精品解析：贵州省贵阳市第六中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

贵阳市第六中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（ ）cm. A. B. C. D. 4. 已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ） A. 78 B. 92 C. 100 D. 122 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 8. 天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台 和正六棱锥 P-ABCDEF组合而成，其中 若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA₁ 的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小值为2，无最大值 C. 函数在上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）. A. 曲线关于直线对称 B. 若，则时到轴距离的最大值为 C. 若，如图，则 D. 若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内 三、填空题（本大题共3小题） 12. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________. 13. 在中，，AC边上的中线，则面积的最大值为______． 14. 在四面体中，且，点分别是线段，的中点，若直线平面，且截四面体形成的截面为平面区域，则的面积的最大值为__________. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的面积的最大值. 17. 如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.是半圆柱的母线,分别是底面直径BC和的中点,是半圆上一动点,是半圆上的动点,是圆柱的母线，延长至点使得为的中点,连接,构成三棱锥. （1）证明:; （2）当三棱锥的体积最大时,求平面与平面的夹角. 18. 小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为，小勇胜小勤的概率为（其中是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时）．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． （1）求； （2）若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分的分布列和数学期望； （3）若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其它两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间（含第6分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率． 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如： ，，，，，，．正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以； （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第六中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合B再求出交集. 【详解】， ∴，则， 故选A． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则在上的投影向量为. 故选：D. 3. 美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（ ）cm. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长，求出弦长后由勾股定理求得 【详解】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长， 所以， 所以， 故选：C. 4. 已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得函数关于点对称，结合单调性可得函数在上单调递增，再转化不等式为，由单调性即可列不等式得解集. 【详解】因为，则，所以函数关于点对称， 又函数在单调递增，所以函数在上单调递增， 即函数在上单调递增， 不等式转化为， 所以，即，解得， 故不等式的解集为. 故选：C. 5. 将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ） A. 78 B. 92 C. 100 D. 122 【答案】C 【解析】 【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解. 【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种， 当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种. 综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是. 同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50. 故不同的分配方法数是. 故选：C 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】由， 因此， 故选：B 7. 已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列的单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数. 【详解】对于①，时，，， 时，；时，，也有，故①为真命题. 对于②，时，，， 当时，，，不严格递减； 当时，，，不严格递减； 当时，， 若，则， 同理当时，， 则存在，使得， 则，，不严格递减. 综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可. 8. 天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台 和正六棱锥 P-ABCDEF组合而成，其中 若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA₁ 的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由组合体的外接球的体积可求得半径，因为，可得球心的位置，记正六边形的中心为，可求得，进而可求得. 【详解】因为组合体的外接球的体积为，设球的半径为，所以 所以外接球的半径，因为，所以球心O与正六边形 的中心重合， 记正六边形的中心为，因为 所以 所以. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的共轭复数的定义，复数的几何意义以及模长公式、复数的乘法法则计算即可逐一判断. 【详解】对于A，复数的共轭复数即，故A正确； 对于B，复数对应的点为位于第一象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因，则，，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小值为2，无最大值 C. 函数在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义，判断A，利用导数判断函数的单调性，判断B，根据AB的结果，判断CD. 【详解】A.，即，所以函数是偶函数，的图象关于轴对称，故A正确； B.当时，，，所以在单调递增，，且是偶函数，所以函数的最小值为2，无最大值，故B正确； C.由AB可知，在单调递减，在上单调递增，故C错误； D. 不等式，两边平方得，得，故D正确. 故选：ABD 11. 在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）. A. 曲线关于直线对称 B. 若，则时到轴距离的最大值为 C. 若，如图，则 D. 若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内 【答案】BCD 【解析】 【分析】设点，求出曲线的方程，利用曲线的对称性可判断A选项；当时，变形可得出，解关于的不等式，可判断B选项；分析可知，当时，直线与曲线有两个交点，数形结合可判断C选项；在曲线的方程中，令，当时，化简曲线的方程可得出，令，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可判断D选项. 【详解】设点，则， 对于A选项，点关于直线的点为， 因为， 即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，A错； 对于B选项，当时，曲线的方程为， 当时，则，则， 所以，，可得，可得， 对于不等式，即，显然该不等式恒成立， 对于不等式，即，解得， 因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，B对； 对于C选项，点关于直线的对称点为， 因为， 即点在曲线上，故曲线关于直线对称， 如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点， 当时，在曲线的方程中，令，可得，可得， 所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示： 显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点， 则曲线与线段相切， 由，可得，则，可得， 且当时，方程为，解得，合乎题意， 综上所述，，C对； 对于D选项，若曲线与轴正半轴交于， 则，则有， 当时，令可得，整理可得， 即， 令，其中， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 因为，，则， 所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想方法，由已知求出轨迹方程，是难题；根据曲线的定义求出曲线方程，难点将交点问题转化为函数图象的公共点问题，数形结合，即可得出结论. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16， 由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为. 故答案为：8 13. 在中，，AC边上的中线，则面积的最大值为______． 【答案】24 【解析】 【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值． 【详解】设，， 由于， 在和中应用余弦定理可得： ，整理可得：， 结合勾股定理可得的面积： ， 当且仅当时等号成立． 则面积的最大值为24． 故答案为：24. 14. 在四面体中，且，点分别是线段，的中点，若直线平面，且截四面体形成的截面为平面区域，则的面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，将四面体置于长方体中，使分别为面对角线，再利用线面垂直和性质、面面平行的性质确定平面区域形状，结合三角恒等变换及三角形面积公式列式，借助基本不等式求出最大值. 【详解】依题意，四面体拓展为长方体，，如图， 设，则有，解得， 由点分别是线段的中点，得，而平面，则平面， 又直线平面，于是平面， 设平面与的交线分别为， 平面与平面分别交于，则，同理， 因此，同理，即四边形为平行四边形，且， 在中，， ， 则，设，则， 由，得，由，同理得， 因此，平行四边形围成一个平面区域，其面积为， ，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据给定条件，把四面体置于长方体，借助长方体的结构特征是求解的关键. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【小问1详解】 由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． 【小问2详解】 由题意及（1），可得， 则 ． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简计算即得. （2）由（1）及余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，根据三角形面积公式得到面积最大值. 【小问1详解】 由题意得，， 由正弦定理，可得， ， ， ，. 【小问2详解】 ， 由余弦定理， 所以，当且仅当时取等号， 的面积的最大值为. 17. 如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.是半圆柱的母线,分别是底面直径BC和的中点,是半圆上一动点,是半圆上的动点,是圆柱的母线，延长至点使得为的中点,连接,构成三棱锥. （1）证明:; （2）当三棱锥的体积最大时,求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 因为平面平面ABC， 所以,又平面, 所以平面,又平面, 所以. （2） 【解析】 【分析】(1)通过证明平面即可证明. (2)通过基本不等式求解三棱锥的体积最大值，进而求出点位置，然后建系,通过向量求出平面与平面的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为且, 所以当且仅当取等，此时点的位置刚好在半圆弧的中点. 因为两两垂直,如图,以点为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量，则令，则. 由(1)知平面，所以是平面的一个法向量，故 所以平面与平面所成角的余弦值为，所以平面与平面的夹角为. 18. 小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为，小勇胜小勤的概率为（其中是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时）．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． （1）求； （2）若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分的分布列和数学期望； （3）若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其它两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间（含第6分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为 （3）小勇状态见解析，最大概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据条件概率计算得分对应概率可得分布列，根据分布列可计算概率； （3）按照比赛时间分类讨论可得达成何种状态时概率最大. 【小问1详解】 小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． 所以，即， 则，所以，或（舍去）．则． 【小问2详解】 定义事件：小勇与小勤比分为，：小勇最终得分为，则的可能取值为：0，1，2， ， ； ； 则小勇的得分的分布列为： 0 1 2 ． 【小问3详解】 当包括换下时间时，每局比赛花1.5分钟或2分钟结束， 则6分钟内小勇与小勤打了完整两局，小勇与小忠打了完整一局，另一局可能是完整的． ①小勇与小勤打2分钟时， 先赢一球，再主动认鍮，再赢一球的概率最高，为； ②小勇与小勤打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； ③小勇与小忠打2分钟时，赢一球，再主动认输，再赢一球的概率最高，为； ④小勇与小忠打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； 小勇与小忠最后一颗球所用时间由前三局决定，前三局有局1.5分钟结束， 则最后一局打分钟，其中． 若小勇与小忠第一局打了1.5分钟，则最后一局多一颗球，多加一场要留在场上的概率， 故认为概率最大时，小勇与小忠第一局打了2分钟，即． 时，则第四局小勇可以连输两球，此时； 时，小勇最后1球可不赢，此时，； 时，； 综上，最大概率为，最佳状态是与小勤打2局：每局均1.5分钟，均获胜， 同时与小忠至少打两局：第一局为2分钟，获胜. 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如： ，，，，，，．正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以； （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果； （3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以， 因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1，3，7，9，所以， 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，， ，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即； 【小问2详解】 ， ， 两式相减得 ， ； 【小问3详解】 由（2）可知 ， 得恒成立， 令， 则， 可得；当时，，当时，， 所以的最大值为， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $