九年级数学上学期第一次月考·培优卷（华东师大版，举一反三）

九年级数学上学期第一次月考·培优卷 【华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：二次根式~一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 3．（3分）（2025·河南郑州·模拟预测）下列关于的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级下·河北沧州·期末）若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（3分）（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（   ）    A．6 B． C． D． 8．（3分）（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 9．（3分）设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 10．（3分）（24-25九年级下·重庆·阶段练习）已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·湖南长沙·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．（3分）关于的一元二次方程有一个根是1，则的值是 ． 13．（3分）（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知a，b满足，则 ． 14．（3分）（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当 时，． 15．（3分）设正整数a、m、n满足．则 ． 16．（3分）（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）若a，b，c均为非零实数，且，则的最小值为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： (1)； (2) 18．（6分）（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程： (1) (2) 19．（8分）（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 20．（8分）（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 21．（10分）（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 22．（10分）（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 23．（12分）（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 24．（12分）（24-25九年级上·全国·期末）阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期第一次月考·培优卷 【华东师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 2．（3分）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 3．（3分）（2025·河南郑州·模拟预测）下列关于的方程中一定有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解． 【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； D、根的判别式，符合题意； 故选：． 4．（3分）（24-25八年级下·河北沧州·期末）若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．通过选择不同运算符使结果有理数，需逐一验证各选项的可能性． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、， ， ， ， 无论中间是哪种运算符号，运算结果均不为有理数，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 5．（3分）（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：． 6．（3分）（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，分别填入加减乘除在圆圈里面，根据二次根式的相关计算法则求出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：； ； ； ； ∴“○”中可以填的符号是或， 故选：C． 7．（3分）（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（   ）    A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的面积与边长的关系、二次根式的运算及长方形面积的计算，解题的关键是根据正方形面积求出边长，结合摆放方式确定长方形的长和宽，进而通过面积差求出空白部分面积． 先由正方形面积求出边长（分别为和）；根据“尽量撑满长方形”可知长方形的长为两正方形边长之和，宽为较大正方形的边长；计算长方形面积与两正方形面积和的差，得到空白部分面积． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为12和18， ∴它们的边长分别为和． ∵要将两张正方形不重叠无缝隙地放入长方形且尽量撑满， ∴长方形的长为两个正方形边长之和，即，宽为较大正方形的边长． ∴长方形的面积为 ． ∵两张正方形纸片的面积和为， ∴空白部分的面积为． 故选：D． 8．（3分）（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 9．（3分）设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99． 【详解】∵ = =， ∴S=+++ …+ = = =100-， ∴不大于S的最大整数为99． 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础． 10．（3分）（24-25九年级下·重庆·阶段练习）已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出即可判断①；设，则，从而可得，解方程即可判断②；不防设为奇数，为偶数，则为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，即可判断③；根据题意计算出即可判断④． 【详解】解：∵，，为方程的两根， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或，故②错误； ∵对于整数，，若为奇数， ∴不防设为奇数，为偶数， ∴为奇数， 每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，故在操作过程中，得到的一定为奇数，故③正确； ∵，， ∴， 选和，则， 选和，则， 选和，则， 此时， 故要使得成立，则至少为4，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·湖南长沙·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：若代数式有意义，则， 解得， 故答案为：． 12．（3分）关于的一元二次方程有一个根是1，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案． 【详解】解：将代入，得， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据二次根式的性质化简所给的二次根式是解答本题的关键．先利用二次根式化简，然后分、和，两种情况解答即可． 【详解】解： ， ， 当，时，原式； 当，时，原式； 即． 故答案为：． 14．（3分）（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当 时，． 【答案】 【分析】 首先观察新定义的运算规律，根据新运算可得关于的一元二次方程； 利用公式法解一元二次方程可得方程的两个根. 【详解】解：由题意可得． 整理得 ， 解得． 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点为新定义和解一元二次方程，解题的关键是根据新定义得出正确的一元二次方程并进行求解． 15．（3分）设正整数a、m、n满足．则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的应用，本题通过等式两侧的完全平方，再根据，，分别为正整数即可求出其值．熟知二次根式的性质是关键 【详解】解：两边分别完全平方得： ， 则， 由以上求得， 又因为，为正整数，由题意， 所以，或，， 又因为，，为正整数， 所以，，． 故答案为：3． 16．（3分）（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）若a，b，c均为非零实数，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查因式分解和一元二次方程的判别式．解题的关键是将待求代数式，用一个字母进行表示，构造出一元二次方程． 根据，得到，，将转化为用表示的式子，构造一个以为两个根的一元二次方程，再转化为含字母的一元二次方程，根据方程有两个根，得到，求出的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵a，b，c均为非零实数，且， ∴，， ∴， ∵b，c是方程的两根， 方程有两个实数根， 则，即 ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 即的最小值为9， 故答案为：9． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式减法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（6分）（24-25九年级上·广东惠州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解方程时依据方程的特点选择恰当的解法是解方程的关键． （1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， 则， ∴， ∴， 所以． （2）解：， ∴， ∴或， ∴． 19．（8分）（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 20．（8分）（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 21．（10分）（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；② (3)， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可； （2）①根据有理化因式得到，，即可比较大小； ②仿照题意根据分母有理化的方法得到，再把所求式子裂项求解即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， ， 故答案为：，； （2）解：①，， ，， ， ， ， 故答案为：； ②∵ ， ． （3）解： ， ， ， ， ，， ． 22．（10分）（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）首先判断出两根均大于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴． 23．（12分）（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 24．（12分）（24-25九年级上·全国·期末）阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】(1)①②或3 (2)该方程的“关爱码”为或 (3)2 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$