专题2.4整式的加减（知识点总结+13大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版七年级数学上册

2.4整式的加减 【题型1】同类项的判断与识别 1.核心知识点总结 同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式；所有常数项都是同类项。 两个“无关”：与单项式的系数大小无关，与字母的排列顺序无关（如与是同类项）。 2.高频考点梳理 直接判断两组单项式是否为同类项（如判断与是否为同类项）。 根据同类项定义，写出某个单项式的一个同类项（如写出的一个同类项）。 3.易错点警示 忽略“常数项都是同类项”：如误认为与不是同类项，实际二者均为常数项，是同类项。 混淆“字母指数”与“系数”：如误认为与是同类项，实际、的指数不同，不是同类项。 4.解题技巧拆解 两步判断法：①先检查两组单项式的所含字母是否完全一致；②再验证相同字母的指数是否分别相等，二者均满足则为同类项。 【例题1】．（2024-2025•洮北区期末）下列各组单项式中，为同类项的是（　　） A．a3与a2 B．﹣3与a C．2xy与2x D．与2a2 【答案】D 【分析】根据同类项的定义：含有相同的字母，且相同字母的次数相同，即可作出判断． 【解答】解：A、相同字母的次数不同，故不是同类项，选项错误； B、所含字母不同，则不是同类项，选项错误； C、所含字母不同，则不是同类项，选项错误； D、正确； 故选：D． 【点评】本题考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 【变式题1-1】．（2024-2025•东区期末）下列各组是同类项的是（　　） A．a3与a2 B．与2a2 C．2xy与2y D．3与a 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项进行分析即可． 【解答】解：A、a3与a2不是同类项，故此选项错误； B、a2与2a2是同类项，故此选项正确； C、2xy与2y不是同类项，故此选项错误； D、3与a不是同类项，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了同类项，关键是掌握同类项定义：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可． 【变式题1-2】．（2024-2025•睢阳区模拟）请写出abc的一个同类项：　4abc（答案不唯一）　 ． 【答案】4abc（答案不唯一）． 【分析】根据同类项的定义解答即可． 【解答】解：答案不唯一，如4abc． 故答案为：4abc（答案不唯一）． 【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•娄底校级期末）写出代数式3xy2的一个同类项：　12xy2（答案不唯一）　 ． 【答案】12xy2（答案不唯一）． 【分析】根据同类项的定义解答即可． 【解答】解：答案不唯一，如12xy2． 故答案为：12xy2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 【题型2】已知同类项求字母参数 1.核心知识点总结 同类项的本质特征：若与是同类项，则且(、为非零系数)。 应用逻辑：根据同类项的“指数相等”列方程，求解字母参数。 2.高频考点梳理 单字母参数：如已知与是同类项，求、的值。 多字母参数：如已知与是同类项，求的值。 3.易错点警示 漏求多字母参数：如只求的指数对应的字母，忽略的指数对应的字母。 符号错误：如已知与是同类项，解方程时符号出错。 4.解题技巧拆解 对应列方程：将同类项中相同字母的指数分别划等号，列出方程(组)； 求解验证：解出字母后，代入原单项式验证是否为同类项，避免计算错误。 【例题2】．（2024-2025•昂昂溪区期末）若单项式﹣axb2与a4by是同类项，则2x﹣3y的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【分析】根据同类项的定义直接得出x、y的值． 【解答】解：由同类项的定义可知x＝4，y＝2， ∴2x﹣3y＝2×4﹣3×2＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题2-1】．（2024-2025•内黄县期末）若3x2ym与7xny5是同类项，则n﹣m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【答案】B． 【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值． 【解答】解：由同类项的定义可知n＝2，m＝5， ∴n﹣m＝2﹣5＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题2-2】．（2024-2025•韶关模拟）如果与﹣2x3yb是同类项，则ab＝ 　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据同类项的概念即可求出答案． 【解答】解：∵与﹣2x3yb是同类项， ∴a＝3，b＝2， ∴ab＝32＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了同类项的定义，要熟记同类项的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 【变式题2-3】．（2024-2025•松山区期末）若xmy与2x4yn是同类项，则m﹣n＝　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝4，n＝1， ∴m﹣n＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【题型3】合并同类项的规范运算 1.核心知识点总结 合并法则：同类项的系数相加，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变(如)。 运算步骤：一找(同类项)、二移(交换位置，带符号)、三合并(系数相加)。 2.高频考点梳理 直接合并：如合并。 含括号的合并：如合并(先去括号再合并)。 3.易错点警示 系数符号错误：如将算成，忽略系数的正负号。 漏项或错并非同类项：如将合并为，混淆不同字母的项。 4.解题技巧拆解 标记同类项：用波浪线、横线等标记不同组的同类项，避免漏项； 分步运算：先移动同类项(连同符号)，再计算系数和，最后保留字母与指数。 【例题3】．（2024-2025•岳阳楼区校级开学）下列各式运算中，正确的是（　　） A．3x+2y＝5xy B．2a2b﹣ba2＝a2b C．16y2﹣9y＝7y D．3a2+2a2＝5a 【答案】B． 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、3x+2y≠5xy，故A错误； B、2a2b﹣ba2＝a2b，故B正确； C、16y2﹣9y≠7y，故C错误； D、3a2+2a2＝5a2≠5a，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 【变式题3-1】．（2024-2025•沙坪坝区校级开学）合并同类项： （1）2x﹣2y﹣x+3y； （2）． 【答案】（1）x+y；（2）x2yxy． 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝x+y； （2）原式x2yxy+xy﹣2x2y x2yxy． 【点评】本题主要考查合并同类项，熟记该知识点是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•江阳区校级月考）合并下列同类项： （1）4a2﹣3b2+2ab﹣4a2﹣3b2+5ba； （2）5xy+3y2﹣3x2﹣xy+4xy+2x2﹣x2+3y2． 【答案】（1）﹣6b2+7ab； （2）8xy+6y2﹣2x2． 【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可． 【解答】解：（1）4a2﹣3b2+2ab﹣4a2﹣3b2+5ba ＝（4a2﹣4a2）+（﹣3b2﹣3b2）+（2ab+5ba） ＝﹣6b2+7ab； （2）5xy+3y2﹣3x2﹣xy+4xy+2x2﹣x2+3y2 ＝（5﹣1+4）xy+（3+3）y2+（﹣3+2﹣1）x2 ＝8xy+6y2﹣2x2． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•河口区校级期中）合并同类项： （1）； （2）4a2+3b2+2ab﹣4a2﹣4b2； （3）3m2n﹣mn2﹣2m2n+2n2m； （4）． 【答案】（1）； （2）2ab﹣b2； （3）m2n+mn2； （4）． 【分析】（1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可； （3）根据合并同类项法则计算即可； （4）根据合并同类项法则计算即可； 【解答】解：（1）； （2）原式＝2ab﹣b2； （3）原式＝m2n+mn2； （4）． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题关键． 【题型4】根据两个同类项整式求参数值 1.核心知识点总结 同类项判定：需满足所含字母相同且相同字母指数相等（常数项均为同类项），与系数、字母顺序无关； 参数求解：单项式与是同类项，则列方程、求参数。 2.高频考点梳理 单字母参数：如与是同类项，求； 代数式求值：如与是同类项，求； 含次数关联：如与是同类项，求。 3.易错点警示 漏验单个字母指数(如仅求忽略)； 解方程符号错(如错得，正确)； 混淆“次数”与“指数”(误将“次数相同”当同类项)。 4.解题技巧拆解 定字母：明确共同字母，排除无关项； 列方程：相同字母指数划等号(如、)； 求参数：解方程得值，代入代数式计算(如，则）。 【例题4】．（2024-2025•凉州区校级期末）若2a2mb4和a6bn是同类项，则m、n的值是（　　） A．m＝3，n＝4 B．m＝3，n＝﹣6 C．，n＝6 D．m＝6，n＝4 【答案】A． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知2m＝6，n＝4， 解得m＝3，n＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题4-1】．（2024-2025•内江期末）如果单项式xa+1y2z与﹣5x2yb+4z是同类项，那么（a+b）2024的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】C． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知a+1＝2，b+4＝2， 解得a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）2024＝[1+（﹣2）]2024＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题4-2】．（2024-2025•河口区期末）已知2a2mb3n与3a4b3是同类项，则（n﹣m）2025＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知2m＝4，3n＝3， 解得m＝2，n＝1， ∴（n﹣m）2025＝（1﹣2）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题4-3】．（2024-2025•府谷县期末）已知单项式﹣2a2b与amb是同类项，多项式3x2yn﹣xy2xy是六次三项式，求m﹣n的值． 【答案】﹣2． 【分析】根据题意可得m＝2，2+n＝6，进而得出答案． 【解答】解：由已知可得， m＝2，2+n＝6， 则n＝4， 所以m﹣n＝2﹣4＝﹣2． 【点评】本题主要考查同类项、多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型5】去括号法则的精准应用 1.核心知识点总结 基本法则：括号前是“”号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是“”号，去括号后括号内各项符号全变。 多层括号：从内到外或从外到内逐步去括号，每步只处理一层括号。 2.高频考点梳理 单层括号：如去括号。 多层括号：如去括号。 含系数的括号：如去括号(先用分配律乘系数，再定符号)。 3.易错点警示 漏乘系数：如将去括号为，忽略系数乘得。 多层括号符号错乱：如去括号时，错算为(第二层括号前是“”，应变号为)。 4.解题技巧拆解 符号优先：先判断括号前的符号(“”或“”)，确定括号内各项是否变号； 分配律护航：若括号前有系数，先将系数乘括号内每一项，再处理符号(如)。 【例题5】．（2024-2025•梨树县校级月考）不改变代数式a2+2a﹣b+c的值，下列添括号错误的是（　　） A．a2+（2a﹣b+c） B．a2﹣（﹣2a+b﹣c） C．a2﹣（2a+b+c） D．a2+2a+（c﹣b） 【答案】C 【分析】根据添括号法则分析判断即可． 【解答】解：A、a2+2a﹣b+c＝a2+（2a﹣b+c），故此选项不符合题意； B、a2+2a﹣b+c＝a2﹣（﹣2a+b﹣c），故此选项不符合题意； C、a2+2a﹣b+c＝a2﹣（﹣2a+b﹣c），故此选项符合题意； D、a2+2a﹣b+c＝a2+2a+（c﹣b），故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了添加括号法则，理解并掌握添加括号法则是解题关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•白河县期末）下列去括号正确的是（　　） A．a﹣（x﹣b+y）＝a﹣x+b﹣y B．x+3（x﹣y）＝x+3x﹣y C．﹣[﹣（a﹣b）]＝﹣a+b D．a﹣2（﹣b﹣c）＝a+2b﹣2c 【答案】A． 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解：A、a﹣（x﹣b+y）＝a﹣x+b﹣y，正确； B、x+3（x﹣y）＝4x﹣3y≠x+3x﹣y，错误； C、﹣[﹣（a﹣b）]＝a﹣b≠﹣a+b，错误； D、a﹣2（﹣b﹣c）＝a+2b+2c≠a+2b﹣2c，错误． 故选：A． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【变式题5-2】．（2024-2025•雨城区校级期中）去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先去掉括号，再找出同类项进行合并即可； （2）先把4与括号中的每一项分别进行相乘，再去掉括号，然后合并同类项即可； 【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）＝3a+1.5b﹣7a+2b＝﹣4a+3.5b； （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）＝8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12＝﹣5x2+5y2+12； 【点评】此题考查了去括号和合并同类项，根据去括号法则若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号和合并同类项法则进行解答是解题的关键． 【变式题5-3】．（2023秋•长葛市期中）先去括号，再合并同类项 （1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b） （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； 【解答】解：（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）＝4b﹣6a+6a﹣9b＝﹣5b； （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）＝4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1＝﹣ab+1． 【点评】本题考查了去括号与添括号，合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号． 【题型6】添括号与整式变形 1.核心知识点总结 添括号法则：所添括号前是“”号，括到括号内的各项符号不变；所添括号前是“”号，括到括号内的各项符号全变。 本质：添括号是去括号的逆运算，变形后整式的值不变(恒等变形)。 2.高频考点梳理 按要求添括号：如将中后两项括起来，且括号前为“”，结果为。 添括号与整式运算结合：如将变形为(分组分解铺垫)。 3.易错点警示 括号前为“”时符号漏变：如将添括号为，正确应为。 漏括完整项：如将中含的项括起来，错写为，应连同符号括为。 4.解题技巧拆解 “定向标记”：先确定要括的项及括号前符号，用虚线标记需括的项； “验证逆推”：添括号后，通过去括号验证变形是否正确(如，逆推添括号)。 【例题6】．（2024-2025•衡山县期末）下列去括号正确的是（　　） A．﹣2（a+b﹣3c）＝﹣2a﹣2b+6c B．﹣（a+b﹣c）＝﹣a+b﹣c C．﹣（﹣a﹣b﹣c）＝﹣a+b+c D．﹣（a﹣b﹣c）＝﹣a+b﹣c 【答案】A 【分析】根据去括号法则对四个选项逐一进行分析，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则． 【解答】解：A、﹣2（a+b﹣3c）＝﹣2a﹣2b+6c，故本选项正确； B、﹣（a+b﹣c）＝﹣a﹣b+c，故本选项错误； C、﹣（﹣a﹣b﹣c）＝a+b+c，故本选项错误； D、﹣（﹣a﹣b﹣c）＝a+b+c，故本选项错误； 故选：A． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【变式题6-1】．（2024-2025•潍坊期末）添括号：﹣3x2+6x+2＝﹣3（ 　x2﹣2x　 ）+2． 【答案】x2﹣2x． 【分析】根据添括号法则解答即可． 【解答】解：﹣3x2+6x+2＝﹣3（x2﹣2x）+2， 故答案为：x2﹣2x． 【点评】本题考查了去括号与添括号，熟练掌握添括号法则是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•朝阳区校级期中）添括号：2x﹣y+3a﹣b＝（2x﹣b）﹣（ 　y﹣3a　 ）． 【答案】y﹣3a． 【分析】添括号时，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号．根据该法则即可解答． 【解答】解：原式＝（2x﹣b）﹣（y﹣3a）． 故答案为：y﹣3a． 【点评】本题考查了整式的加减，掌握整式的加减的运算法则是关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•南岸区期中）若多项式M、N满足： M+2N＝8xy﹣3x﹣4y﹣2，2M﹣N＝xy﹣6x+2y+11． 我们可以通过添加括号求出多项式M，过程如下： 5M＝（M+2N）+2（2M﹣N） ＝（8xy﹣3x﹣4y﹣2）+2（xy﹣6x+2y+11） ＝10xy﹣15x+20 则M＝2xy﹣3x+4 （1）请用类似的方法求出多项式N； （2）当x、y是互为倒数时，多项式M的值为0，求此时多项式N的值． 【答案】（1）3xy﹣2y﹣3；（2）﹣1． 【分析】（1）仿照例题，得5N＝2（M+2N）﹣（2M﹣N），进而求解即可； （2）根据多项式M的值为0，xy＝1，得出2﹣3x+4＝0，得x＝2，，代入N，求值即可． 【解答】解：（1）因为M+2N＝8xy﹣3x﹣4y﹣2，2M﹣N＝xy﹣6x+2y+11， 所以5N＝2（M+2N）﹣（2M﹣N） ＝2（8xy﹣3x﹣4y﹣2）﹣（xy﹣6x+2y+11） ＝16xy﹣6x﹣8y﹣4﹣xy+6x﹣2y﹣11 ＝15xy﹣10y﹣15； 则N＝3xy﹣2y﹣3． （2）因为xy＝1，M＝2xy﹣3x+4＝0， 即2﹣3x+4＝0，得x＝2，， N＝3xy﹣2y﹣3 ＝﹣1． 【点评】本题考查了整式的加减、倒数，解决本题的关键是掌握整式加减的计算法则． 【题型7】整式加减的分步运算(提升) 1.核心知识点总结 整式加减的本质：去括号与合并同类项的综合应用，步骤为：①列算式(和差用括号表示)；②去括号；③合并同类项。 多项式相减：被减式-减式，减式需加括号(如，若，则写为)。 2.高频考点梳理 多项式的和：如求与的和。 多项式的差：如求。 多个整式的混合运算：如计算。 3.易错点警示 减式漏加括号：如计算时，错将“减”写成“减”，符号全错。 去括号后漏项：如去括号时，漏写常数项。 4.解题技巧拆解 “分步拆解”：先将每个整式用括号括起，明确和差关系(如“减加”写为)； “符号追踪”：去括号时，每一项的符号单独标记，合并时逐组处理同类项，避免符号混乱。 【例题7】．（2024-2025•松山区期末）小虎同学做一道题，已知两个多项式A，B，其中B＝3x2﹣3y﹣1，在计算A﹣B时，他误将“A﹣B”看成了“A+B”，求得的结果是5x2﹣y． （1）求多项式A； （2）若|x﹣1|与（y+1）2互为相反数，求A﹣B的值． 【答案】（1）2x2+2y+1； （2）﹣4． 【分析】（1）根据A+B求得的结果是5x2﹣y列式求出A即可； （2）结合（1）求出A﹣B，再根据非负性及互为相反数求出x，y的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵A+（3x2﹣3y﹣1）＝5x2﹣y， ∴A＝5x2﹣y﹣（3x2﹣3y﹣1）＝5x2﹣y﹣3x2+3y+1＝2x2+2y+1， ∴多项式A是2x2+2y+1． （2）∵|x﹣1|与（y+1）2互为相反数， ∴|x﹣1|+（y+1）2＝0， ∴x﹣1＝0，y+1＝0， 解得x＝1，y＝﹣1， ∵A＝2x2+2y+1，B＝3x2﹣3y﹣1 ∴A﹣B＝2x2+2y+1﹣（3x2﹣3y﹣1）＝﹣x2+5y+2． 把x＝1，y＝﹣1代入得： A﹣B＝﹣x2+5y+2＝﹣12+5×（﹣1）+2＝﹣1﹣5+2＝﹣4， ∴A﹣B的值是﹣4． 【点评】本题考查整式的加减以及求值，绝对值非负性质，解题的关键是根据题意求出多项式A． 【变式题7-1】．（2024-2025•射洪市校级期末）已知A＝﹣（x2+2y）﹣xy，B＝﹣x2﹣xy． （1）化简A﹣3B； （2）若，求A﹣3B的值． 【答案】（1）2x2﹣2y+2xy； （2）﹣3． 【分析】（1）将A和B代入A﹣3B根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到x＝﹣1，，然后代入2x2﹣2y+2xy求解即可． 【解答】解：（1）∵A＝﹣（x2+2y）﹣xy，B＝﹣x2﹣xy ∴A﹣3B ＝﹣（x2+2y）﹣xy﹣3（﹣x2﹣xy） ＝2x2﹣2y+2xy； （2）∵， ∴x＝﹣1，， ∴原式 ＝﹣3． 【点评】本题主要考查了整式加减运算，非负数的性质，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【变式题7-2】．（2024-2025•镇平县期末）计算： （1）； （2）﹣2（xy3﹣y2）+（3x3y﹣xy3）﹣2y2． 【答案】（1）2； （2）﹣3xy3+3x3y． 【分析】（1）先算乘方和除法，再算括号，然后算乘法，最后算加减； （2）先去括号，再合并同类项． 【解答】解：（1） ＝4﹣（﹣1）×（﹣3） ＝4﹣2 ＝2； （2） ＝﹣2xy3+2y2+3x3y﹣xy3﹣2y2 ＝﹣3xy3+3x3y． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•汉南区校级开学）计算： （1）﹣7﹣（﹣8）+（﹣11）﹣12； （2）； （3）（4x2y﹣5xy2）﹣（3x2y﹣4xy2）； （4）． 【答案】（1）﹣22； （2）﹣7； （3）x2y﹣xy2； （4）﹣4x+y2． 【分析】（1）先去括号，再计算加减即可； （2）先计算乘方，括号里的乘法，再计算乘除，最后计算加法即可； （3）先去括号，再计算加减即可； （4）先去括号，再计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣7+8﹣11﹣12 ＝﹣22； （2）原式＝4÷（﹣1）+3×（﹣1） ＝﹣4+（﹣3） ＝﹣7； （3）原式＝4x2y﹣5xy2﹣3x2y+4xy2 ＝x2y﹣xy2 （4）原式 ＝﹣4x+y2 【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算．熟练掌握以上知识点是关键． 【题型8】整式化简求值的整体代入(提升) 1.核心知识点总结 整体思想：当无法直接求出单个字母的值时，将含字母的代数式视为一个整体，代入目标整式求值(如已知，求，可将化为)。 常见变形：倍数关系(如)、符号变形(如)。 2.高频考点梳理 已知单个代数式的值：如已知，求的值。 已知多个代数式的值：如已知，，求的值。 3.易错点警示 不会凑整体：如已知，求时，无法识别。 整体代入时符号错误：如已知，求时，错将算成，实际。 4.解题技巧拆解 “观察变形”：对比目标整式与已知代数式的结构，找出倍数或符号关系(如目标式含，已知和，则变形为)； “分步代入”：先将目标式化为含已知整体的形式，再代入求值(如，再代入)。 【例题8】．（2024-2025•西平县期末）若x﹣3y+2＝0，则5﹣2x与6y﹣1的和的值为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】根据题意，可得x﹣3y＝﹣2，把x﹣3y作为一个整体，代入所求的式子，即可得到结果． 【解答】解：∵x﹣3y+2＝0， ∴x﹣3y＝﹣2， ∴（5﹣2x）+（6y﹣1） ＝5﹣2x+6y﹣1 ＝4﹣2（x﹣3y） ＝4﹣2×（﹣2） ＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•商南县期末）已知a+b＝200，ab＝24，则（3a﹣2b）﹣（﹣5b+2ab）的值为 　552　 ． 【答案】552． 【分析】去括号，合并同类项后，利用整体代入法，求值即可． 【解答】解：原式＝3a﹣2b+5b﹣2ab ＝3a+3b﹣2ab ＝3（a+b）﹣2ab， 又∵a+b＝200，ab＝24， ∴3（a+b）﹣2ab ＝3×200﹣2×24 ＝552． 故答案为：552． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减﹣化简求值的方法是关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•包头期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为 　﹣8　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式去括号合并后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵m+n＝﹣2，mn＝﹣4， ∴原式＝2mn﹣6m﹣6n+3mn＝5mn﹣6（m+n）＝﹣20+12＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•内黄县期末）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）； （2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）． （1）【问题解决】对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程： （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝ 　1　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式的值． 【答案】（1）11（x+y）2﹣（x+y）； （2）①1；②24； （3）． 【分析】（1）先分别将（x+y）2和（x+y）看成一个整体化简即可； （2）①将m2+2m＝5整体代入计算； ②将（m+n）看成一个整体后化简，并将m+n＝7代入计算； （3）将原式写成形式，将m2+3mn＝2，mn+3n2＝1整体代入计算即可． 【解答】解：（1）原式＝3（x+y）2+8（x+y）2﹣7（x+y）+6（x+y） ＝11（x+y）2﹣（x+y）； （2）①∵m2+2m＝5， ∴原式＝2（m2+2m）﹣9 ＝2×5﹣9 ＝1， 故答案为：1； ②∵m+n＝7， ∴9（m+n）﹣6m﹣6n+3 ＝9（m+n）﹣6（m+n）+3 ＝3（m+n）+3 ＝3×7+3 ＝24； （3） ， ∵m2+3mn＝2，mn+3n2＝1， ∴原式． 【点评】本题考查化简求值，灵活运用各种化简的方法是本题的关键． 【题型9】整式加减中的“无关项”问题(提升) 1.核心知识点总结 “无关项”定义：整式化简后，若结果中不含某字母的某次项(如不含项、不含项)，则称该次项为“无关项”。 本质：无关项的系数为0(如不含项，则化简后项的系数等于0)。 2.高频考点梳理 不含某一次项：如多项式不含项，求、的值。 不含某二次项：如多项式与的和不含项，求的值。 3.易错点警示 合并同类项不彻底：如将合并为时，漏算项系数，导致无法正确列方程。 忽略多字母无关项：如同时不含项和项时，漏令其中一个系数为0。 4.解题技巧拆解 “化简定系数”：先将整式彻底去括号、合并同类项，写出每一项的系数； “系数为0列方程”：令无关项的系数等于0，解方程求参数(如不含项，则项系数)。 【例题9】．（2024-2025•市中区期末）已知A＝x2﹣xy+2x﹣2，B＝x2﹣xy﹣y，若A﹣2B的值与y的取值无关，则x的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【分析】根据结果与y的取值无关，则含y的项的系数之和为0，从而列出方程求解． 【解答】解：根据题意可知，A﹣2B ＝（x2﹣xy+2x﹣2）﹣2（x2﹣xy﹣y）， ＝x2﹣xy+2x﹣2﹣2x2+2xy+2y ＝﹣x2+2x+（x+2）y﹣2， ∵A﹣2B的值与y的取值无关， ∴x+2＝0， ∴x＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减﹣化简求值的方法是关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•茶陵县期末）如果关于字母x的二次多项式﹣3x2﹣mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，则m﹣n的值为 　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】首先利用关于字母x的二次多项式﹣3x2﹣mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，得出同类项的系数和为0，进而得出答案． 【解答】解：∵关于字母x的二次多项式﹣3x2﹣mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关， ∴﹣3+n＝0，﹣m﹣1＝0， 解得：n＝3，m＝﹣1， 则m﹣n＝﹣1﹣3＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】此题主要考查了合并同类项、代数式求值以及多项式，正确得出m，n的值是解题关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•安康期末）已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5． （1）化简3B﹣A； （2）若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【答案】（1）（3﹣2m）x2﹣（3n+7）x+18； （2），． 【分析】（1）把B和A的式子代入3B﹣A，然后根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）由3B﹣A的结果与x的取值无关得出3﹣2m＝0，﹣（3n+7）＝0，然后解方程即可． 【解答】解：（1）3B﹣A ＝3（x2﹣nx+5）﹣（2mx2+7x﹣3） ＝3x2﹣3nx+15﹣2mx2﹣7x+3 ＝（3﹣2m）x2﹣（3n+7）x+18； （2）由（1）得：3B﹣A的结果为（3﹣2m）x2﹣（3n+7）x+18， ∵3B﹣A的结果与x的取值无关， ∴3﹣2m＝0，﹣（3n+7）＝0， ∴，． 【点评】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解方程步骤是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•五华县期末）已知：A＝﹣2（mn﹣m2+2m）﹣[2m2﹣（4m+n2）+2mn]． （1）化简A； （2）若关于x的多项式x2+mx+nx2﹣3x+1的值与x无关． ①求m、n的值； ②求A的值． 【答案】（1）n2﹣4mn； （2）①m＝3，n＝﹣1；②13． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可得到结果； （2）①根据题意，得到n+1＝0，m﹣3＝0，从而得到m＝3，n＝﹣1； ②把m，n的值代入到A中，即可得到结果． 【解答】解：（1）A＝﹣2（mn﹣m2+2m）﹣[2m2﹣（4m+n2）+2mn] ＝﹣2mn+2m2﹣4m﹣（2m2﹣4m﹣n2+2mn） ＝﹣2mn+2m2﹣4m﹣2m2+4m+n2﹣2mn ＝n2﹣4mn； （2）①x2+mx+nx2﹣3x+1＝（n+1）x2+（m﹣3）x+1， ∵关于x的多项式x2+mx+nx2﹣3x+1的值与x无关， ∴n+1＝0，m﹣3＝0， ∴m＝3，n＝﹣1； ②A＝n2﹣4mn＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13． 【点评】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【题型10】整式与数轴、绝对值的综合化简(培优) 1.核心知识点总结 数轴与符号：根据数轴上字母的位置(如，)，判断含字母的式子的正负(如，)。 绝对值化简：，结合整式加减化简含绝对值的式子。 2.高频考点梳理 已知数轴位置化简：如、在数轴上的位置为，化简。 含整式的绝对值化简：如化简(先判断绝对值内整式的正负)。 3.易错点警示 数轴位置判断错误：如误将判断为，导致绝对值化简错误。 绝对值去符号后漏加括号：如()化简为，若后续合并时写成，符号出错。 4.解题技巧拆解 “三步法”：①定位置(根据数轴确定字母大小关系)；②判正负(判断绝对值内式子的正负)；③去绝对值(按法则去符号，加括号)；④合并整式。 “特殊值验证”：化简后代入符合数轴位置的特殊值(如，)，验证结果是否正确。 【例题10】．（2025秋•江岸区校级月考）（1）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a+b|﹣|c﹣b|； （2）已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x+y|的值． 【答案】（1）2b﹣c； （2）2． 【分析】（1）先观察数轴得﹣1＜a＜0＜1＜b＜c，再化简原式＝﹣a+a+b﹣（c﹣b），然后去括号合并同类项，即可作答． （2）先根据绝对值的非负性得x＝3，y＝﹣5，然后代入|x+y|进行计算，即可作答． 【解答】解：（1）∵﹣1＜a＜0＜1＜b＜c， ∴a+b＞0，c﹣b＞0， 原式＝﹣a+a+b﹣（c﹣b） ＝﹣a+a+b﹣c+b ＝2b﹣c； （2）|x﹣3|+|y+5|＝0， ∴x﹣3＝0且y+5＝0， ∴x＝3，y＝﹣5， ∴|x+y|＝|3﹣5|＝2． 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数，化简绝对值，整式的加减运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•无棣县期末）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图：若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似的我们可以把（a+b）看成一个整体．则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．请尝试解决： 若a2+2ab＝﹣3，b2﹣ab＝6，求的值． 【答案】（1）x2﹣4xy﹣1；19； （2）﹣1． 【分析】（1）先根据题意求出x，y，再化简整式并代入求值即可； （2）把2a2+3ab+b2﹣2变形为2（a2+2ab）+b2﹣ab﹣2，把﹣a2﹣ab﹣b2+5变形为﹣（a2+2ab）﹣（b2﹣ab）+5，再整体代入求值即可． 【解答】解：（1）∵x是和3之间的最大整数， ∴x＝2， ∵y是和3之间的最小整数， ∴y＝﹣2， ∵x2﹣5xy﹣3x（2﹣2xy﹣6x2）＝x2﹣5xy﹣3x2﹣1+xy+3x2＝x2﹣4xy﹣1， ∴当x＝2，y＝﹣2时，原式＝22﹣4×（﹣2）×2﹣1＝19； （2）∵a2+2ab＝﹣3，b2﹣ab＝6， ∴1． 【点评】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是整体思想的应用． 【变式题10-2】．（2024-2025•东港区校级期末）已知含字母m，n的代数式是：3[m2+2（n2+mn﹣3）]﹣3（m2+2n2）﹣4（mn﹣m﹣1）． （1）化简这个代数式． （2）小明取m，n互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于0．那么小明所取的字母n的值等于多少？ （3）聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母n取一个固定的数，无论字母m取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母n的值是多少呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果； （2）由m，n互为倒数得到mn＝1，代入（1）结果中计算求出b的值即可； （3）根据（1）的结果确定出n的值即可． 【解答】解：（1）原式＝3[m2+2n2+2mn﹣6]﹣3m2﹣6n2﹣3m2﹣6n2﹣4mn+4m+4 ＝3m2+6n2+6mn﹣18﹣3m2﹣6n2﹣3m2﹣6n2﹣4mn+4m+4 ＝2mn+4m﹣14； （2）∵mn＝1， ∴原式＝2+4m﹣14＝0， 解得m＝3， ∴n； （3）原式＝2m（n+2）﹣14， 则n+2＝0， 解得n＝﹣2． 故小智所取的字母n的值是﹣2． 【点评】考查了整式的加减，倒数，整式的加减步骤及注意问题： 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 【变式题10-3】．（2024-2025•澧县期末）【知识呈现】我们可把5（x﹣2y）﹣3（x﹣2y）+8（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）中的“x﹣2y”看成一个字母a，使这个代数式简化为5a﹣3a+8a﹣4a，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 　6x﹣12y　 ；（用含x、y的式子表示） （2）若代数式x2+x+1的值为3，求代数式2x2+2x﹣5的值为 　﹣1　 ； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知a﹣2b＝7，2b﹣c的值为最大的负整数，求3a+4b﹣2（3b+c）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）令“x﹣2y”＝a，则原式化为5a﹣3a+8a﹣4a，然后合并同类项，最后将a＝x﹣2y代入即可； （2）将2x2+2x﹣5变形为2（x2+x）﹣5，然后整体代入求值即可； （3）由题意得出2b﹣c＝﹣1，结合a﹣2b＝7即可得出a﹣c＝6，将3a+4b﹣2（3b+c）变形为（a﹣2b）+2（a﹣c），然后代入求值即可． 【解答】解：（1）令“x﹣2y”＝a， 则5（x﹣2y）﹣3（x﹣2y）+8（x﹣2y）﹣4（x﹣2y） ＝5a﹣3a+8a﹣4a ＝（5﹣3+8﹣4）a ＝6a ＝6（x﹣2y） ＝6x﹣12y， 故答案为：6x﹣12y； （2）由题意得，x2+x+1＝3， ∴x2+x＝2， ∴2x2+2x﹣5 ＝2（x2+x）﹣5 ＝2×2﹣5 ＝﹣1， 故答案为：﹣1； （3）∵2b﹣c的值为最大的负整数， ∴2b﹣c＝﹣1①， ∵a﹣2b＝7②， ①+②，得a﹣c＝6， ∴3a+4b﹣2（3b+c） ＝3a+4b﹣6b﹣2c ＝3a﹣2b﹣2c ＝（a﹣2b）+（2a﹣2c） ＝（a﹣2b）+2（a﹣c） ＝7+2×6 ＝19． 【点评】本题考查了整体思想，合并同类项，负整数，理解题意，熟练掌握整体思想是解题的关键． 【题型11】整式加减的实际应用——图形面积与周长(培优) 1.核心知识点总结 图形公式：长方形面积，周长；正方形面积；圆面积(取3.14或题目给定值)。 整式表示：用含字母的整式表示图形的边长、面积、周长，再通过整式加减求差值或总量。 2.高频考点梳理 组合图形面积：如求长方形中挖去正方形后的剩余面积(用整式表示并化简)。 周长的动态变化：如个正方形拼接成大长方形，用整式表示周长并求值。 费用计算：如已知图形面积及单位面积造价，用整式表示总造价并求值。 3.易错点警示 边长关系搞错：如拼接图形中，漏算重叠边长或错算组合后的边长(如2个边长为的正方形拼接成长方形，长为，宽为，周长为，而非)。 公式记错：如将长方形周长算成，导致整式表示错误。 4.解题技巧拆解 “图形标注”：在图形上标出已知边长和未知边长(用含字母的式子表示)，明确各部分关系； “分步列式”：先列单个图形的面积/周长整式，再根据题意列加减算式，最后化简求值(如剩余面积=大图形面积-小图形面积)。 【例题11】．（2024-2025•陵城区期末）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为y﹣12； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+4； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y﹣12）cm，说法①正确； ②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+4﹣y）cm，说法②错误； ③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+4），结合x为定值可得出说法③正确； ④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy﹣20y+240）cm2，代入x＝20可得出说法④正确． 【解答】解：①∵大长方形的长为y cm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为y﹣3×4＝（y﹣12）cm，说法①正确； ②∵大长方形的宽为x cm，小长方形的长为（y﹣12）cm，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为x﹣2×4＝（x﹣8）cm，阴影B的较短边为x﹣（y﹣12）＝（x﹣y+12）cm， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣8+x﹣y+12＝（2x+4﹣y）cm，说法②错误； ③∵阴影A的较长边为（y﹣12）cm，较短边为（x﹣8）cm，阴影B的较长边为3×4＝12cm，较短边为（x﹣y+12）cm， ∴阴影A的周长为2（y﹣12+x﹣8）＝2（x+y﹣20）cm，阴影B的周长为2（12+x﹣y+12）＝2（x﹣y+24）cm， ∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y﹣20）+2（x﹣y+24）＝2（2x+4）， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ④∵阴影A的较长边为（y﹣12）cm，较短边为（x﹣8）cm，阴影B的较长边为3×4＝12cm，较短边为（x﹣y+12）cm， ∴阴影A的面积为（y﹣12）（x﹣8）＝（xy﹣12x﹣8y+96）cm2，阴影B的面积为12（x﹣y+12）＝（12x﹣12y+144）cm2， ∴阴影A和阴影B的面积之和为xy﹣12x﹣8y+96+12x﹣12y+144＝（xy﹣20y+240）cm2， 当x＝20时，xy﹣20y+240＝240cm2，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•即墨区期末）如图，两个正方形的面积分别为26，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a﹣b）等于（　　） A．4 B．9 C．17 D．25 【答案】C 【分析】先设空白部分的面积为x，然后根据题意可以得到a+x＝26，b+x＝9，将两个式子作差，整理即可得到a﹣b的值． 【解答】解：空白部分的面积为x， 由题意可得：a+x＝26，b+x＝9， ∴（a+x）﹣（b+x）＝26﹣9， ∴a+x﹣b﹣x＝17， ∴a﹣b＝17， 故选：C． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式题11-2】．（2024-2025•张掖期末）大、小两个长方形如图所示，大长方形的周长比小长方形的周长多（　　） A．2m+2n B．2m+2n+3 C．2m+2n+6 D．m+n+3 【答案】C 【分析】用大长方形的周长减去小长方形的周长即可求解． 【解答】解：根据题意可知，大长方形的周长比小长方形的周长多2（2m+2n+3）﹣2（m+n） ＝4m+4n+6﹣2m﹣2n ＝2m+2n+6． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减，掌握整式的加减的运算法则是关键． 【变式题11-3】．（2024-2025•碑林区校级开学）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为（a+2b），大长方形的宽为（2b+CD），AB＝a﹣CD，再由大长方形的长比宽多6厘米，可得AB＝a﹣CD＝6厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6﹣6）＝2（2a+4b﹣12）厘米，图（1）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6）＝2（2a+4b﹣6）厘米，即可求解． 【解答】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图可知：大长方形的长为（a+2b）厘米，宽为（2b+CD）厘米，AB＝a﹣CD， 由条件可知（a+2b）﹣（2b+CD）＝6，大长方形的宽为（a+2b﹣6）厘米， ∴AB＝a﹣CD＝6厘米， ∴阴影部分的周长为2（2a+4b﹣12）厘米， 图（1）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6）＝2（2a+4b﹣6）厘米， ∵2（2a+4b﹣6）﹣2（2a+4b﹣12）＝12厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 【点评】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到AB＝a﹣CD＝6厘米是解题的关键． 【题型12】整式加减中的“错看符号”问题(培优) 1.核心知识点总结 错解还原：根据“误看符号的运算结果”，逆向求出未知多项式(如误将看成，得结果，则)。 正确运算：求出未知多项式后，按原题要求进行正确的整式加减运算。 2.高频考点梳理 误加变误减：如已知的正确运算为求，误算为，且，求正确结果。 漏看括号：如误将看成，得结果，求正确结果。 3.易错点警示 逆向求多项式时符号错误：如由求时，错算为，正确应为。 正确运算时再次出错：如求出后，计算时漏加括号，符号混乱。 4.解题技巧拆解 “逆向推导”：根据错看的运算关系列等式，解出未知多项式(如“误看为，得”→→)； “双重验证”：求出未知多项式后，先代入错看的运算验证是否符合错解，再进行正确运算，确保结果正确。 【例题12】．（2024-2025•河口区期末）已知两个多项式A和B．其中A＝3a2b﹣2ab2小马虎在计算2A﹣B的值时不小心将2A﹣B错看成2A+B，得到的结果是4a2b﹣3ab2． （1）求多项式B： （2）请帮他求出2A﹣B的正确答案． 【答案】（1）B＝﹣2a2b+ab2； （2）2A﹣B＝8a2b﹣5ab2． 【分析】（1）依题意得2A+B＝2（3a2b﹣2ab2）+B＝4a2b﹣3ab2，进而可求解； （2）利用整式的加减运算法则是解题的关键． 【解答】解：（1）依题意得： 2A+B＝2（3a2b﹣2ab2）+B＝4a2b﹣3ab2， ∴B＝4a2b﹣3ab2﹣2（3a2b﹣2ab2） ＝4a2b﹣3ab2﹣6a2b+4ab2 ＝﹣2a2b+ab2． （2）2A﹣B ＝2（3a2b﹣2ab2）﹣（﹣2a2b+ab2） ＝6a2b﹣4ab2+2a2b﹣ab2 ＝8a2b﹣5ab2． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•招远市期末）有这样一道计算题：“计算3x2y+[4x2y﹣（7x2y2﹣y2）]﹣7（x2y+y2﹣x2y2）的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】见解析． 【分析】去括号，合并同类项后，根据结果进行说明即可． 【解答】解：原式＝3x2y+（4x2y﹣7x2y2+y2）﹣7x2y﹣7y2+7x2y2 ＝3x2y+4x2y﹣7x2y2+y2﹣7x2y﹣7y2+7x2y2 ＝﹣6y2； 因为化简结果中不含x项，所以小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；又因为化简结果中是“y2”，“1”、“﹣1”的平方是一样的，所以小颖同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的． 【点评】本题考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的运算法则是关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•桃城区校级期末）已知多项式A＝x3﹣axy+3x2y3+1，B＝2x3﹣xy+bx2y3．小希在计算时把题目条件A+B错看成了A﹣B，求得的结果为﹣x3+2xy+1，那么小希最终计算的A+B中不含的项为（　　） A．三次项 B．二次项 C．五次项 D．常数项 【答案】B 【分析】先根据x3﹣axy+3x2y3+1﹣（2x3﹣xy+bx2y3）＝﹣x3+2xy+1求出a、b的值，继而得出A+B＝x3+xy+3x2y3+1+（2x3﹣xy+3x2y3），去括号、合并同类项即可得出答案． 【解答】解：由题意知x3﹣axy+3x2y3+1﹣（2x3﹣xy+bx2y3）＝﹣x3+2xy+1， 而x3﹣axy+3x2y3+1﹣（2x3﹣xy+bx2y3） ＝x3﹣axy+3x2y3+1﹣2x3+xy﹣bx2y3 ＝﹣x3+（1﹣a）xy+（3﹣b）x2y3+1， ∴1﹣a＝2，3﹣b＝0， ∴a＝﹣1，b＝3， 则A+B ＝x3+xy+3x2y3+1+（2x3﹣xy+3x2y3） ＝x3+xy+3x2y3+1+2x3﹣xy+3x2y3 ＝3x3+6x2y3+1， ∴最终计算的A+B中不含的项为二次项， 故选：B． 【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 【变式题12-3】．（2024-2025•信宜市期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，n﹣m； 第2次操作后得到整式串m，n，n﹣m，﹣m； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（　　） A．m+n B．m C．2n﹣m D．2n 【答案】C 【分析】根据整式串的运算，得到整式串的和的规律，即可得到结果． 【解答】解：第1次操作后得到整式串m，n，n﹣m，和为2n， 第2次操作后得到整式串m，n，n﹣m，﹣m，和为2n﹣m， 第3次操作后得到整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，和为n﹣m， 第4次操作后得到整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，和为0， 第5次操作后得到整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，和为m， 第6次操作后得到整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，和为n+m， 第7次操作后得到整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m，和为2n， 第8次操作后得到整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m，﹣m，和为2n﹣m， …… 观察可以得到第7次操作后的整式串的和与第1次操作后的和相同， ∴每6次操作后，整式串的和重复一次， ∵2024÷6＝337……2， ∴2024次操作后得到的整式串各项之和与第2次操作后的整式串的和的结果一样，为2n﹣m， 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减运算，规律的探究，通过运算发现式子的规律是解题的关键． 【题型13】连续整式运算的规律探究(培优) 1.核心知识点总结 规律探究：观察一组整式的系数、符号、字母指数的变化规律，总结出第个整式的表达式。 整式加减应用：根据规律写出第个整式后，进行求和、求差运算或求值。 2.高频考点梳理 单项式规律：如一组单项式，，，，…，求第个单项式。 多项式规律：如一组多项式，，，…，求第个多项式的和。 3.易错点警示 符号规律漏总结：如单项式，，，…，错将符号规律写成“正、正、负”，实际为“”。 系数与序号关系错误：如系数为，，，…，错写成，实际为。 4.解题技巧拆解 “分维度分析”：将整式拆分为“符号”“系数”“字母部分”三个维度，分别找与序号的关系(如符号：或；系数：、等；字母：)； “验证规律”：将、代入总结的第个整式，验证是否与已知整式一致，再进行后续运算。 【例题13】．（2024-2025•广州期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题： 已知两个关于x的多项式A、B，其中B＝﹣2mx2﹣mx+x﹣3，求A﹣B． 小强同学把“A﹣B”错看成“A+B”，求出的结果为﹣6mx2+mx+2x﹣7． （1）填空：多项式B的次数为　2　 ，常数项为　﹣3　 ； （2）请帮小强同学求出A﹣B的正确答案； （3）若当x取任意数值时，A﹣2B的值都是一个常数，求m的值． 【答案】（1）2，﹣3； （2）﹣2mx2+3mx﹣1； （3）． 【分析】（1）根据题意，得到多项式B的次数为2，常数项为﹣3； （2）由A+B的结果，求出多项式A，再求出A﹣B的结果即可； （3）根据题意，先求出A﹣2B，再得到含x项的系数为0，求出m的值即可． 【解答】解：（1）B＝﹣2mx2﹣mx+x﹣3 ＝﹣2mx2+（1﹣m）x﹣3， ∴多项式B的次数为2，常数项为﹣3， 故答案为：2，﹣3； （2）由题意得：A+B＝﹣6mx2+mx+2x﹣7， ∴A＝﹣6mx2+mx+2x﹣7﹣（﹣2mx2﹣mx+x﹣3） ＝﹣6mx2+mx+2x﹣7+2mx2+mx﹣x+3 ＝（﹣6mx2+2mx2）+mx+mx+2x﹣x﹣7+3 ＝﹣4mx2+2mx+x﹣4， ∴A﹣B＝﹣4mx2+2mx+x﹣4﹣（﹣2mx2﹣mx+x﹣3） ＝﹣4mx2+2mx+x﹣4+2mx2+mx﹣x+3 ＝﹣2mx2+3mx﹣1； （3）A﹣2B＝﹣4mx2+2mx+x﹣4﹣2（﹣2mx2﹣mx+x﹣3） ＝﹣4mx2+2mx+x﹣4+4mx2+2mx﹣2x+6 ＝4mx﹣x+2 ＝（4m﹣1）x+2， ∵当x取任意数值时，A﹣2B的值都是一个常数， ∴4m﹣1＝0， ∴． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【变式题13-1】．（2024-2025•平遥县期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是 　2n﹣m　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先逐步操作前7次，找到规律，再计算即可． 【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m； 第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m； 第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n； 第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m； 和为：m+n+n﹣m﹣m﹣n﹣n+m＝0； 第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，m，﹣n，﹣n+m，m； 第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n； 第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m； 观察：该“回头差”游戏每6次组成一个循环， ∵2024÷6＝337••••••2， ∴第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m的和为2n﹣m； 故答案为：2n﹣m． 【点评】本题考查了整式的加减，掌握操作规律是解题关键． 【变式题13-2】．（2024-2025•自贡期末）如图，用图案来表示关于x和y的多项式，如图1表示的多项式为5x+4y，按照这样的规律，解决下面的问题： （1）图4表示的多项式为　17x+16y　 ，图n表示的多项式为　（4n+1）x+4ny　 （用含n的式子表示）； （2）设图6表示的多项式为A，图7表示的多项式为B，化简2B﹣3A． 【答案】（1）17x+16y，（4n+1）x+4ny； （2）﹣17x﹣16y． 【分析】（1）根据题意找到规律即可； （2）根据规律求出A＝25x+24y，B＝29x+28y，代入进行计算即可． 【解答】解：（1）如图1表示的多项式为5x+4y， 如图2表示的多项式为9x+8y， 如图3表示的多项式为13x+12y， 如图4表示的多项式为17x+16y， …… 图n表示的多项式为（4n+1）x+4ny； 故答案为：17x+16y，（4n+1）x+4ny； （2）由（1）可得， A＝25x+24y，B＝29x+28y， 所以2B﹣3A＝2（29x+28y）﹣3（25x+24y）＝﹣17x﹣16y． 【点评】本题主要考查整式的加减，找到题中的规律是解题的关键． 【变式题13-2】．（2024-2025•长沙校级开学）对于正整数n．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作S（n），例如2018，因为2+0+1+8＝11，1+1＝2，所以S（2018）＝2．大家注意，35×29＝1015（*）根据以上算法，S（35）＝8，S（29）＝2，S（S（35）×S（29））＝S（8×2）＝S（16）＝7，有趣的是S（1015）也等于7，这是偶然的巧合还是必然的规律？ （1）根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广． （2）请证明你的猜想． 【答案】（1）S（a1×a2×a3×……an）＝S（S（a1）×S（a2）×S（a3）×……×S（an））． （2）证明见解析． 【分析】（1）根据题干信息，可以总结两个数及其积，满足S（S（m）×S（n））＝S（mn），以此为结论进行一般猜想即可； （2）以两位数为例证明S（S（m）×S（n））＝S（mn）即可． 【解答】解：（1）猜想：若mn＝k，则S（S（m）×S（n））＝S（mn），其中m，n为自然数， 更一般猜想：S（a1×a2×a3×……an）＝S（S（a1）×S（a2）×S（a3）×……×S（an））； （2）证明任意一个自然数和它的各个数位上的数字和被9除所得的余数相同， 以两位数为例， 设两位数（a≥1且a、b为整数）， 当a+b＜9时， ∴， 当a+b≥9时， ∴， ∴与（a+b）÷9的余数相等， 设m＝9x+t，n＝9y+k（x、y为自然数，t、k为一位自然数），则S（m）＝t，S（n）＝k， ∴mn＝81xy+9xk+9yt+tk＝9（9xy+xk+yt）+tk， ∴S（mn）＝S（tk）， ∴S（S（m）×S（n））＝S（mn）， 同理可得：S（a1×a2×a3×……an）＝S（S（a1）×S（a2）×S（a3）×……×S（an））． 【点评】本题主要考查了定义新运算，根据各数字在不同数位表示的意义，得出新运算的实际意义是解题的关键． 同步练习 题答案快对 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C． D C D B A 一．选择题（共6小题） 1．下列计算正确的是（　　） A．5a+2b＝7ab B．5a3﹣3a2＝2a C．4a2b﹣3ba2＝a2b D．﹣y2﹣4y2＝﹣5y4 【答案】C． 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、5a+2b≠7ab，故A错误； B、5a3﹣3a2≠2a，故B错误； C、4a2b﹣3ba2＝a2b，故C正确； D、﹣y2﹣4y2＝﹣5y2≠﹣5y4，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 2．下列判断中不正确的是（　　） A．3a2bc与bca2是同类项 B．是整式 C．单项式﹣x3y2的系数是﹣1 D．3x2﹣y+5xy2的次数是2次 【答案】D 【分析】选项A根据同类项的定义判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项； 选项B根据整式的定义判断即可，单项式和多项式统称整式； 选项C根据单项式的定义判断即可，单项式中的数字因数叫做单项式的系数； 选项D根据多项式的定义判断即可，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 【解答】解：（A）3a2bc与bca2，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题意， （B）是单项式，属于整式，故本选项不合题意； （C）单项式﹣x3y2的系数是﹣1，故本选项不合题意； （D）3x2﹣y+5xy2的次数是3次，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查同类项，整式，单项式和多项式的定义，熟记相关定义是解答本题的关键． 3．用代数式表示“x与y的和的2倍”（　　） A．2x+y B．x+2y C．2（x+y） D．（x+y）2 【答案】C 【分析】注意代数式书写规范．x与y的和表示为（x+y），最后乘以2． 【解答】解：依题意可得：x与y的和为（x+y）， 则“x与y的和的2倍”可以表示为2（x+y）， 故选：C． 【点评】本题主要考查列代数式，正确进行计算是解题关键． 4．下列说法中正确的是（　　） A．πx3的系数是 B．y﹣x2y+5xy2的次数是7 C．4不是单项式 D．﹣2xy与4yx是同类项 【答案】D 【分析】根据单项式的定义，同类项的定义，多项式的次数，可得答案． 【解答】解：A、πx3的系数是π，故A不符合题意； B、y﹣x2y+5xy2的次数是3，故B不符合题意； C、4是单项式，故C不符合题意； D、﹣2xy与4yx是同类项，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了同类项、单项式、多项式，熟记单项式的定义，同类项的定义，多项式的次数是解题关键． 5．如图，从边长为a+5的大正方形纸片中剪去一个边长为a+1的小正方形，将剩余部分沿虚线剪开后拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，那么该长方形的长为（　　） A．2a+10 B．2a+6 C．8a+24 D．8a+8 【答案】B 【分析】根据图形可以发现后来剪拼成的长方形的长为原来大正方形的边长与剪下的小正方形的边长之和．后来剪拼成的长方形的长为（a+5）+（a+1），然后去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（a+5）+（a+1）＝2a+6． 答：长方形的长为2a+6． 故选：B． 【点评】本题考查整式的加减、列代数式，解题的关键是可以发现后来剪拼成的长方形的长为原来大正方形的边长与剪下的小正方形的边长之和． 6．老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：﹣3x﹣1＝x2﹣5x，则所捂的二次三项式为（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2﹣8x﹣1 C．x2+2x﹣1 D．x2+8x+1 【答案】A 【分析】由题意可知：所的二次三项式是x2﹣5x﹣（﹣3x﹣1），然后去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：由题意得： 所捂的二次三项式为x2﹣5x﹣（﹣3x﹣1） ＝x2﹣5x+3x+1 ＝x2﹣2x+1， 故选：A． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 二．填空题（共5小题） 7．已知关于x，y的多项式mx2+3xy﹣x与4x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，则m﹣n＝ 　　 ． 【答案】． 【分析】先计算（mx2+3xy﹣x）﹣（4x2﹣2nxy+3y），然后根据关于x，y的多项式mx2+3xy﹣x与4x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算m﹣n即可． 【解答】解：由题意可得， （mx2+3xy﹣x）﹣（4x2﹣2nxy+3y） ＝mx2+3xy﹣x﹣4x2+2nxy﹣3y ＝（m﹣4）x2+（3+2n）xy﹣x﹣3y， ∵关于x，y的多项式mx2+3xy﹣x与4x2﹣2nxy+3y的差不含二次项， ∴m﹣4＝0，3+2n＝0， 解得m＝4，n， ∴m﹣n＝4﹣（）， 故答案为：． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的方法． 8．已知单项式xay3与单项式﹣2x2yb的差是单项式，则xay3+（﹣2x2yb）＝ 　﹣x2y3　 ． 【答案】﹣x2y3． 【分析】根据同类项的定义直接得出a、b的值． 【解答】解：由同类项的定义可知a＝2，b＝3， ∴xay3+（﹣2x2yb）＝x2y3+（﹣2x2y3）＝﹣x2y3． 故答案为：﹣x2y3． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 9．已知单项式2amb2与的和仍是单项式，则mn＝　12　 ． 【答案】12． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝4，n﹣1＝2， 解得m＝4，n＝3， ∴mn＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 10．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是 　a+c　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由数轴上右边的数总比左边的数大，且离原点的距离大小即为绝对值的大小，判断出a+b与c﹣b的正负，利用绝对值的代数意义化简所求式子，合并同类项即可得到结果． 【解答】解：由数轴上点的位置可得：c＜a＜0＜b，且|a|＜|b|， ∴a+b＞0，c﹣b＜0， 则|a+b|﹣|c﹣b|＝a+b+c﹣b＝a+c． 故答案为：a+c 【点评】此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 11．多项式3x2+4x+6与多项式相减后，结果不含x2项，则常数m的值为　7　 ． 【答案】7． 【分析】根据题意列式求出两个多项式的差，再根据结果不含x2项，即含x2项的系数为0进行求解即可． 【解答】解：3x2+4x+6 ＝3x2+4x+6 ＝﹣2x3+（3﹣m+4）x2+（4）x+6+1 ， ∵结果不含x2项， ∴7﹣m＝0， ∴m＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了整式加减中的无关型问题，理解不含某项即该项的系数为0是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 12．化简：6y3+4（x3﹣2xy）﹣2（3y3﹣2xy）． 【答案】4x3﹣4xy． 【分析】先将原式去括号，再合并同类项即可得到结果． 【解答】解：原式＝6y3+4x3﹣8xy﹣6y3+4xy ＝4x3﹣4xy． 【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号，合并同类项法则是解题的关键． 13．先化简，再求值：（2xy2﹣3x2y）﹣3（xy2﹣x2y），其中x＝8，． 【答案】﹣xy2；﹣2． 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求值． 【解答】解：（2xy2﹣3x2y）﹣3（xy2﹣x2y） ＝2xy2﹣3x2y﹣3xy2+3x2y ＝﹣xy2； 当x＝8，y时， 原式＝﹣8×（）2 ＝﹣8 ＝﹣2． 【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则、有理数的混合运算等知识点是解决本题的关键． 14．已知：A＝2x2﹣3xy+4，B＝﹣3x2+5xy﹣8． （1）化简3A+3B； （2）当x为﹣3的倒数，y为﹣2的相反数时，求3A+3B的值． 【答案】（1）﹣3x2+6xy﹣12； （2）﹣16． 【分析】（1）根据整式的加减运算化简； （2）代入数据求值即可． 【解答】解：（1）3A+3B ＝3（A+B） ＝3（2x2﹣3xy+4﹣3x2+5xy﹣8） ＝3（﹣x2+2xy﹣4） ＝﹣3x2+6xy﹣12； （2）∵x为﹣3的倒数，y为﹣2的相反数， ∴x，y＝2， ∴3A+3B ＝﹣3x2+6xy﹣12 ＝﹣3×（）2+6×（）×2﹣12 ＝﹣34﹣12 16 ＝﹣16． 【点评】本题考查了整式的加减，相反数，倒数，解题的关键是掌握整式的加减运算，相反数的定义，倒数的定义． 15．已知整式A和B满足：A+2B＝4a+3ab，B＝2a+3ab﹣2． （1）求整式A（用所含a、b的代数式表示）； （2）若B﹣A的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】（1）﹣3ab+4； （2）． 【分析】（1）根据A＝A+2B﹣2B，代入计算，根据整式的加减运算法则计算即可； （2）先得出B﹣A＝2a（1+3b）﹣6，根据B﹣A的值与a的取值无关，得出1+3b＝0，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）A＝A+2B﹣2B ＝4a+3ab﹣2（2a+3ab﹣2） ＝4a+3ab﹣4a﹣6ab+4 ＝﹣3ab+4； （2）B﹣A＝2a+3ab﹣2﹣（﹣3ab+4） ＝2a+3ab﹣2+3ab﹣4 ＝2a+6ab﹣6 ＝2a（1+3b）﹣6， ∵B﹣A的值与a的取值无关， ∴1+3b＝0， ∴． 【点评】本题主要考查整式的加减，掌握整式加减法法则是解题的关键． 16．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：﹣1，x，x+1． （1）利用刻度尺或圆规，在图①数轴上画出原点； （2）在图②数轴上分别画出表示数2x+1和x+2的点，并且比较2x+1与x+2的大小．（画图时可作适当的文字说明） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）以﹣1所在点为圆点，x到x+1的距离为半径即可在数轴上画出原点； （2）以表示x+1的点为圆心，原点到表示x的点的距离为半径作弧，可画出表示2x+1的点；以表示x+1的点为圆心，原点到表示﹣1的点的距离为半径作弧，可画出表示x+2的点，根据作差法即可比较2x+1与x+2的大小． 【解答】解：（1）以﹣1所在点为圆点，x到x+1的距离为半径作弧，可在数轴上画出原点，如图所示： （2）以表示x+1的点为圆心，原点到表示x的点的距离为半径作弧，可画出表示2x+1的点；以表示x+1的点为圆心，原点到表示﹣1的点的距离为半径作弧，可画出表示x+2的点，如图： ∵2x+1﹣（x+2）＝2x+1﹣x﹣2＝x﹣1＜0， ∴2x+1＜x+2． 【点评】本题考查了整式的加减，数轴和实数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键． 17．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如：因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”． （1）判断下列数对是否是“积差等数对”： ①　是　 （填“是”或者“否”）； ②（2，1）　否　 （填“是”或者“否”）． （2）若数对（m，3）是“积差等数对”，求m的值； （3）若数对（a，b）是“积差等数对”，求代数式4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]﹣2（3a2﹣2b）+6a2的值． 【答案】（1）①是；②否；（2）；（3）16． 【分析】（1）根据“积差等数对”的定义判断即可； （2）根据“积差等数对”的定义列方程求解即可； （3）根据“积差等数对”的定义得到a﹣b＝ab，再根据整式的加减运算法则化简，即可计算求值． 【解答】解：（1）①∵使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”， ∴，即：是“积差等数对”． 故答案为：是； ②∵使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”， ∴2﹣1≠1×2，即：（2，1）不是“积差等数对”． 故答案为：否； （2）∵数对（m，3）是“积差等数对”， ∴m﹣3＝3m， 解得：； （3）∵数对（a，b）是“积差等数对”， ∴a﹣b＝ab， ∴原式＝4（3ab﹣a﹣2ab+4）﹣6a2+4b+6a2 ＝12ab﹣4a﹣8ab+16﹣6a2+4b+6a2 ＝4ab﹣4a+4b+16 ＝4ab﹣4（a﹣b）+16 ＝4ab﹣4ab+16 ＝16． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减﹣化简求值的方法是关键． 18．有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b＝2（5a+3b）＝2×（﹣4）＝﹣8． 汤同学把5a+3b作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知a2+a＝3，则2a2+2a+2023＝　2029　 ； （2）已知a﹣2b＝﹣3，求3（a+b）﹣7a+5b﹣5的值； 【拓展提高】 （3）已知a2+2ab＝5，ab﹣2b2＝﹣6，求代数式3a2+4ab+4b2的值． 【答案】（1）2029． （2）7． （3）27． 【分析】（1）将2a2+2a+2023变形为2（a2+a）+2023，再将a2+a＝3代入计算即可． （2）将3（a+b）﹣7a+5b﹣5变形为﹣4（a﹣2b）﹣5，即可得出答案． （3）将3a2+4ab+4b2变形为3（a2+2ab）﹣2（ab﹣2b2），即可得出答案． 【解答】解：（1）2a2+2a+2023＝2（a2+a）+2023＝2×3+2023＝2029． 故答案为：2029． （2）原式＝3a+3b﹣7a+5b﹣5 ＝﹣4a+8b﹣5 ＝﹣4（a﹣2b）﹣5， ∵a﹣2b＝﹣3， ∴原式＝﹣4×（﹣3）﹣5＝7． （3）3a2+4ab+4b2 ＝3（a2+2ab）﹣2（ab﹣2b2） ＝3×5﹣2×（﹣6） ＝15+12 ＝27． 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4整式的加减 【题型1】同类项的判断与识别 1.核心知识点总结 同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式；所有常数项都是同类项。 两个“无关”：与单项式的系数大小无关，与字母的排列顺序无关（如与是同类项）。 2.高频考点梳理 直接判断两组单项式是否为同类项（如判断与是否为同类项）。 根据同类项定义，写出某个单项式的一个同类项（如写出的一个同类项）。 3.易错点警示 忽略“常数项都是同类项”：如误认为与不是同类项，实际二者均为常数项，是同类项。 混淆“字母指数”与“系数”：如误认为与是同类项，实际、的指数不同，不是同类项。 4.解题技巧拆解 两步判断法：①先检查两组单项式的所含字母是否完全一致；②再验证相同字母的指数是否分别相等，二者均满足则为同类项。 【例题1】．（2024-2025•洮北区期末）下列各组单项式中，为同类项的是（　　） A．a3与a2 B．﹣3与a C．2xy与2x D．与2a2 【变式题1-1】．（2024-2025•东区期末）下列各组是同类项的是（　　） A．a3与a2 B．与2a2 C．2xy与2y D．3与a 【变式题1-2】．（2024-2025•睢阳区模拟）请写出abc的一个同类项：　 　 ． 【变式题1-3】．（2024-2025•娄底校级期末）写出代数式3xy2的一个同类项：　 　 ． 【题型2】已知同类项求字母参数 1.核心知识点总结 同类项的本质特征：若与是同类项，则且(、为非零系数)。 应用逻辑：根据同类项的“指数相等”列方程，求解字母参数。 2.高频考点梳理 单字母参数：如已知与是同类项，求、的值。 多字母参数：如已知与是同类项，求的值。 3.易错点警示 漏求多字母参数：如只求的指数对应的字母，忽略的指数对应的字母。 符号错误：如已知与是同类项，解方程时符号出错。 4.解题技巧拆解 对应列方程：将同类项中相同字母的指数分别划等号，列出方程(组)； 求解验证：解出字母后，代入原单项式验证是否为同类项，避免计算错误。 【例题2】．（2024-2025•昂昂溪区期末）若单项式﹣axb2与a4by是同类项，则2x﹣3y的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式题2-1】．（2024-2025•内黄县期末）若3x2ym与7xny5是同类项，则n﹣m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【变式题2-2】．（2024-2025•韶关模拟）如果与﹣2x3yb是同类项，则ab＝ 　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025•松山区期末）若xmy与2x4yn是同类项，则m﹣n＝　 　 ． 【题型3】合并同类项的规范运算 1.核心知识点总结 合并法则：同类项的系数相加，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变(如)。 运算步骤：一找(同类项)、二移(交换位置，带符号)、三合并(系数相加)。 2.高频考点梳理 直接合并：如合并。 含括号的合并：如合并(先去括号再合并)。 3.易错点警示 系数符号错误：如将算成，忽略系数的正负号。 漏项或错并非同类项：如将合并为，混淆不同字母的项。 4.解题技巧拆解 标记同类项：用波浪线、横线等标记不同组的同类项，避免漏项； 分步运算：先移动同类项(连同符号)，再计算系数和，最后保留字母与指数。 【例题3】．（2024-2025•岳阳楼区校级开学）下列各式运算中，正确的是（　　） A．3x+2y＝5xy B．2a2b﹣ba2＝a2b C．16y2﹣9y＝7y D．3a2+2a2＝5a 【变式题3-1】．（2024-2025•沙坪坝区校级开学）合并同类项： （1）2x﹣2y﹣x+3y； （2）． 【变式题3-2】．（2024-2025•江阳区校级月考）合并下列同类项： （1）4a2﹣3b2+2ab﹣4a2﹣3b2+5ba； （2）5xy+3y2﹣3x2﹣xy+4xy+2x2﹣x2+3y2． 【变式题3-3】．（2024-2025•河口区校级期中）合并同类项： （1）； （2）4a2+3b2+2ab﹣4a2﹣4b2； （3）3m2n﹣mn2﹣2m2n+2n2m； （4）． 【题型4】根据两个同类项整式求参数值 1.核心知识点总结 同类项判定：需满足所含字母相同且相同字母指数相等（常数项均为同类项），与系数、字母顺序无关； 参数求解：单项式与是同类项，则列方程、求参数。 2.高频考点梳理 单字母参数：如与是同类项，求； 代数式求值：如与是同类项，求； 含次数关联：如与是同类项，求。 3.易错点警示 漏验单个字母指数(如仅求忽略)； 解方程符号错(如错得，正确)； 混淆“次数”与“指数”(误将“次数相同”当同类项)。 4.解题技巧拆解 定字母：明确共同字母，排除无关项； 列方程：相同字母指数划等号(如、)； 求参数：解方程得值，代入代数式计算(如，则）。 【例题4】．（2024-2025•凉州区校级期末）若2a2mb4和a6bn是同类项，则m、n的值是（　　） A．m＝3，n＝4 B．m＝3，n＝﹣6 C．，n＝6 D．m＝6，n＝4 【变式题4-1】．（2024-2025•内江期末）如果单项式xa+1y2z与﹣5x2yb+4z是同类项，那么（a+b）2024的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定 【变式题4-2】．（2024-2025•河口区期末）已知2a2mb3n与3a4b3是同类项，则（n﹣m）2025＝　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•府谷县期末）已知单项式﹣2a2b与amb是同类项，多项式3x2yn﹣xy2xy是六次三项式，求m﹣n的值． 【题型5】去括号法则的精准应用 1.核心知识点总结 基本法则：括号前是“”号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是“”号，去括号后括号内各项符号全变。 多层括号：从内到外或从外到内逐步去括号，每步只处理一层括号。 2.高频考点梳理 单层括号：如去括号。 多层括号：如去括号。 含系数的括号：如去括号(先用分配律乘系数，再定符号)。 3.易错点警示 漏乘系数：如将去括号为，忽略系数乘得。 多层括号符号错乱：如去括号时，错算为(第二层括号前是“”，应变号为)。 4.解题技巧拆解 符号优先：先判断括号前的符号(“”或“”)，确定括号内各项是否变号； 分配律护航：若括号前有系数，先将系数乘括号内每一项，再处理符号(如)。 【例题5】．（2024-2025•梨树县校级月考）不改变代数式a2+2a﹣b+c的值，下列添括号错误的是（　　） A．a2+（2a﹣b+c） B．a2﹣（﹣2a+b﹣c） C．a2﹣（2a+b+c） D．a2+2a+（c﹣b） 【变式题5-1】．（2024-2025•白河县期末）下列去括号正确的是（　　） A．a﹣（x﹣b+y）＝a﹣x+b﹣y B．x+3（x﹣y）＝x+3x﹣y C．﹣[﹣（a﹣b）]＝﹣a+b D．a﹣2（﹣b﹣c）＝a+2b﹣2c 【变式题5-2】．（2024-2025•雨城区校级期中）去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【变式题5-3】．（2023秋•长葛市期中）先去括号，再合并同类项 （1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b） （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1） 【题型6】添括号与整式变形 1.核心知识点总结 添括号法则：所添括号前是“”号，括到括号内的各项符号不变；所添括号前是“”号，括到括号内的各项符号全变。 本质：添括号是去括号的逆运算，变形后整式的值不变(恒等变形)。 2.高频考点梳理 按要求添括号：如将中后两项括起来，且括号前为“”，结果为。 添括号与整式运算结合：如将变形为(分组分解铺垫)。 3.易错点警示 括号前为“”时符号漏变：如将添括号为，正确应为。 漏括完整项：如将中含的项括起来，错写为，应连同符号括为。 4.解题技巧拆解 “定向标记”：先确定要括的项及括号前符号，用虚线标记需括的项； “验证逆推”：添括号后，通过去括号验证变形是否正确(如，逆推添括号)。 【例题6】．（2024-2025•衡山县期末）下列去括号正确的是（　　） A．﹣2（a+b﹣3c）＝﹣2a﹣2b+6c B．﹣（a+b﹣c）＝﹣a+b﹣c C．﹣（﹣a﹣b﹣c）＝﹣a+b+c D．﹣（a﹣b﹣c）＝﹣a+b﹣c 【变式题6-1】．（2024-2025•潍坊期末）添括号：﹣3x2+6x+2＝﹣3（ 　 　 ）+2． 【变式题6-2】．（2024-2025•朝阳区校级期中）添括号：2x﹣y+3a﹣b＝（2x﹣b）﹣（ 　 　 ）． 【变式题6-3】．（2024-2025•南岸区期中）若多项式M、N满足： M+2N＝8xy﹣3x﹣4y﹣2，2M﹣N＝xy﹣6x+2y+11． 我们可以通过添加括号求出多项式M，过程如下： 5M＝（M+2N）+2（2M﹣N） ＝（8xy﹣3x﹣4y﹣2）+2（xy﹣6x+2y+11） ＝10xy﹣15x+20 则M＝2xy﹣3x+4 （1）请用类似的方法求出多项式N； （2）当x、y是互为倒数时，多项式M的值为0，求此时多项式N的值． 【题型7】整式加减的分步运算(提升) 1.核心知识点总结 整式加减的本质：去括号与合并同类项的综合应用，步骤为：①列算式(和差用括号表示)；②去括号；③合并同类项。 多项式相减：被减式-减式，减式需加括号(如，若，则写为)。 2.高频考点梳理 多项式的和：如求与的和。 多项式的差：如求。 多个整式的混合运算：如计算。 3.易错点警示 减式漏加括号：如计算时，错将“减”写成“减”，符号全错。 去括号后漏项：如去括号时，漏写常数项。 4.解题技巧拆解 “分步拆解”：先将每个整式用括号括起，明确和差关系(如“减加”写为)； “符号追踪”：去括号时，每一项的符号单独标记，合并时逐组处理同类项，避免符号混乱。 【例题7】．（2024-2025•松山区期末）小虎同学做一道题，已知两个多项式A，B，其中B＝3x2﹣3y﹣1，在计算A﹣B时，他误将“A﹣B”看成了“A+B”，求得的结果是5x2﹣y． （1）求多项式A； （2）若|x﹣1|与（y+1）2互为相反数，求A﹣B的值． 【变式题7-1】．（2024-2025•射洪市校级期末）已知A＝﹣（x2+2y）﹣xy，B＝﹣x2﹣xy． （1）化简A﹣3B； （2）若，求A﹣3B的值． 【变式题7-2】．（2024-2025•镇平县期末）计算： （1）； （2）﹣2（xy3﹣y2）+（3x3y﹣xy3）﹣2y2． 【变式题7-3】．（2024-2025•汉南区校级开学）计算： （1）﹣7﹣（﹣8）+（﹣11）﹣12； （2）； （3）（4x2y﹣5xy2）﹣（3x2y﹣4xy2）； （4）． 【题型8】整式化简求值的整体代入(提升) 1.核心知识点总结 整体思想：当无法直接求出单个字母的值时，将含字母的代数式视为一个整体，代入目标整式求值(如已知，求，可将化为)。 常见变形：倍数关系(如)、符号变形(如)。 2.高频考点梳理 已知单个代数式的值：如已知，求的值。 已知多个代数式的值：如已知，，求的值。 3.易错点警示 不会凑整体：如已知，求时，无法识别。 整体代入时符号错误：如已知，求时，错将算成，实际。 4.解题技巧拆解 “观察变形”：对比目标整式与已知代数式的结构，找出倍数或符号关系(如目标式含，已知和，则变形为)； “分步代入”：先将目标式化为含已知整体的形式，再代入求值(如，再代入)。 【例题8】．（2024-2025•西平县期末）若x﹣3y+2＝0，则5﹣2x与6y﹣1的和的值为 　 　 ． 【变式题8-1】．（2024-2025•商南县期末）已知a+b＝200，ab＝24，则（3a﹣2b）﹣（﹣5b+2ab）的值为 　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025•包头期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为 　 　 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•内黄县期末）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）； （2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）． （1）【问题解决】对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程： （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝ 　 　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式的值． 【题型9】整式加减中的“无关项”问题(提升) 1.核心知识点总结 “无关项”定义：整式化简后，若结果中不含某字母的某次项(如不含项、不含项)，则称该次项为“无关项”。 本质：无关项的系数为0(如不含项，则化简后项的系数等于0)。 2.高频考点梳理 不含某一次项：如多项式不含项，求、的值。 不含某二次项：如多项式与的和不含项，求的值。 3.易错点警示 合并同类项不彻底：如将合并为时，漏算项系数，导致无法正确列方程。 忽略多字母无关项：如同时不含项和项时，漏令其中一个系数为0。 4.解题技巧拆解 “化简定系数”：先将整式彻底去括号、合并同类项，写出每一项的系数； “系数为0列方程”：令无关项的系数等于0，解方程求参数(如不含项，则项系数)。 【例题9】．（2024-2025•市中区期末）已知A＝x2﹣xy+2x﹣2，B＝x2﹣xy﹣y，若A﹣2B的值与y的取值无关，则x的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【变式题9-1】．（2024-2025•茶陵县期末）如果关于字母x的二次多项式﹣3x2﹣mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，则m﹣n的值为 　 　 ． 【变式题9-2】．（2024-2025•安康期末）已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5． （1）化简3B﹣A； （2）若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【变式题9-3】．（2024-2025•五华县期末）已知：A＝﹣2（mn﹣m2+2m）﹣[2m2﹣（4m+n2）+2mn]． （1）化简A； （2）若关于x的多项式x2+mx+nx2﹣3x+1的值与x无关． ①求m、n的值； ②求A的值． 【题型10】整式与数轴、绝对值的综合化简(培优) 1.核心知识点总结 数轴与符号：根据数轴上字母的位置(如，)，判断含字母的式子的正负(如，)。 绝对值化简：，结合整式加减化简含绝对值的式子。 2.高频考点梳理 已知数轴位置化简：如、在数轴上的位置为，化简。 含整式的绝对值化简：如化简(先判断绝对值内整式的正负)。 3.易错点警示 数轴位置判断错误：如误将判断为，导致绝对值化简错误。 绝对值去符号后漏加括号：如()化简为，若后续合并时写成，符号出错。 4.解题技巧拆解 “三步法”：①定位置(根据数轴确定字母大小关系)；②判正负(判断绝对值内式子的正负)；③去绝对值(按法则去符号，加括号)；④合并整式。 “特殊值验证”：化简后代入符合数轴位置的特殊值(如，)，验证结果是否正确。 【例题10】．（2024-2025•江岸区校级月考）（1）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a+b|﹣|c﹣b|； （2）已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x+y|的值． 【变式题10-1】．（2024-2025•无棣县期末）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图：若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似的我们可以把（a+b）看成一个整体．则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．请尝试解决： 若a2+2ab＝﹣3，b2﹣ab＝6，求的值． 【变式题10-2】．（2024-2025•东港区校级期末）已知含字母m，n的代数式是：3[m2+2（n2+mn﹣3）]﹣3（m2+2n2）﹣4（mn﹣m﹣1）． （1）化简这个代数式． （2）小明取m，n互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于0．那么小明所取的字母n的值等于多少？ （3）聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母n取一个固定的数，无论字母m取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母n的值是多少呢？ 【变式题10-3】．（2024-2025•澧县期末）【知识呈现】我们可把5（x﹣2y）﹣3（x﹣2y）+8（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）中的“x﹣2y”看成一个字母a，使这个代数式简化为5a﹣3a+8a﹣4a，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 　 　 ；（用含x、y的式子表示） （2）若代数式x2+x+1的值为3，求代数式2x2+2x﹣5的值为 　 　 ； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知a﹣2b＝7，2b﹣c的值为最大的负整数，求3a+4b﹣2（3b+c）的值． 【题型11】整式加减的实际应用——图形面积与周长(培优) 1.核心知识点总结 图形公式：长方形面积，周长；正方形面积；圆面积(取3.14或题目给定值)。 整式表示：用含字母的整式表示图形的边长、面积、周长，再通过整式加减求差值或总量。 2.高频考点梳理 组合图形面积：如求长方形中挖去正方形后的剩余面积(用整式表示并化简)。 周长的动态变化：如个正方形拼接成大长方形，用整式表示周长并求值。 费用计算：如已知图形面积及单位面积造价，用整式表示总造价并求值。 3.易错点警示 边长关系搞错：如拼接图形中，漏算重叠边长或错算组合后的边长(如2个边长为的正方形拼接成长方形，长为，宽为，周长为，而非)。 公式记错：如将长方形周长算成，导致整式表示错误。 4.解题技巧拆解 “图形标注”：在图形上标出已知边长和未知边长(用含字母的式子表示)，明确各部分关系； “分步列式”：先列单个图形的面积/周长整式，再根据题意列加减算式，最后化简求值(如剩余面积=大图形面积-小图形面积)。 【例题11】．（2024-2025•陵城区期末）如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为y﹣12； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+4； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【变式题11-1】．（2024-2025•即墨区期末）如图，两个正方形的面积分别为26，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a﹣b）等于（　　） A．4 B．9 C．17 D．25 【变式题11-2】．（2024-2025•张掖期末）大、小两个长方形如图所示，大长方形的周长比小长方形的周长多（　　） A．2m+2n B．2m+2n+3 C．2m+2n+6 D．m+n+3 【变式题11-3】．（2024-2025•碑林区校级开学）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【题型12】整式加减中的“错看符号”问题(培优) 1.核心知识点总结 错解还原：根据“误看符号的运算结果”，逆向求出未知多项式(如误将看成，得结果，则)。 正确运算：求出未知多项式后，按原题要求进行正确的整式加减运算。 2.高频考点梳理 误加变误减：如已知的正确运算为求，误算为，且，求正确结果。 漏看括号：如误将看成，得结果，求正确结果。 3.易错点警示 逆向求多项式时符号错误：如由求时，错算为，正确应为。 正确运算时再次出错：如求出后，计算时漏加括号，符号混乱。 4.解题技巧拆解 “逆向推导”：根据错看的运算关系列等式，解出未知多项式(如“误看为，得”→→)； “双重验证”：求出未知多项式后，先代入错看的运算验证是否符合错解，再进行正确运算，确保结果正确。 【例题12】．（2024-2025•河口区期末）已知两个多项式A和B．其中A＝3a2b﹣2ab2小马虎在计算2A﹣B的值时不小心将2A﹣B错看成2A+B，得到的结果是4a2b﹣3ab2． （1）求多项式B： （2）请帮他求出2A﹣B的正确答案． 【变式题12-1】．（2024-2025•招远市期末）有这样一道计算题：“计算3x2y+[4x2y﹣（7x2y2﹣y2）]﹣7（x2y+y2﹣x2y2）的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【变式题12-2】．（2024-2025•桃城区校级期末）已知多项式A＝x3﹣axy+3x2y3+1，B＝2x3﹣xy+bx2y3．小希在计算时把题目条件A+B错看成了A﹣B，求得的结果为﹣x3+2xy+1，那么小希最终计算的A+B中不含的项为（　　） A．三次项 B．二次项 C．五次项 D．常数项 【变式题12-3】．（2024-2025•信宜市期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，n﹣m； 第2次操作后得到整式串m，n，n﹣m，﹣m； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（　　） A．m+n B．m C．2n﹣m D．2n 【题型13】连续整式运算的规律探究(培优) 1.核心知识点总结 规律探究：观察一组整式的系数、符号、字母指数的变化规律，总结出第个整式的表达式。 整式加减应用：根据规律写出第个整式后，进行求和、求差运算或求值。 2.高频考点梳理 单项式规律：如一组单项式，，，，…，求第个单项式。 多项式规律：如一组多项式，，，…，求第个多项式的和。 3.易错点警示 符号规律漏总结：如单项式，，，…，错将符号规律写成“正、正、负”，实际为“”。 系数与序号关系错误：如系数为，，，…，错写成，实际为。 4.解题技巧拆解 “分维度分析”：将整式拆分为“符号”“系数”“字母部分”三个维度，分别找与序号的关系(如符号：或；系数：、等；字母：)； “验证规律”：将、代入总结的第个整式，验证是否与已知整式一致，再进行后续运算。 【例题13】．（2024-2025•广州期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题： 已知两个关于x的多项式A、B，其中B＝﹣2mx2﹣mx+x﹣3，求A﹣B． 小强同学把“A﹣B”错看成“A+B”，求出的结果为﹣6mx2+mx+2x﹣7． （1）填空：多项式B的次数为　 　 ，常数项为　 　 ； （2）请帮小强同学求出A﹣B的正确答案； （3）若当x取任意数值时，A﹣2B的值都是一个常数，求m的值． 【变式题13-1】．（2024-2025•平遥县期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是 　 　 ． 【变式题13-2】．（2024-2025•自贡期末）如图，用图案来表示关于x和y的多项式，如图1表示的多项式为5x+4y，按照这样的规律，解决下面的问题： （1）图4表示的多项式为　 　 ，图n表示的多项式为　 　 （用含n的式子表示）； （2）设图6表示的多项式为A，图7表示的多项式为B，化简2B﹣3A． 【变式题13-3】．（2024-2025•长沙校级开学）对于正整数n．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作S（n），例如2018，因为2+0+1+8＝11，1+1＝2，所以S（2018）＝2．大家注意，35×29＝1015（*）根据以上算法，S（35）＝8，S（29）＝2，S（S（35）×S（29））＝S（8×2）＝S（16）＝7，有趣的是S（1015）也等于7，这是偶然的巧合还是必然的规律？ （1）根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广． （2）请证明你的猜想． 同步练习 一．选择题（共6小题） 1．下列计算正确的是（　　） A．5a+2b＝7ab B．5a3﹣3a2＝2a C．4a2b﹣3ba2＝a2b D．﹣y2﹣4y2＝﹣5y4 2．下列判断中不正确的是（　　） A．3a2bc与bca2是同类项 B．是整式 C．单项式﹣x3y2的系数是﹣1 D．3x2﹣y+5xy2的次数是2次 3．用代数式表示“x与y的和的2倍”（　　） A．2x+y B．x+2y C．2（x+y） D．（x+y）2 4．下列说法中正确的是（　　） A．πx3的系数是 B．y﹣x2y+5xy2的次数是7 C．4不是单项式 D．﹣2xy与4yx是同类项 5．如图，从边长为a+5的大正方形纸片中剪去一个边长为a+1的小正方形，将剩余部分沿虚线剪开后拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，那么该长方形的长为（　　） A．2a+10 B．2a+6 C．8a+24 D．8a+8 6．老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：﹣3x﹣1＝x2﹣5x，则所捂的二次三项式为（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2﹣8x﹣1 C．x2+2x﹣1 D．x2+8x+1 二．填空题（共5小题） 7．已知关于x，y的多项式mx2+3xy﹣x与4x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，则m﹣n＝ 　 　 ． 8．已知单项式xay3与单项式﹣2x2yb的差是单项式，则xay3+（﹣2x2yb）＝ 　 　 ． 9．已知单项式2amb2与的和仍是单项式，则mn＝　 　 ． 10．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是 　 　 ． 11．多项式3x2+4x+6与多项式相减后，结果不含x2项，则常数m的值为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 12．化简：6y3+4（x3﹣2xy）﹣2（3y3﹣2xy）． 13．先化简，再求值：（2xy2﹣3x2y）﹣3（xy2﹣x2y），其中x＝8，． 14．已知：A＝2x2﹣3xy+4，B＝﹣3x2+5xy﹣8． （1）化简3A+3B； （2）当x为﹣3的倒数，y为﹣2的相反数时，求3A+3B的值． 15．已知整式A和B满足：A+2B＝4a+3ab，B＝2a+3ab﹣2． （1）求整式A（用所含a、b的代数式表示）； （2）若B﹣A的值与a的取值无关，求b的值． 16．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：﹣1，x，x+1． （1）利用刻度尺或圆规，在图①数轴上画出原点； （2）在图②数轴上分别画出表示数2x+1和x+2的点，并且比较2x+1与x+2的大小．（画图时可作适当的文字说明） 17．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如：因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”． （1）判断下列数对是否是“积差等数对”： ①　 　 （填“是”或者“否”）； ②（2，1）　 　 （填“是”或者“否”）． （2）若数对（m，3）是“积差等数对”，求m的值； （3）若数对（a，b）是“积差等数对”，求代数式4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]﹣2（3a2﹣2b）+6a2的值． 18．有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b＝2（5a+3b）＝2×（﹣4）＝﹣8． 汤同学把5a+3b作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知a2+a＝3，则2a2+2a+2023＝　 　 ； （2）已知a﹣2b＝﹣3，求3（a+b）﹣7a+5b﹣5的值； 【拓展提高】 （3）已知a2+2ab＝5，ab﹣2b2＝﹣6，求代数式3a2+4ab+4b2的值． 学科网（北京）股份有限公司 $