第22章 一元二次方程【综合能力测评】2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

2025-2026学年华东师大数学九年级上册 第22章 一元二次方程 综合能力测评 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.小明在解方程 时，只得出一个根是1，他漏掉的一个根是( ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程的一个根是 ，则 的值为( ) A.2 B. C.2或 D. 3.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程.过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) A.只有甲 B.甲和乙 C.甲和丙 D.丙和丁 4.关于的一元二次方程 的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5.如果，那么 的值为( ) A.8 B.6 C.7 D.5 6.如图，矩形绿地的长为、宽为 ，将此绿 地的长、宽各增加相同的长度后，绿地的面积增 加了.设绿地的长、宽增加的长度均为 ， 则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 7.如图，在中， ， ， ，点，分别从点，同时出发，点 以 的速度沿向点运动；点以 的速度沿 向点 运动.当一点停止运动时，另一点也停止运动. 当四边形的面积为时，点 运动的时间为( ) A. B. C. D. 8.对于两个不相等的实数，，规定符号，表示， 中的较大值.如:，，，.若， ，则 的值是( ) A.5 B.5或 C.或 D.5或 9.已知的三边长，， 都是正整数，且满足，则 的周长是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 10.将关于的一元二次方程变形为 ，就可以将表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 ,我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知且 ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.将一元二次方程化为一般形式为_______ . 12.新趋势·条件开放已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个满足题意的 的值:_____________________________. 13.一个两位数个位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字与十位上的数字的平方和为13，则这个两位数为____. 14.已知一元二次方程的两根为,,则 ______. 15.如图是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”，按照此规律继续 摆下去，第____个“小屋子”中图形“ ”的个数是图形“ ”个数的3倍. 三、解答题（共70分） 16.解下列一元二次方程： （1）（4分） ； （2）（4分） . 17.（6分）先化简，再求值：，其中， 是方程 的两个根. 18.（8分）已知关于的一元二次方程 . （1）求证:无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根. （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求 的值. 19.（8分）建设美丽城市，改造老旧小区.某市2022年投入资金1 000万元，2024年投入资金1 440万元，现假定每年投入资金的增长率相同. （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率. （2）2024年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加 .若投入资金年增长率保持不变，则该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？ 20.（9分）如图是一块矩形菜地 ， ，，面积为 .现将 边增加 . （1）如图1，若，边减少 ，得到的矩形面积不变，求 的值; （2）如图2，若边增加，有且只有一个 的值，使得到的矩形面积为，求 的值. 21.（9分）根据要求，解答下列问题． （1）解下列方程（直接写出方程的解即可） ①方程 的解为______________； ②方程 的解为______________； ③方程 的解为_____________________； …… （2）根据以上方程及其解的特征，请猜想： ①方程 的解为_____________________； ②关于的方程____________________________的解为, ． （3）请用配方法解方程 ，以验证猜想结论的正确性． 22.（10分）我们定义：若关于的一元二次方程 有两个 实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”. （1）求证：方程 是倍根方程. （2）若是倍根方程，求 的值. （3）若一元二次方程 是倍根方程，求，， 之间的数量关系. 23.（12分）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品的售价和为500元． （1）A,B两种产品的销售单价分别是多少元? （2）随着 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 ,B产品产量将在去年的基础上减少，但B产品的销售单价将提高 ，则今年A,B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求 的值． 参考答案 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11. 12.0 （答案不唯一，即可） 13. 14. 15.12 16.（1）解：,移项，得， 配方，得,即，得, ,.（4分） （2）, ,,,， ，，.（4分） 17.解：.（3分） ，是方程的两个根， ，， 原式.（6分） 18.（1）证明：已知， .（2分） 无论取何值，都恒成立， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根.（4分） （2）解:，是方程的两个实数根， ，， ，（6分） 解得，.（8分） 19.（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，依题意 得，， 解得，（舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．（4分） （2）设该市在2025年可以改造个老旧小区， 依题意得，，解得. 为整数，的最大值为18． 答：该市在2025年最多可以改造18个老旧小区．（8分） 20.（1）解：，变化后长方形的面积为. ，边减少，得到的矩形面积不变， ，解得．（4分） （2），变化后长方形的面积为， ，， ，， . 有且只有一个的值满足条件， ，， 解得,（舍去）（注意：,则 ,而矩形菜地边增加,边增加，增加面积为,但 ，故不符合题意），．（9分） （1）①, ②, ③,（3分） （2）①,（4分） ②（6分） （3）解：移项，得． 配方，得，即， 直接开平方，得，,， 中的猜想是正确的．（9分） 22.（1）证明：，即， 或，解得，， ， 方程是倍根方程.（3分） （2）解：，，. 又是倍根方程， 或，或．（6分） （3）解： 一元二次方程是倍根方程， 设方程的两根分别为，. 根据题意得，，， ，，．（10分） 23.（1）解：设B产品的销售单价为元，则A产品的销售单价为 元. 根据题意，得， 解得,. 答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元.（5分） （2）设去年每个车间生产产品的数量为件， 根据题意，得 , 设，则原方程可化简为, 解得,（舍去）,.（12分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $