精品解析：内蒙古自治区包头市青山区第九中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

青山九中九年级数学学科学情摸底测试题 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可． 【详解】一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程 A、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是， ∴A是一元二次方程，符合题意； B、整理得：，是一元一次方程，不符合题意； C、方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、是一元三次方程，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 2. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定为矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，只能判定为平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，只能判定为平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定其为矩形（如等腰梯形的对角线也相等），不符合题意； 故选：A． 3. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；（3）配方后将原方程化为的形式，然后用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 在方程两边同时除以，得：，即， 配方，得：， 即． 故选：D． 4. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程解答即可求解，掌握一元二次方程的解的定义 是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得， 故选：． 5. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故选∶D． 6. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 一元二次方程：的解为：______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程化为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 因式分解得， 由零乘积性质，得或， 即或． 故答案为：或． 10. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型是解题的关键． 设每次降价的百分率为，用含有x的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可． 【详解】解：设药品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件药品每次降价的百分率是． 故答案为： 11. 若分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，可求得，得到，进而求得为等边三角形，得到． 【详解】∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∴，． ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共6个小题，共64分） 13. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法）并能根据具体情况选用适当的方法求解． （1）利用公式法求解即可； （2）将方程右边的多项式移到方程的左边，然后对方程左边的多项式进行因式分解，从而将方程转化为两个一元一次方程，求解即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 14. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【小问1详解】 解：恰好抽到B（滑板）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 15. 用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． （1）用含x的代数式表示的长． （2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）米 （2）能；15 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； 【小问2详解】 解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 16. 如图，在中，，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理得到四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，即可求证． （2）根据菱形对角线互相平分可求出的长，再根据三角形的中位线定理，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 在中，∵，点分别是边的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解： ∵四边形是菱形．，， ∴， ∵D、E分别是边的中点， ∴， ∵， ∴． 17. 年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．某实体店“巳升升”的进价为每件元，若售价定为每件元．则每天能销售件，经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利元，则售价应定为多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设降价元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵要尽量减少库存， ∴， ∴售价应定为元， 答：售价应定为元． 18. 如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． （1）当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） （2）经过多长时间，四边形是矩形？ （3）经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】（1）t， （2） （3）经过5秒或9秒，的长为 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 由题意，得线段， 故答案为：t，； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； 【小问3详解】 解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青山九中九年级数学学科学情摸底测试题 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 3. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 8. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 一元二次方程：的解为：______． 10. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 11. 若分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 12. 如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分） 13. 用适当的方法解方程： （1） （2） 14. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 15. 用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． （1）用含x的代数式表示的长． （2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 16. 如图，在中，，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 17. 年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．某实体店“巳升升”的进价为每件元，若售价定为每件元．则每天能销售件，经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利元，则售价应定为多少元？ 18. 如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． （1）当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） （2）经过多长时间，四边形是矩形？ （3）经过多长时间，PQ的长为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $