精品解析：江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

苏苑中学高二数学第一学期10月月考 一、单选题 1. 设为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的各项均为正数，且，则 A. 3 B. C. 1 D. 2 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. 1.5 4. 已知是等比数列的前项和，，则公比（ ） A. B. C. 3或 D. 或 5. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是数列的前项和，，，数列是公比为2的等比数列，则等于（ ） A. 76 B. 108 C. 512 D. 19683 7. 等差数列的前n项和为，公差为，，，当取最小值时，n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 108 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，且存在两项，，使得，则（ ） A. B. C. D. 11. 若无穷数列，存在正整数，对任意，均有，则称数列是弱增数列，下列说法正确的是（ ） A. 公差大于的等差数列一定是“弱增数列” B. 公比大于的等比数列不一定是“弱增数列” C. 若，则数列不是“弱增数列” D. 若，则数列是“弱增数列” 三、填空题 12. 已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则______． 13. 已知在数列中，，，则数列的通项公式为______． 14. 《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.其中隐含了关系式：．类似的，我们可以将一个无限循环小数表示为分数：_____． 四、解答题 15. 已知数列满足：，，． （1）求证：成等比数列； （2）求数列的前项和． 16. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意 都有成立，求正整数的值. 18. 已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的，都有，数列各项都是正整数，，，且数列，，，…，是等比数列. （1）求，； （2）证明：数列是等差数列； （3）求满足的最小正整数n． 19. 若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”. （1）分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项； （2）若数列满足，且的“生成数列”为，求； （3）若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏苑中学高二数学第一学期10月月考 一、单选题 1. 设为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差，∵，且， ∴， 解得. 则， 故选：C. 2. 已知等比数列的各项均为正数，且，则 A. 3 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题得 所以，故选D. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】结合数列的周期性求得正确答案. 【详解】， 所以数列是周期为的周期数列， 所以. 故选：C 4. 已知是等比数列的前项和，，则公比（ ） A. B. C. 3或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得， 则，化简可得，解得或， 故选：D. 5. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】把转化为，得，即是增数列，反之推导即可求解. 【详解】由得，所以， 又，所以是递增数列， 反之，等比数列的各项均为正数，且数列是递增数列，所以，即有， 所以，即， 所以“”是“数列是递增数列”的充要条件. 故选：C 6. 已知是数列的前项和，，，数列是公比为2的等比数列，则等于（ ） A. 76 B. 108 C. 512 D. 19683 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列、通项的特征，再计算前9项和作答 【详解】因数列是公比为2的等比数列，则有，而，， 则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以. 故选：A 7. 等差数列的前n项和为，公差为，，，当取最小值时，n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质和裂项求和方法，求出数列通项，进而求出前项和公式，再根据对勾函数单调性，求出最小值. 【详解】由等差数列的公差为，可得，即， 根据裂项公式可知， 则， 由，代入可得，因为，解得或（舍）； 所以等差数列的首项为3，公差为，则， 则， 设函数，根据对勾函数可知， 在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值； 因为，当时，， 当时，， 可知，所以当时取最小值. 故选：B. 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过数列前项和与项的关系求得数列的通项公式，代入不等式分离参数后构造数列，然后通过作商法求得数列中最大项的值，从而求得结果. 【详解】当，则，即， 当，， 则，即，∴， ∴数列是的等比数列， ∴， ∵，即， ∴， 令数列的通项为， 则， 令，则， 又∵ ∴当，，当，， ∴数列的最大项为， ∴. 故选：B. 二、多项选择题 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可判断. 【详解】因为， 所以，故B选项正确； 因为， 所以，即，故A选项错误； 因为， 所以， 所以，故C选项正确； 因为， 所以，故D选项错误. 故选：BC. 10. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，且存在两项，，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由求出公比，再由，求出和的关系式，然后结合等比数列的定义和求和公式逐项判断即可. 【详解】解：设等比数列的公比为，且 因为，即 化简得： 解得：或（舍去） 对A，因为，所以，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，因为，即，化简得：，又 解得，当，时，，故C错误； 对D，由C知，，故D正确. 故选：BD. 11. 若无穷数列，存在正整数，对任意，均有，则称数列是弱增数列，下列说法正确的是（ ） A. 公差大于的等差数列一定是“弱增数列” B. 公比大于的等比数列不一定是“弱增数列” C. 若，则数列不是“弱增数列” D. 若，则数列是“弱增数列” 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“弱增数列”的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，设等差数列的公差为， 所以， 因为正整数，， 所以，即，故A正确； 对于B，设等比数列的公比为， 所以， 因为正整数，， 所以，当时，，即，故B正确； 对于C，因为， 所以， 因为，，所以单调递增， 所以，当时，恒成立，故C错误； 对于D，因为, 所以， 因为，， 所以当时，，此时，即， 故数列是“弱增数列”，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，可得，根据为等比数列，可求得q值，代入所求，即可得答案. 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 因为为等比数列，且各项都是正数，设公比为， 所以，即， 解得或（舍）， 所以. 故答案为： 13. 已知在数列中，，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】由变形得到，然后利用累加法以及等比数列前项和公式求解即可. 【详解】若中有一个为0， 则得：， 此时有，由，则， 令带入中， 得出， 解得：与矛盾，所以， 由得：， 即， 所以， ， ， ， ， 将上面式子累加得：， 即 所以， 所以， 故答案为：. 14. 《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.其中隐含了关系式：．类似的，我们可以将一个无限循环小数表示为分数：_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，即可列方程，解方程即可求值. 【详解】， ， 令,则,解得， 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列满足：，，． （1）求证：成等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：由题意，， 令，即， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即可证明数列为等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）令，根据已知条件证明为常数即可； （2）由（1）可求得，然后根据分组求和求数列的前项和即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 则 . 16. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过等比数列的基本量运算求出公比，进而求出通项公式； （2）结合（1）求出，然后根据错位相减法求得答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题意得 因为等比数列中 ，又，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ①. ② ①-②得 所以. 17. 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意 都有成立，求正整数的值. 【答案】（1） （2）或4， 【解析】 【分析】（1）由已知求出数列的通项公式，求出的首项和第四项，得到其公比，进一步求其通项公式，则的通项公式可求； （2）由题意，应为数列的最大项．然后求出，再对分类讨论求得满足成立的正整数的值． 【小问1详解】 设的公差为，则， ， 故的通项公式为． 设，则为等比数列． ，， 设的公比为，则，故． 则，即． ． 故的通项公式为． 【小问2详解】 由题意，应为数列的最大项． 由． 当时，，，即； 当时，，即； 当时，，，即 综上所述，数列中的最大项为和． 故存在或4，使，都有成立． 18. 已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的，都有，数列各项都是正整数，，，且数列，，，…，是等比数列. （1）求，； （2）证明：数列是等差数列； （3）求满足的最小正整数n． 【答案】（1），； （2）当时，由得，所以两式相减得， 所以.由知，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列. （3）5. 【解析】 【分析】(1)当时，可求得.当时，可求得； (2) 当时，由得，所以两式相减得，由此可证明数列是首项，公差的等差数列； (3) 由(2)得， 推导出数列是首项为1，公比为2的等比数列，由此可求得通项公式；由，得.设，令得，即.由得.令得，知，所以，可求出满足的最小的正整数. 【详解】(1)当时，，即，，由得. 当时，，即，，由得. （2）略 (3)由(2)得， 由,所以数列的公比， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以. 又，所以，即. 由，得. 设， 则. 令得，即.由得. 令得，知， 所以， 又因为，故当时，， 所以满足的最小正整数n为5. 【点睛】本题考查由数列的前项和得出数列的通项，考查研究新数列是否是等差数列或等比数列求得通项，求解不等式的最小整数，解决的关键是运用数列的函数特征取相邻项作差或作商后判断函数的增减性，得出函数的最值，属于难度题. 19. 若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”. （1）分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项； （2）若数列满足，且的“生成数列”为，求； （3）若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求. 【答案】（1） 数列1，0，3，4的“生成数列”的前4项是1，2，2，3； 数列，，2，的“生成数列”的前4项是0，2，4，4； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据生成数列的定义，对给定数列进行计算，得出“生成数列”的前几项. （2）先分析数列中小于不同数值的项的个数规律，再分为奇数和偶数两种情况讨论，分别设和，找出与的关系，进而得到的表达式. （3）已知是等比数列，得出其通项公式.通过分析和的含义，得到的大小关系.设，根据和与的关系，结合，证明. 【小问1详解】 由生成数列的定义可知：数列1，0，3，4的“生成数列”的前4项是1，2，2，3； 数列，，2，的“生成数列”的前4项是0，2，4，4； 【小问2详解】 为2，4，6，8，， 则中小于1的项的个数，小于2的项的个数， 小于3的项的个数，小于4的项的个数， 小于5的项的个数，小于6的项的个数，， 在中，当n为奇数时，设，， 则小于的偶数有个，所以 在中，当n为偶数时，设，， 则小于2k的偶数有个，所以， 所以； 【小问3详解】 因为为等比数列，且，公比，所以 下面我们来证明： 因为表示中小于k的项的个数，表示中小于的项的个数， 所以易得，即， 设，由，，可得，， 又因为，所以，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $