精品解析：福建省莆田市莆田第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

莆田一中2025-2026学年度上学期10月月考试卷 高二数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数公式直接计算即可. 【详解】由解析式知，所以. 故选：B 2. 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 是函数的极小值点 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象求出函数的单调区间，然后根据极值点和极值的概念逐项判断即可. 【详解】由图可知时，，所以函数在上单调递增，故A错误； 由图可知时，，所以函数在上单调递增， 不是函数的极小值点，故B错误； 由B选项可知函数在上单调递增， 由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值， 故C错误；D正确． 故选：D 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 5. 已知函数，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义可得为奇函数，再通过求导分析函数的单调性即可解不等式. 【详解】由题意，函数的定义域为. 因为， 所以函数为奇函数. ， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 又因为，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增. 由，得，即， 所以，解得. 故选：C. 6. 点是曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离计算即可. 【详解】因为， 令，所以， 易得函数在上单调递增，为零点，此时M的坐标为， 由点到直线的距离公式可得此时M到直线的距离为， 故点到直线的距离的最小值为. 故选:C 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 8. 已知是定义在上的偶函数，且，若在单调递增，则满足的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据原函数与导函数奇偶性的关系可得是上的奇函数，利用平移可得的性质，再分情况解不等式即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，两边求导得，即 所以是上的奇函数，且为增函数， 而的图象相当于把的图象向右平移1个单位， 则当时，，当时，， 所以原不等式等价于或， 解得． 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，则，A正确； 对于B中，，则，B错误； 对于C中，，则，C错误； 对于D中，，则，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C. 点是曲线的对称中心 D. 在区间上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出零点判断A；求出切线方程判断B；利用函数图象变换，结合奇函数性质判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由，得或，函数的零点只有2个，A错误； 对于B，设过原点作曲线的切线切点为，， 切线方程为，则， 即，整理得，解得，即切线只有一条，B正确； 对于C，，的图象可由的图象向右平移 一个单位长度，向上平移2个单位长度得到，又为奇函数，图象关于原点对称， 则的图象关于对称，而，即点是曲线的对称中心，C正确； 对于D，由，得在区间上的值域不是，D错误. 故选：BC 11. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极值的定义可得，进而求出可判断A；结合函数的单调性判断B；代式计算判断C；由，可得，再结合函数的单调性可得，进而得到，再验证可得，进而判断D. 【详解】由，则， 则函数的定义域为， 则，， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 此时， 则， 令，得或； 令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确； 由上述可知函数在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 由， 则， ， 所以，故C正确； 因为，，则， 又函数在上单调递增，则， 所以， 又， 则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 对函数求导，再解不等式，既得答案. 【详解】因为函数，可得 因为，所以当，解得 故答案为： 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，属于简单题. 13. 已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果. 【详解】，有极值前提 ． 或 ． 当时，函数，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去. 同理，当时，经验证，满足条件. 则. 故答案为：11. 14. 已知函数的图象与函数的图象关于y轴对称，若的图象与直线恰有两个交点，则k的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象的对称性求出的表达式，将问题转化为方程在上有两个不同的解，构造函数，利用导数研究单调性和极值求出的取值范围. 【详解】因为函数与函数的图象关于y轴对称， 所以， 若的图象与直线恰有两个交点，则方程在上有两个不同的解， 等价于在上有两个不同的解， 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，， 要使得在上有两个不同的解，则， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求a，b的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）求导，求出和，通过点斜式可得切线方程； （2）求导，确定函数单调性，通过确定极值和端点值的大小来确定最值. 【小问1详解】 函数，， 由题意得：. 解得： 【小问2详解】 由（1）知，， 令，解得： 列表如下： x (，2) 2 (2，e) e 0 + 2e－2 ↘ ln2 ↗ 由上表可知，函在区间[上的最大值是，最小值是. 16. 已知函数 （1）求出的极值点，零点，并画出的大致图象； （2）证明：. 【答案】（1）极小值点，无极大值，零点为1， （2） 令，则， 当时，，即单调递减， 当时 ，，即单调递增， 所以，即， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数的正负得到单调性和极值，结合单调性判断零点，画图； （2）令，利用导数判断单调性极值，得证. 【小问1详解】 由，则，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值点为，无极大值； 又，，，，， 所以函数的零点为1. 【小问2详解】 略 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若，判断函数零点的个数. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，不存在单调递减区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）2 【解析】 【分析】（1），对分类讨论即可求解； （2）由导数得出函数单调性，结合零点存在定理即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立，令，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 当时，令，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 当时，令不存在，， 此时在上单调递增，不存在单调递减区间， 当时，令，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，不存在单调递减区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，由（1）可知， 在上单调递减，在上单调递增， 注意到，，， 结合零点存在定理和单调性可知，函数零点的个数为2. 18. 已知函数. （1）若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若对任意恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，将问题转化为导函数小于零有解，分离参数构造新函数研究其单调性、最值计算即可求参； （2）构造差函数，借助端点效应先必要性探路，分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由题意可知在上有解， 即在上有解，令， 易知， 令，则，显然时， 则， 所以时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增， 所以，故； 【小问2详解】 因为恒成立，即恒成立， 设，即恒成立， 令，则， 令，则， 显然在R上单调递增， 若，则， 所以在上单调递增，即， 则在上单调递增，即，满足题意； 若，令，有，所以在上单调递减， 所以，则在上单调递减，即， 与前提矛盾； 综上所述：. 19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. （1）若，判断是否为上的“3类函数”； （2）若为上的“2类函数”，求实数的取值范围； （3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，. 【答案】（1）是上的“3类函数” （2） （3） 因为为上的“2类函数”，所以， 不妨设， 当时，； 当时，因为， ， 综上所述，，，. 【解析】 【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可； （2）由已知条件转化为对于任意，都有，，只需且，利用导函数研究函数的单调性和最值即可. （3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可. 【小问1详解】 对于任意不同的， 有，，所以， ， 所以是上的“3类函数”. 【小问2详解】 因为， 由题意知，对于任意不同的，都有， 不妨设，则， 故且， 故为上的增函数，为上的减函数， 故任意，都有， 由可转化为，令，只需 ，令，在单调递减， 所以，，故在单调递减， ， 由可转化为，令，只需 ，令，在单调递减， 且，，所以使，即， 即， 当时，，，故在单调递增， 当时，，，故在单调递减， ， 故. 【小问3详解】 略 【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田一中2025-2026学年度上学期10月月考试卷 高二数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 是函数的极小值点 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 点是曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且，若在单调递增，则满足的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C. 点是曲线的对称中心 D. 在区间上的值域为 11. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间是__________. 13. 已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 14. 已知函数的图象与函数的图象关于y轴对称，若的图象与直线恰有两个交点，则k的取值范围为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求a，b的值； （2）求函数在区间上的最值． 16. 已知函数 （1）求出的极值点，零点，并画出的大致图象； （2）证明：. 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若，判断函数零点的个数. 18. 已知函数. （1）若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若对任意恒成立，求a的取值范围. 19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. （1）若，判断是否为上的“3类函数”； （2）若为上的“2类函数”，求实数的取值范围； （3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $