2.2.1 不等式及其性质（第一课时）教案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该教案聚焦不等式概念、5个性质及作差法比较大小，以高速公路指示牌实例引入，引导学生从实际问题抽象不等关系，衔接初中知识，结合数轴直观理解实数大小比较，构建作差法学习支架。 亮点在于情境贴近生活，培养数学眼光（抽象能力、几何直观），如指示牌实例抽象不等关系，数轴辅助理解。性质证明引导自主推导，发展逻辑推理（数学思维），作差法步骤归纳提升数学语言表达。启发式与讲授法结合，助学生掌握重点，教师使用能清晰把握脉络，提升课堂效率。

课题 2.2.1不等式及其性质（第一课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）必修第一册 章节 第二章第二部分第一小节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 【教学目标】 1. 理解不等式的概念. 2. 掌握不等式5个性质. 3. 掌握作差法比较大小. 【教学重难点】 1. 掌握不等式5个性质（重点） 2. 掌握作差法比较大小.（难点） 教学方法和手段 教学方法：启发法、讲授法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 情景 引入 知识 讲解 知识点1：不等式的性质 知识点二：作差法 创设问题情境：你见过下图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1（单位：km/h，下同）应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足什么条件？ 学生回答：60≤v2≤100 教师讲解：不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号“≠”“＞”“＜” “≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 在不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”．事实上，任意给定两个实数a，b，那么 a≥b⇔a＞b或a＝b； a≤b⇔a＜b或a=b. 教师引导：怎样理解两个实数之间的大小呢? 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。一般地，如果点 P 对应的数为x，则称x为点P 的坐标，并记作 P(x)。 另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小，如图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出b>1>0>a. （教师引导学生观察实数的大小与数轴上点的运动的关系） 此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离，由此你能看出什么结论？ 学生独立分析，思考后回答：要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了。 教师补充： 用式子表示为： 这就是比较实数大小的三个基本事实，其中符号“⇔”表示充要条件。 教师提问：初中学过的不等式有哪些性质？利用前面的知识，结合数轴给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明. （学生回忆，先自行尝试进行证明，再通过小组交流、教师点拨的方式，给出严谨的解答） 学生回答： 性质1 如果a>b，那么a+c>b+c. 性质2 如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3 如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质1在数轴上可以理解为：点A和B'的相对位置保持不变； 证明： 性质1：因为 (a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b，且 a＞b， 所以a-b＞0，从而 (a+c)-(b+c)＞0； 因此 a+c>b+c. 性质2：因为ac－bc＝（a－b）c， 又因为a＞b，所以a－b＞0，而c＞0，因此（a－b）c＞0， 因此ac－bc＞0，即ac＞bc． 性质3：因为ac－bc＝（a－b）c， 又因为a＞b，所以a－b＞0，而c＜0，因此（a－b）c＜0， 因此ac－bc＜0，即ac＜bc． 教师布置任务：你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： 学生思考后回答： （1）a＞b是a＋c＞b＋c的充要条件； （2）如果c＞0，则a＞b是ac＞bc的充要条件； （3）如果c＜0，则a＞b是ac＜bc的充要条件． 教师讲解：在不等式的证明与求解中，还经常用到以下不等式的性质： 性质4 如果a＞b,b＞c,那么a＞c (传递性) 性质5 如果a＞b⇔b＜a (对称性) 对于性质4，直观上，如下图所示，点A在点B的右侧，点B在点C的右侧，因此点A必定在点C的右侧. 证明： 性质4 ：因为a－c＝(a－b)+(b－c)，又因为a＞b，所以a－b＞0； 且b＞c，所以b－c＞0，因此(a－b)+(b－c)＞0，从而a－c＞0， 即a＞c． 教师引导：对于性质5，只要利用a－b= -（b－a）就可以证明，大家试着给出证明过程. （学生独立思考，根据提示在演算纸上进行证明，展示答案，教师点评） 教师补充：不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母． 例1：比较 x2－x 和 x－2 的大小. 【师生活动】学生独立完成，教师给出解答示范，并在此基础上点出作差法，总结作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤. 【解析】因为(x2－x)－(x－2) = x2－2x+2 = (x－1)2+1， 又因为 (x－1)2 ≥ 0，所以 (x－1)2+1≥1>0， 从而(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2. 教师总结：前面我们证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法。 作差法比较两式大小的步骤： (1)作差.对要比较大小的两个实数(或式子)作差； (2)变形.对差进行变形（通常用配方法）； (3)判断差的符号.结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)得出结论. 选取实际问题，力图贴近学生生活实际，让学生模仿、类比写出客车和货车行驶速率满足的不等式，能够让学生在实际问题中找到不等关系，抽象成数学问题。 强调“≥”“≤”的重要性，加强学生的理解。 借助数轴，培养学生数形结合能力，直观感受比较大小的原则，有助于学生从形的角度思考问题。 渗透化归与转化的数学思想。 不等式的性质1，2，3，初中是通过归纳得到的。高中学习时，要求学生对其进行直观解释和逻辑证明，逐渐提升学生的代数推理能力，发展直观想象和逻辑推理素养。 引导学生深入辨析不等式的性质1,2,3用逻辑用语描述相应的性质，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养。 当堂 达标 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 巩固学生对所学知识的理解和掌握，并帮助他们将所学知识熟练运用。 课堂 总结 1.定义 用不等号连接的式子叫做不等式. 2.性质 性质1 如果a>b，那么a+c>b+c(可加性). 性质2 如果a>b，c>0，那么ac>bc（可乘性）. 性质3 如果a>b，c<0，那么ac<bc（可乘性）. 性质4 如果a>b，b>c，那么a>c（传递性）. 性质5 a>b⇔b<a(对称性). 3.作差法： 通过比较两式之差的符号来判断两式的大小. 4.作差法比较两式大小的步骤： (1)作差.对要比较大小的两个实数(或式子)作差； (2)变形.对差进行变形（通常用配方法）； (3)判断差的符号.结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)得出结论. 概括学习要点，检查学习效果，引导思考和问题解决。 板书设计 一、标题 2.2.1 不等式及其性质（第一课时） 二、不等式性质 性质1 如果a>b，那么a+c>b+c(可加性). 性质2 如果a>b，c>0，那么ac>bc（可乘性）. 性质3 如果a>b，c<0，那么ac<bc（可乘性）. 性质4 如果a>b，b>c，那么a>c（传递性）. 性质5 a>b⇔b<a(对称性). 三、作差法 通过比较两式之差的符号来判断两式的大小. 作差法比较两式大小的步骤. 四、总结 · 本节课我们学习了不等式的五个基本性质和作差法，这些性质是后续学习不等式相关知识和解决不等式问题的基础。 五、练习与思考 · 提供一些练习题，让学生巩固所学的不等式性质和推论。 · 引导学生思考不等式的性质在实际问题中的应用。 这个板书设计以清晰、简洁的方式呈现了不等式的五个性质，方便学生理解和记忆。同时，通过示例和练习题，学生能够更好地掌握和应用这些性质。 教学设计反思 一、教学内容回顾 本节课主要介绍了不等式的五个性质和作差法，加强学生对不等式性质的理解和应用。 二、教学效果评估 1. 优点： 1. 教学内容条理清晰，按照从基础到进阶的顺序展开，有助于学生逐步理解不等式的性质。 2. 通过具体示例的讲解，使得抽象的不等式性质具体化，便于学生理解和记忆。 3. 课堂上注重与学生的互动，通过提问和讨论的方式激发学生的思考，增强学习效果。 2. 不足： 2. 教学过程中可能存在部分学生对某些性质的理解不够深入，需要在后续的教学中加强巩固。 2. 部分学生在应用不等式性质解决问题时显得较为困难，需要在练习和作业中增加相应的指导。 2. 课堂时间有限，未能对所有性质进行深入的拓展和延伸，可能导致部分学有余力的学生感觉内容不够丰富。 三、教学策略反思 1. 引入环节： 2. 在引入不等式性质时，可以通过更多实际问题的例子来激发学生的学习兴趣，使他们更加主动地参与到学习中来。 2. 可以通过简单的数学游戏或竞赛来引入不等式的概念，让学生在轻松愉快的氛围中开始本节课的学习。 2. 讲解过程： 2. 对于每个性质，除了给出定义和示例外，还可以引导学生自己总结归纳出该性质的一般规律，加深对性质的理解。 2. 在讲解过程中，要注重与学生的互动，鼓励学生提出问题，并及时解答学生的疑惑。 2. 对于较为抽象的性质，可以通过图形、图像等直观方式帮助学生理解。 3. 练习环节： 2. 练习题的设计要具有层次性，从基础到进阶，逐步提高学生的解题能力。 2. 对于学生在解题过程中出现的问题，要及时进行反馈和指导，帮助学生找到问题所在并纠正错误。 2. 鼓励学生在课堂上展示自己的解题思路和方法，促进同学之间的交流和学习。 4. 拓展延伸： 2. 对于学有余力的学生，可以提供一些拓展性的阅读材料和题目，以满足他们的学习需求。 2. 可以引导学生将不等式性质应用到实际问题中去解决问题，提高数学的应用能力。 四、未来教学改进方向 1. 加强对学生基础知识的巩固和提高，确保每个学生都能熟练掌握不等式的性质。 2. 增加课堂互动和讨论的机会，激发学生的学习兴趣和积极性。 3. 针对不同层次的学生设计不同的教学方案和练习题，以满足他们的个性化学习需求。 4. 注重数学与实际问题的联系，引导学生将数学知识应用到实际生活中去解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $