精品解析：安徽省阜阳市 临泉县长官中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2. 计算：（ ） A. b B. C. D. 3. 数据显示，年上半年安徽省生产总值约亿元．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是一个几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 从“数学”英文单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母a的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b为实数，，，则分式的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 一次聚会中，每两个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了72件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，延长、分别交于点E、F，连接、与相交于点H，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：的结果是__________. 12. 若一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______． 13. 如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为_______． 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：． （1）该抛物线的对称轴是______． （2）若为抛物线上三点，且总有，结合图象，则m取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向右平移5个单位长度，向上平移1个单位长度得到，画出； （2）将以点C为位似中心放大2倍得到，画出. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 我国古代数学家著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索长多少尺？ 18. 观察下列等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第个等式： ． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 20 已知：四边形内接于，对角线交于点E，且． （1）如图1，求证：平分． （2）如图2，若的直径的长为6，的长为，求弦的长． 六、（本题满分12分） 21. 年月日时分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，神十七乘组飞赴苍穹．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽取的作品数量为 份；成绩为8分的作品所在扇形的圆心角的度数是 °；并补全条形统计图． （2）求此次被抽取的参赛作品成绩的中位数和平均数． （3）若该校共收到份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于9分的作品的份数． 七、（本题满分12分） 22. 某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ （3）在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 八、（本题满分14分） 23. E为正方形内一点，，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，并延长与交于点G． （1）如图1，猜想与之间的数量关系，并证明． （2）如图2，若O为中点，连接． ①求的长． ②若E为的中点，连接，求线段长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较． 比较各数的大小，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：D． 2. 计算：（ ） A. b B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则，解题的关键是先根据积的乘方法则展开，再利用同底数幂的除法法则计算． 先根据积的乘方“”展开得；再根据同底数幂的除法“”，用除以，分别计算和的指数，得到结果后对应选项． 【详解】解：，对应选项C． 故选：C． 3. 数据显示，年上半年安徽省生产总值约亿元．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握用科学记数法表示数是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解∶亿 故选：B． 4. 如图，这是一个几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线． 根据俯视图是从上面看到的图形且能看到的线画实线，看不到的线画虚线，据此即可解答． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选：C． 5. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质及三角形的外角性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，利用三角形外角的性质得到，由此求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 从“数学”的英文单词“”中随机抽取一个字母，抽中字母a的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． “”中共11个字母，字母a有2个，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵单词“”，共11个字母，字母a有2个， ∴抽中字母a的概率为． 故选：D． 7. 已知a，b为实数，，，则分式的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，再整体代入即可求解. 【详解】解：∵，∴． ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，整体代入是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象． 根据反比例函数图象求出，进而判断一次函数的图象即可． 【详解】∵反比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限， 只有A符合题意． 故选：A． 9. 一次聚会中，每两个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了72件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积． 设参加这次聚会的人数为x，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设参加这次聚会的人数为x，根据题意得： ． 故选：A 10. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，延长、分别交于点E、F，连接、与相交于点H，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是利用正方形和等边三角形的边角关系求出相关角度与边长比例，再结合相似三角形的判定条件逐一验证选项． 先根据等边和正方形的性质，得边长相等及、，算出；再通过角度计算判断，排除A；接着找和公共角，判定，验证B正确；利用算DF与DC的比，得，排除C；最后通过判定，得，排除D． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故A错误； ∵， ∴ ∵， ∴，故B正确； ∵， ∴， ，故C错误； ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ，故D错误． 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：的结果是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式=. 【点睛】本题考查了二次根式的化简计算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键. 12. 若一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 由题意知，且，解得且，然后作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 13. 如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查矩形性质、反比例函数（）中的几何意义，解题的关键是用的几何意义求相关三角形面积，再通过矩形与三角形面积关系算四边形面积． 设，由在得（矩形面积）；、在上，用的几何意义得、面积均为；矩形面积减两三角形面积和即得四边形面积． 【详解】解：设（）． ∵ 在上， ∴ ，即（矩形面积为）． ∵ 在上且在上，横坐标为，纵坐标为， ∴ 面积． 同理，在上且在上，面积 ∴ 四边形面积． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：． （1）该抛物线的对称轴是______． （2）若为抛物线上三点，且总有，结合图象，则m的取值范围是______． 【答案】 ①. 直线 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质. （1）对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解． （2）由题意得三点不可能在抛物线对称轴的同一侧，画出大致函数图像，求出关于对称轴的对称点为，由图可知：，据此即可求解． 【详解】解：（1）该抛物线的对称轴是：直线； 故答案为：直线； （2）∵，又， ∴三点不可能在抛物线对称轴的同一侧， 如图所示： 可得关于对称轴的对称点为， 由图可知：， 解得：； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，掌握不等式基本性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质解不等式即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向右平移5个单位长度，向上平移1个单位长度得到，画出； （2）将以点C为位似中心放大2倍得到，画出. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【点睛】本题主要考查了平移变换及位似变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 我国古代数学家著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索长多少尺？ 【答案】绳索长为20尺 【解析】 【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可． 【详解】解:设绳索长尺，则竿长为尺． 根据题意可得， 解得 答：绳索长为20尺． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关键． 18. 观察下列等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第个等式： ． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1）； （2），证明见解析. 【解析】 【分析】本题主要考查学生观察数列规律归纳代数表达式的能力以及对平方差公式的理解与运用，正确分析等式右边两个平方项的底数与序号的关系是解题的关键．通过观察等式中个数的变化规律，找到与序号相关的代数表达式，即可求出答案． 【小问1详解】 解：先观察等式左边：第个式子为，第个式子为，第个式子为，第个式子为， 每个式子均为序号，故第个等式的左边为； 再观察等式右边，右边由两部分组成： ①前半部分为一个数的平方，底数依次为，，，，相邻两数之差均为， 即第个底数为，第个底数为，第个底数为，第个底数为，每一个底数均为序号， 因此第个底数为，即第个等式右边前半部分为； ②观察后半部分，第个式子为，第个式子为，第个式子为，第个式子为， 后半部分均为序号的平方，故第个等式右边的后半部分为． 综上，第个等式为． 【小问2详解】 解：由（1）可提出猜想，第个等式的左边为，第个等式右边的前半部分的底数为，即第个等式右边的前半部分为，第个等式右边的后半部分为， 故第个等式为． 证明如下： 右边 左边． 故等式成立． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为. 由题意，得， . 在中，， ∴， . 在中，， ∴. 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 20. 已知：四边形内接于，对角线交于点E，且． （1）如图1，求证：平分． （2）如图2，若的直径的长为6，的长为，求弦的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，由同弧或等弧所对的圆周角相等即可得到，即可得到结论； （2）由为直径得到，由（1）可知，则是等腰直角三角形，则，，证明，则，然后代入求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 即平分； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， 由（1）可知， ∴是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 年月日时分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，神十七乘组飞赴苍穹．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽取的作品数量为 份；成绩为8分的作品所在扇形的圆心角的度数是 °；并补全条形统计图． （2）求此次被抽取的参赛作品成绩的中位数和平均数． （3）若该校共收到份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于9分的作品的份数． 【答案】（1）；；见解析 （2）此次被抽取的参赛作品成绩的中位数是8分，平均数是分 （3）估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有份 【解析】 【分析】本题考查数据分析与统计，熟练掌握条形统计图和扇形统计图对数据的表示是解题的关键， （1）根据9分的份数和百分比可计算出本次抽取作品的数量，从而推出8分所占的圆心角的度数，并且可以补全条形统计图； （2）将份成绩从小到大排列后，第位数的平均数即为本次抽取的中位数，再将所有数据相加除以总数即可得到平均数； （3）求出不低于9分的作品的份数，再利用部分估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解： 由条形统计图和扇形统计图可得：9分的份数为份，占全部的， ∴本次随机抽取的作品数量为：（份）， ∵7分的有份，分的有份， ∴8分的份数为：（份）， ∴成绩为8分的作品所在扇形的圆心角的度数为：， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵7分的有份，8分的有份，9分的有份，分的有份， ∴处在中间位置的两个数都是8分， ∴成绩的中位数是8分， 平均数(分)， 答：此次被抽取的参赛作品成绩的中位数是8分，平均数是分． 【小问3详解】 解： (份)， 答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有180份． 七、（本题满分12分） 22. 某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ （3）在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 【答案】（1） （2）这辆货运汽车能安全通过 （3）两排灯的水平距离最小是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，再把点代入计算，即可作答． （2）理解题意，得出货运汽车的另一侧与地面交点的横坐标为2或10，再把或分别代入，进行计算，即可作答． （3）把代入进行计算，得， ，故，即可作答． 【小问1详解】 解：∵隧道宽度为12米，最高处离地面10米， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为， ∵长方形宽为4米 ∴抛物线经过点， 把代入， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， 即该抛物线的表达式为， 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的顶点为 ∵一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为，隧道内设双向车道， ∴货运汽车靠路面中心线行驶时，或 则其另一侧与地面交点的横坐标为2或10， ∴当时，， 当时，． ∴这辆货运汽车能安全通过． 【小问3详解】 解：由（1）得， 依题意，令，则， ∴， 解得， ， 则， ∴两排灯的水平距离最小是． 八、（本题满分14分） 23. E为正方形内一点，，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，并延长与交于点G． （1）如图1，猜想与之间的数量关系，并证明． （2）如图2，若O为的中点，连接． ①求的长． ②若E为的中点，连接，求线段长的最小值． 【答案】（1），见解析 （2）①；②线段长的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得．由旋转得，然后证明即可解答； （2）①先说明是直角三角形可得是直角三角形，易得，再结合正方形的性质和勾股定理求解即可；②如图，取的中点H，连接，当点H、E、C三点共线时，线段的长最小． 易得是的中位线，则．如图：作于点K，则是等腰直角三角形， 即；再运用勾股定理求得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：，证明如下： 在正方形中，． 由旋转得， ∴． ∵，即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①由(1)得，． ∵， ∴． 在四边形中，， ∴， ∴是直角三角形． ∵O是斜边的中点， ∴． 在正方形中，， ∴， ∴． ②如图，取的中点H，连接，当点H、E、C三点共线时，线段的长度最小． ∵E为中点， ∴是的中位线， ∴． 如图：作于点K，则是等腰直角三角形， ， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴线段长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $