精品解析：河南省周口市第四初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次素质测评数学（超越班）试卷

九年级数学试卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 下列函数中一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，形如的函数为二次函数． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C．不是二次函数，故本选项不符合题意； D．是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 3. 顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式解析式特点即可解答． 【详解】由抛物线顶点式可知，顶点为， ∵顶点为， ∴抛物线为， ∵该抛物线开口，形状与函数的图象相同， ∴， 即抛物线解析式为， ∴C选项正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了抛物线的解析式—顶点式，正确理解顶点式解析式各字母的意义是解题的关键． 4. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：当时，，而当时，， 在时，必有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：B． 5. 已知关于的方程，则下列分析正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 无法判断方程的根的情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式． 将一元二次方程化简为一般形式，然后利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解： ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，，， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根， ∴直角三角形的两条直角边的长分别为和， ∴此直角三角形的面积为， 故选：． 7. 电影《哪吒2》于春节档上映，首月全球累计票房约35亿元，第三个月全球累计票房约140亿元．若每月累计票房的增长率相同，设增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：设出未知数，利用增长率模式，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．35亿经过两次增长得到为，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意可列方程为． 故选：B． 8. 代数式的最小值为（ ） A. B. C. D. 没有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算. 【详解】， ， ， 当时，代数式的最小值为. 故选：. 【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值. 9. 两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（ ） A. 26 B. 28 C. 或26 D. 或28 【答案】D 【解析】 【分析】设两个相邻奇数为和，根据乘积为列方程求解，再求和即可，注意需考虑正负两种情况． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为： 展开得： 当时，两个奇数为和，和为； 当时，两个奇数为和，和为。 因此，这两个奇数的和为或， 故选：D 10. 如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（ ） A. 假山上的点B到水平地面的距离为 B. 水平方向上的长度为 C. D. 抛物线与的对称轴相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项． 【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为， 当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为； 当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确； 由题意得，解得：，可知选项C正确； 由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共5小题，15分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 直接将代入一元二次方程计算即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得： ， 解得：， 故答案为：． 12. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，利用对称性求出的对称点为，再根据二次函数的图象和性质得到当时，y随x的增大而减小，即可得出结论． 【详解】解： 对称轴 ∴的对称点为 ∵ ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故答案为：． 13. 抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于点A、B，则AB＝_____． 【答案】1． 【解析】 【分析】先解方程x2-3x+2=0得到交点A、B的坐标为（1，0），（2，0），然后计算两交点间的距离． 【详解】解：当y=0时，x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2， 所以抛物线y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标为（1，0），（2，0）， 所以AB=2-1=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 14. 对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，根据题意列方程，即可解答，熟知题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 15. 若方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题的关键．设，，将一元二次方程的实数根，看作二次函数与直线有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解． 【详解】解：设二次函数与直线， ∵ ， ∴抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为，且抛物线开口向上， 又， 当时，最小值为， 取到最小值． 比距离对称轴远， 当时，，即取到最大值． ． 故答案为：． 三．解答题（共8题，75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【小问1详解】 ， ， 则， 或， 解得，； 【小问2详解】 ， ， 则，即， ， ，． 17. 对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为顶点式； （2）在坐标系中画出此抛物线； （3）结合图象，当时，的取值范围_____． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范围是解题的关键． （1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）利用描点、连线的方法画出图形即可； （3）根据函数图象回答即可． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 【小问3详解】 解：根据函数图象可知：当时，y的取值范围． 故答案为：． 18. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，进而得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵于的一元二次方程有两个不相等实数根和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根和， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 19. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数中的面积问题． （1）根据待定系数法求抛物线的解析式，即可求出，的值； （2）先求出的值，根据，得出点的纵坐标为，将代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：因为抛物线与轴交于，与轴交于点， 将，代入，得：， 解得：， 故，． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵， ∴点到轴的距离为， ∵点为第一象限抛物线上一点， 即点的纵坐标为， 将代入，得， 即， 解得：（舍去），， 故点的坐标为． 20. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】道路的宽为6米． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 21. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m． (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是的形式．请根据所给的数据求出a，c的值． (2)求支柱MN的长度． (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由． 【答案】（1）y=-x2+6；（2）5.5m；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】 【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N点的坐标为（5，yN）可求出支柱MN的长度． （3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解． 【详解】（1）由题目条件A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0)． 将B、C的坐标代入，得 ， 解得． ∴抛物线的表达式是． (2) 可设N(5,)， 于是． 从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5（m）． (3) 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和， 则G点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3)． 过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则． 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，弄懂题意求得函数解析式是解题的关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低元，平均每天就可以多售出件． 素材3 该公司在实体店的销售价定为80元/件． 据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售该商品的毛利润（元）关于的表达式． 任务2 探究销售方案 若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为多少元？ 任务3 拟定最优方案 当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）最大总毛利润是多少？ 【答案】任务1：；任务2：网上销售的价格应定为元；任务3：当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用——销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． 任务1：利用单件利润乘以销量即可求解； 任务2：求解方程，即可得解； 任务3：利用抛物线的图象与性质先确定x的值，再求解． 【详解】解：任务1： ； 任务2：由题意得， 整理得，即， 解得， ∴， 当若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为元； 任务3： ， ∵符合题意， ∴当，即（元）时，（元）． ∴当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元． 23. 关于的二次函数． （1）若，二次函数图像的顶点坐标为_____； （2）求出二次函数图像的顶点坐标（用含的式子表示），判断顶点是否在直线上； （3）在时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求的值． 【答案】（1）； （2），顶点在直线上； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把二次函数化为顶点式即可； （2）把二次函数化为顶点式，再把顶点坐标代入直线即可； （3）根据自变量的取值范围与对称轴的关系，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，， 顶点坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， 顶点坐标为， 当时，， 顶点在直线上． 【小问3详解】 解：， 对称轴为直线且开口向上， 当时， ， ， ． 解得； 当时， ， ， ， 解得， ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． 综上， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 下列函数中一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 3. 顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程，则下列分析正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 无法判断方程的根的情况 6. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 电影《哪吒2》于春节档上映，首月全球累计票房约35亿元，第三个月全球累计票房约140亿元．若每月累计票房的增长率相同，设增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 代数式的最小值为（ ） A. B. C. D. 没有最小值 9. 两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（ ） A. 26 B. 28 C. 或26 D. 或28 10. 如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（ ） A. 假山上的点B到水平地面的距离为 B. 水平方向上的长度为 C. D. 抛物线与的对称轴相同 二．填空题（共5小题，15分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 12. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为________． 13. 抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于点A、B，则AB＝_____． 14. 对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则_______． 15. 若方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是_____． 三．解答题（共8题，75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为顶点式； （2）在坐标系中画出此抛物线； （3）结合图象，当时，的取值范围_____． 18. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）当时，求的值． 19. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求点的坐标． 20. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 21. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m． (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是的形式．请根据所给的数据求出a，c的值． (2)求支柱MN的长度． (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低元，平均每天就可以多售出件． 素材3 该公司在实体店的销售价定为80元/件． 据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售该商品的毛利润（元）关于的表达式． 任务2 探究销售方案 若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为多少元？ 任务3 拟定最优方案 当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）最大总毛利润是多少？ 23. 关于的二次函数． （1）若，二次函数图像的顶点坐标为_____； （2）求出二次函数图像的顶点坐标（用含的式子表示），判断顶点是否在直线上； （3）在时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $