最短 B.三角形三条高所在的直线交于一点 C.角平分线上的点到角两边的距离相等 D.等腰三角形“三线合一” 【解析】解：当重锤过A点时，AD为△ABC边BC上的中线： 又：AB=AC,即△ABC是等腰三角形： ·AD也是BC边上的高，即AD L BC, “这根木条是水平的. 故选：D. (第6题图) 7.在正方形网格中，网格线的交点称为格点.如图是3×3的正方形网格，已知A,B是两格点，在网格中找一点 C,使得△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有 () A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 【解析】解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C, AB是底边时，黑色的2个点都可以作为点C 所以，满足条件的点C的个数是4+2=6. 故选：A. 8.如图，在△ABC中，AB>AC,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC 于点E,过点F作FH⊥BC于点H,且FH=,△ABC的周长是n.那么下列结论：①DE=BD+CE:②AD =AB:③BF=CP:④∠BFC=90C°+会：⑤△ABC的面积=？mm.其中正确的有 2 () A.①②④ B.①③⑤ C.①④⑤ D.①③④⑤ 【解析】解：如图： .DE∥BC, ∴.∠2=∠5，∠4=∠6， :∠ABC与∠ACB的平分线交于点F, ∴.∠1=∠2，∠4=∠3 ∴.∠5=∠1，∠6=∠3 D ∴BD=DF,E=CE, ∴.DE=DF+FE=BD+CE,故①是正确的： B H :AB>AC,DE∥BC, (第8题图) ∴.∠ABC≠∠ACB,∠ADE≠∠AED, :AD≠AE,故②是错误的； :∠ABC≠∠ACB, ∴.∠2≠∠4， 初二数学 第2页 共10页 ∴.BF≠CF,故③是错误的： ,∠A=180°-∠1-∠2-∠3-∠4=180°-2（∠2+∠4），∠BF℃=180°-（∠2+∠4）， ∴号LA=90°-(22+2④， ∠BPC=9r+号，故@正确， ,:点F点到AB,AC,BC的边距离等于m ∴△ABC的面积=mm,故⑤正确. 故选：C. 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分. 9.分式名2。有意义，则x的取值范围是一· 【解析】解：由题意得：3-x≠0，解得：x≠3， 故答案为：x≠3. 10.若分式8的值为0，则a的值为 【解析】解：由题意得：a-1=0,且a+1≠0，解得：a=1, 故答案为：1. 11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，AB+BC=12Cm,则CD=cm. 【解析】解：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴，AB=2BC=8cm, :AABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴CD=2AB=4cm, 故答案为：4. 12.若二次三项式x2-mc-6可分解为(x-3)(x+n),则m的值为 (第11题图) 【解析】解：(x-3)(x+n)=x2+(n-3)x-3n, :二次三项式x2-mx-6可分解为(x-3)(x+n), ∴.-3n=-6,n-3=-m, 解得n=2,m=1, 故答案为：1， 13.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心，大于 之BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E.若AB=9,AC=7,则△ADE 的周长为 【解析】解：由作图可得AD=AC=7,MN垂直平分BD, M .EB=ED, E人 ,∴.△ADE的周长为AE+DB+AD=AE+BE+AD=AB+AD=16, B 故答案为：16. 头N (第13题图) 14.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O 点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动.若∠AOB=25°，则∠CDE的度数 为 【解析】解：，OC=CD=DE, ∴.∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC :∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O .∠DEC=2∠O=50°， (第14题图) ∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=80° 初二数学第3页 共10页 故答案为：80° 15.如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E在边BC上，CE=2BE,AE和BD交于点O,那么△BOE和四 边形OECD的面积比是 【解析】解：如图，连接OC.设SABOE=S,ScoD=S1, ,CE=2BE,点D是边AC的中点， ∴SACOE=2S,Sa4oD=S1, SAABD=SABCD' ∴SAA0B+S1=3S+S, 25 ∴.S△40oB=3S, SABs:SAACE=1:2,即(3S+S):(2S1+2S)=1:2, .S1=3S, ∴S四边形0B0D=2S+S1=2S+3S=5S, S△B0B:Sm边形0bc0=S:5S=1:5. 故答案为：1：5， 16.如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD,AC=7.F是射线BC上一点，且CF=AO,动点P 从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每 秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与 △FCQ全等时，则t= 秒 【解析】解：由题意， .:∠BOD=∠AOE,∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠AOE=90°， ∴.∠ACD=∠AOE. .∠BOD=∠ACD 又.∠BDO=∠ADC=90°，AD=BD, ∴.△BDO△ADC(AAS): ..BO=AC=7. ①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≈△FCO. CF=AO,∠AOP=∠EOD=180°-∠DCE=∠FCQ, ∴.当△AOP兰△FCQ时，OP=CQ. .OP=t,CQ=7-3t, t=7-3,解得6=子 ②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP=△FCQ. :CF=AO,∠AOP=LEOD=180°-∠DCE=∠FCQ, .当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ. .OP=t,CQ=3t-7, 5t=3-7,解得=子 综上6=子或子 故答案为：子或号 三、解答题：本大题共10小题，共68分 a-4ab2 17.先约分，再求值：c-4n+n其中a=2,6=-0.5 【解析】解：原式=aa2-4ab+4 a(a2-4b) 初二数学 第4页 共10页 =aa+2b)a-26 a(a-2b)2 -a+26 a-2b 当a=2,6=-号时，原式= 18.把下列各式分解因式： (1)4a2-64: (2)m2-6m-7: (3)2xy+4x2y2+2xy 【解析】解：(1)原式=4(a+4)(a-4) (2)原式=(m-7)(m+1) (3)原式=2xy(x2+2cy+y)=2xy(e+月 19.计算： (1)562+56×88+442: @1-)1-)…1-是0-. 【解析】解：(1)原式=(56+44)2=1002=10000 (2)原式=(1-号)1+)1-3)1+号)×…×1-)1+)0-0)1+0) =号×品=贵 20.作图题：如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格 ①在BC上找一点P,使点P到AB和AC的距离相等： ②在射线AP上找一点Q,使QB=QC. 【解析】解：（①）如图，点P为所求： (2)如图，点Q为所求 21.如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB,BE⊥AC.求证：MN⊥EF 【解析】证明：如图，连接MF、ME, ,'MF、ME分别为Rt△PBC是和Rt△EBC斜边上的中线， ÷MF=ME=2BC, 初二数学 第5页 共10页 在△MEF中，MF=ME,点N是EF的中点， .N⊥EF. 22.如图，过△ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M作△ABC另外两边AB、BC所在的直线的垂线，垂足分 别为D、E,AD=CE,作射线BM.求证：BM平分∠ABC. B 【解析】证明：连接MA和MC MN是AC的垂直平分线， ∴AM=CM, ,MD⊥BD,ME⊥BC, ∴.∠MDA=∠MEC=90°， 在△AMD和△CME中， [AM=CM AD=CE .△AMD≈△CME(HL), .MD=ME, ,MD⊥BD,ME⊥BC, ,BM平分∠ABC. 23.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E,延长ED和CA,交于点F (1)求证：△ADF是等腰三角形： (2)若∠F=30°，BD=4,E℃=6，求AC的长 C 【解析】(1)证明：：AB=AC, .∠B=∠C :FE⊥BC, .∠F+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°， .∠F=∠BDE, :∠BDE=∠FDA ∴∠F=∠FDA, :.AF=AD, ,.△ADF是等腰三角形： (2)解：，DE⊥BC, ∴.∠DEB=90°， ∠F=30°， ∴.∠BDE=30° 初二数学 第6页 共10页 :BD=4, ∴BE=2BD=2, .AB=AC, :,△ABC是等边三角形， :AC=AB=BE+EC=8. 24.利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2的特点可以解决很多数学问题.下面给出 两个例子： 例1.分解因式： x2+2x-3 =x2+2x+1-4 =(x+1)2-4 =(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1). 例2：若M=a2-2ab+2b-2b+2,求M的最小值. a2-2ab+2b-2b+2 =a2-2ab+b2+b2-2b+1+1 =(a-b)2+(b-1)2+1 :(a-b)2≥0，(b-1)2≥0， .当a=b=1时，M的最小值是1. 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：a2+12a+35: (2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2-8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值： (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a+b=8a+6b-25,求△ABC周长的最大值. 【解析】解：(1)原式=a2+12a+36-36+35 =(a+6)2-12 =(a+6+1)(a+6-1) =(a+7）(a+5): (2)原式=2x2-8x+8-8+y2+6y+9-9+20 =2(x-2)2+(y+3)2+3, 当x=2,y=-3时，多项式有最小值为3： 3)a2+b2=8a+6b-25,变形为a2-8a+16+b2-6b+9=0, (a-4)2+(b-3)2=0, .a=4,b=3, ∴.c<a+b=4+3=7, .c=6, .△ABC周长的最大值=a+b+c=4+3+6=13 25.【了解概念】 如图1，已知A,B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP,BP,若∠APM=∠BPN,则称 点P为点A,B关于直线l的“等角点” 【理解运用】 (1)如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D,E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F,判断点B是否 为点D,F关于直线AB的“等角点”，并说明理由： 【拓展提升】 (2)如图2，在(1)的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D,Q关于直线AC的“等角点”为点C,请利用无 刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置： 初二数学第7页共10页 (3)如图3，在△ABC中，∠ABC,∠BAC的平分线交于点O,点O到AC的距离为2，直线I垂直平分边BC, 点P为点O,B关于直线L“等角点”，连接OP,BP,当∠ACB=60°时，OP+BP的值为 图1 图2 图3 【解析】解：(1)点B是点D,F关于直线AB的“等角点”， 理由：点D,E关于直线AB对称， .AB垂直平分DE, :BD=BE, ·.∠DBA=∠EBA ,∠FBM=∠EBA, :.∠DBA=∠FBM, :.点B是点D,F关于直线AB的“等角点” (②)如图2，作法：1.以点C为圆心，以CD长为半径作弧，交射线AC于点G、H:连接GD,以点H 为圆心，以GD长为半径作弧，交前弧于点I:作射线CI交EF于点Q,点Q就是所求的点. 理由：由作法得CG=CH=CD=CI,GD=HI CG=CH 在△CDG和△CIH中，{CD=CI, GD=HI ∴.△CDG=△CIH(SSS), .∠DCA=∠QCN, 点D,Q关于直线AC的“等角点”为点C, 图2 :点Q就是所求的点 (3)如图3，作OJ⊥AB于点J,OK⊥BC于点K,OL⊥AC于点L,则∠OLC=90, ,点O到AC的距离为2， ∴OL=2, ,∠ABC,∠BAC的平分线交于点O, :.OK=QJ,OL=OJ, .OK=OL, ∴.点O在∠ACB的平分线上， 连接PC,设直线I交AC于点R,交BC于点T, .直线1垂直平分边BC, :CP=BP, .∠CPT=∠BPT, 点P为点O,B关于直线l“等角点”， .∠OPR=∠BPT, 图3 .∠CPT=∠OPR, .∠CPT+∠OPT=∠OPR+∠OPT=180° ·O、P、C三点在同一条直线上， .OP+BP=OP+CP=OC,CO平分∠ACB, 初二数学 第8页 共10页 .OP+BP的最小值为线段OC的长， :∠ACB=60°， Z0CL=∠0CB=号∠ACB=30, ∴.0C=20L=4, :OP+BP的最小值为4， 故答案为：4. 26.小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰△ABC中，AB=AC.点D是 AC上一动点，点E、P分别在BD延长线上，且AB=AE,CP=EP. (1)问题思考在图①中，求证：∠BPC=∠BAC: (2)问题再探若∠BAC=60°，如图②，探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 (注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段) (③)问题拓展，若∠BAC=9,且BD平分∠ABC,如图③，请直接写出品的值为 C B B 图① 图② 图③ 【解析】解：(1)在△APC与△APE中 AC-AE AP=AP PC=PE ∴.△APC≌△APE ∴.∠ACP=∠AEP .AB=AE :.∠ABE=∠AEB ∴.∠ABP=∠ACF ,∠BPC+∠PBC+∠PBC=∠BAC+∠ABC+∠ACB=18O ∴.∠BAC=∠BPC (2)BP=AP+EP 如图所示，在线段BP上取点F,使得∠PAF=G0° A ,△APE≌△APC .∠APE=∠APC D ,∠BPC=∠BAC=6O .∠APF+∠APE=2∠APF+60°=180 .∠APF=60°=∠PAF ,∠BAC=∠FAP=90 图② ∴.LBAF=∠CAP (BA-CA 在△BAF与△CAP中 ∠BAF=∠CAP ∠ABF=∠ACP 初二数学 第9页 共10页 ∴，△BAF≌△CAP ∴BF=CP BP=BF+PF,PC=PE,AP=PF ∴，BP=AP+EP; a号 A 如图③所示：AP⊥AH D .BH=AH=PC=PE D ∠HBA=∠HAB=22.5,∠HAD=∠HIDA=67.5 :HD=HA=BH=PE “需=号 初二数学第10页 共10页