精品解析：广西南宁市第三中学2025-2026学年八年级上学期数学10月月考试卷

2025-2026学年秋季学期八年级数学素养练习（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 窗花是中国古老的民间艺术之一．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 2. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．首先设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得，再解即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系可得： ， 即：， 只有选项B符合要求， 故选：B 3. 如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及中垂线的性质，根据是的垂直平分线，由中垂线的性质得到，即可得到答案，熟记中垂线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，利用关于y轴对称点的坐标特点可得答案，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质， 可得点关于y轴对称的点的坐标为． 故选：B． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边和的夹角， ． 故选：D． 6. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为12，故应该列两个方程组求解． 【详解】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm， 由题意得或， 解得或． ，不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为2cm， 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 7. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质；利用基本作图得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到则，再利用面积法得到，最后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图，则， ， ， 即， ， ， 故选：B． 9. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、构成三角形的条件，根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A、已知，，，则直角三角形的斜边和一条直角边确定，满足，可知该三角形是唯一确定的，故此选项符合题意； B、已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定，故此选项不符合题意； C.、，，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故此选项不符合题意； D、，，，未给出边长，无法唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 10. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 11. 如图，在中，分别平分于点，若的周长为，的面积为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，与三角形高有关的计算，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，过作于于，根据角平分线的性质可得，因为的面积的面积的面积的面积，所以有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过作于于，     ∵分别平分， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12. 如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是______三角形 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 14. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据，可得，则说明的依据是______． 【答案】##边边边 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和基本作图，熟练掌握全等三角形判定定理是解此题的关键． 从作图可知，，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【详解】解：从作图可知，， 在和中 ， ， ， 故答案为：． 15. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系进行角度推导． 通过已知角的度数，利用三角形外角性质，逐步推导得出的度数． 【详解】如图， ∵， ∵， ， 故答案为：． 16. 如图， 在中，是边上的中线， ，，则的取值范围是_____． 【答案】1＜AD＜6 【解析】 【分析】如图，延长AD到E使DE=AD，连接BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得出BE=AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论. 【详解】延长AD到E使DE=AD，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD. 在△ACD和△EBD中 ， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC=EB=7. ∵AB=5， ∴由三角形的三边关系为： 7-5＜AE＜7+5， 即2＜AE＜12. ∴1＜AD＜6 故答案为：1＜AD＜6. 【点睛】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键. 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和解二元一次方程组的常用方法． （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标． （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求的三角形： （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换作图及点的坐标特征，三角形求面积； （1）利用关于y轴对称图形的点的坐标特征是“横坐标相反，纵坐标不变”得到对应点的位置即可画出图形； （2）利用关于y轴对称图形的点的坐标特征即可得到答案； （3）利用三角形面积公式，的长为底，到的距离为高即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，，，． 【小问3详解】 19. 某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表： 规格/m 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35 学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为和的钢管，还需要购买一根． （1）有哪几种规格的钢管可供选择？ （2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 【答案】（1）可以选择或或长的钢管 （2）做成三角形支架一共需要花75元钱购买钢管 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出第三根钢管长度的取值范围，然后可得答案； （2）根据题意得出第三根应选择长的钢管，然后结合表格计算即可． 【小问1详解】 解：设第三根钢管的长度为， 根据三角形的三边关系可得，即， ∴可以选择或或长的钢管； 【小问2详解】 解：∵做成的三角形支架的周长为偶数， ∴第三根应选择长的钢管， ∴需要的钱数为（元）， 答：做成三角形支架一共需要花75元钱购买钢管． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 20. 如图，点D，E分别在上，，，相交于点O． 求证：． 小刚同学的证明过程如下： 证明：在和中， ，…第一步 ∴…第二步 ∴…第三步 （1）小刚同学的证明过程中，第______步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【答案】（1）一； （2） 证明：∵，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可得出答案； （2）先证明，再由证明，即可得证． 【小问1详解】 解：由题意得：小刚同学的证明过程中，第一步出现错误； 【小问2详解】 略 21. 如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想直线与线段有什么关系？并证明你的猜想； （2）过点D作交于点E，若，，求的长． 【答案】（1）直线垂直平分， 证明：∵ ∴点D在的垂直平分线上 又∵ ∴点B在的垂直平分线上 ∴是的垂直平分线； （2）6 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识． （1）根据垂直平分线的判定求解即可； （2）由，得，而，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． 由（1）知，， ， ． ， ， ． 22. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2） 解：，理由如下： ，， ， 又， ， ，， ， 即； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得且， ， ， ， ，， 的面积． 23. 已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 【答案】（1），， （2） 解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段，，之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【小问1详解】 解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段，，之间的数量关系是， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①或或，理由如下： ，如图：在上截取，使，连接， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上， 此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段，，之间的数量关系为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年秋季学期八年级数学素养练习（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 窗花是中国古老的民间艺术之一．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 7. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 9. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，分别平分于点，若的周长为，的面积为，则的长为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是______三角形 14. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据，可得，则说明的依据是______． 15. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 16. 如图， 在中，是边上的中线， ，，则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程组 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标． （3）求出的面积． 19. 某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表： 规格/m 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35 学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为和的钢管，还需要购买一根． （1）有哪几种规格的钢管可供选择？ （2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 20. 如图，点D，E分别在上，，，相交于点O． 求证：． 小刚同学的证明过程如下： 证明：在和中， ，…第一步 ∴…第二步 ∴…第三步 （1）小刚同学的证明过程中，第______步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 21. 如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想直线与线段有什么关系？并证明你的猜想； （2）过点D作交于点E，若，，求的长． 22. 已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 23. 已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $