精品解析：重庆鲁能巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

重庆鲁巴中学2026届初三数学10月月考 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（ ） A. 中央电视台《开学第一课》的收视率 B. 某城市居民6月份人均网上购物的次数 C. 即将发射的气象卫星的零部件质量 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 4. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（　 　） A. B. C. D. 6. 蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，．．．，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（ ） A. 59 B. 67 C. 75 D. 96 7. 如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，连接并延长交于点．线段与交于点G，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中n为自然数，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为 ②若且为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是_______． 12. 如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为_______． 13. 已知，则整数的值为__________． 14. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到225人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______％． 15. 如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若圆O的半径为2，，则____， _____． 16. 我们规定：若一个四位正整数M的各个数位上的数字均不为0，且其千位数字与百位数字之和为10，十位数字与个位数字之差为1，则称A为“长假数”．将“长假数”M的前两位数与后两位数交换得到，且，例如：四位数2832，∵，∴2832为“长假数”，且．按照这个规定，最小的“长假数”是_______；若M是“长假数”，是7的倍数，且为完全平方数，则满足条件的M的值是_______． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为了提升公众对人工智能（）安全与伦理的认知，某科技公司举办了“安全与伦理”知识讲座，并在讲座结束后进行了知识测试，成绩采用百分制，90分及以上为优秀．现从群众组和学生组各随机抽取20名参与者的成绩进行整理与分析（成绩用x表示，单位：分，且成绩为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息：群众组被抽取的参与者测试成绩为：52，59，65，67，70，72，73，74，74，81，83，83，90，91，92，92，92，94，97，99；将学生组被抽取的参与者测试成绩绘制成了扇形统计图，如图所示，其中D组的所有数据为：80，82，84，88．群众组和学生组被抽取的参与者测试成绩统计表 组别 平均数 众数 中位数 优秀率 群众组 80 a 82 学生组 80 91 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中： ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为是群众组还是学生组对“AI安全与伦理”知识掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若群众组有2700人，学生组有2400人，估计此次“AI安全与伦理”知识测试中成绩为优秀的一共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 列方程解下列问题： 学校义卖活动，是展现创意的好机会，更是学习生活的精彩瞬间．学生小鲁制作的笔记本和文件夹凭借出色的设计，一推出就圈粉无数．已知每个笔记本的成本比每个文件夹的成本多2元，2个笔记本和3个文件夹的成本相同、 （1）请问每个笔记本和每个文件夹的成本各是多少元？ （2）当这两款学习用品的销售额都为400元时，笔记本比文件夹少售出10个．若每个笔记本的售价比每个文件夹的售价高25％，则每个文件夹的售价是多少元？ 22. 如图，在矩形中；，动点P从点E出发，沿E→C→D 运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动．速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出时x 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： （1）求的距离（结果保留根号）； （2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， 与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点Q，点M，N分别是y轴、抛物线对称轴上一动点，且轴，连接，．当取最大值时，求P点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，使抛物线经过点P，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接，点T为抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出求解点T的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，等边中，点E是射线上一动点，在射线上截取，连接、． （1）如图1，若点E在线段上，与相交于点O，求的度数； （2）如图2，若点E在线段的延长线上，点P为线段的中点，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）若点E在线段上运动，与相交于点O，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接，将绕点E逆时针旋转至所在的平面内，得，点K是线段上一点，点H是的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆鲁巴中学2026届初三数学10月月考 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； B. 该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（ ） A. 中央电视台《开学第一课》的收视率 B. 某城市居民6月份人均网上购物的次数 C. 即将发射的气象卫星的零部件质量 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可． 【详解】A、中央电视台《开学第--课》 的收视率适合采用抽样调查方式，故不符合题意； B、某城市居民6月份人均网上购物的次数适合采用抽样调查方式，故不符合题意； C、即将发射的气象卫星的零部件质量适合采用全面调查方式，故符合题意； D、某品牌新能源汽车的最大续航里程适合采用抽样调查方式，故不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的比例系数，熟练掌握以上知识点是解题的关键，将代入求值即可． 【详解】解：由题意，将代入， 得：， 解得：， 故选：B． 5. 如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵A，B，C是上的三点，， ∴． 故选：B 6. 蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，．．．，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（ ） A. 59 B. 67 C. 75 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类的规律探索，观察可知，后面一个图形比前面一个图形多8根小棒，据此规律求解即可 ． 【详解】解：第①个图案用了根小棒，第②个图案用了根小棒，第③个图案用了根小棒，第④个图案用了根小棒， ......， 以此类推可知，第n个图案用的小棒根数是， ∴第⑧个图案用的小棒根数是，   故选：B ． 7. 如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及三角形面积的计算；掌握利用坐标表示线段长度并结合面积公式求出的绝对值是解题的关键．通过设点A坐标，利用反比例函数性质得到，结合平行于轴确定点B坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到 ，确定反比例函数表达式． 【详解】设点A的坐标为，因为点A在反比例函数的图像上，所以满足，即， 由于平行于x轴且交y轴于点B，则点B与点A的纵坐标相同（均为b），且点B在y轴上（横坐标为0），因此点B的坐标为， 的三个顶点坐标分别为、、， 的长度为点A与点B的水平距离，即； 点O到的垂直距离为所在直线到原点的距离，即， 根据三角形面积公式，的面积为：面积底高， 化简得：， 由于，因此，即或， 反比例函数的表达式为或， 结合选项，因此最合理的表达式为． 8. 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过抛物线与轴的交点判定方程根的情况，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，以及数形结合的数学思想． 根据二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号，即； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴， 该选项错误，不符合题意； B.根据对称轴得，，即， 整理得，该选项错误，不符合题意； C.当时，， ∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； D.∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，连接并延长交于点．线段与交于点G，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据正方形和翻折的性质证明，根据勾股定理及等面积法求出相关线段的长度，然后进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由翻折的性质得，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由等面积法得， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知整式M：，其中n为自然数，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为 ②若且为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】解：①根据题意得，当时，没有比1小的正整数，不符合题意； 当时，或符合题意， ∴有整式的和为； ∴选项①正确，符合题意； ②当时，； 当时，或； 当时，或或或； 当时，或 或 ； 当时，； M有且仅有11个， ∴选项②错误，不符合题意； ③第一种情况：，当时，， ∴此时，整式有1个； 第二种情况：，当时，， 当时，， ∴此时，整式有2个； 第三种情况：，当时，， 当时，或， 当时，， ∴此时，整式有4个； 第四种情况：，当时，， 当时，或或， 当时，或或， 当时，， ∴此时，整式有8个； 第五种情况：，当时，， 当时，或或或， 当时，或或或或或， 当时，或或或， 当时，， ∴此时，整式有16个； ∴选项③错误，不符合题意； 正确的选项是①， 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是掌握概率计算公式． 利用概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：从袋子中随机摸出1个球，摸出黄球的概率是， 故答案为：． 12. 如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为_______． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 根据两直线平行，同位角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知，则整数的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．根据题意估算的大小，进一步可以得出答案． 【详解】解：， ， m为正整数，且， ． 故答案为：6． 14. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到225人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______％． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设周平均增长率为，根据增长后的人次，列出方程求解即可． 【详解】解：设周平均增长率为，根据题意得， 解得，（负值已舍）， 即周平均增长率为， 故答案为：50． 15. 如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若圆O的半径为2，，则____， _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． ①连接，根据切线的性质及含角的直角三角形的性质，求出相关边长，再根据勾股定理进行求解即可； ②过点作于点，判定出是等边三角形，得出，判定是的中位线，得出相关线段的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切， ∴， ∵，圆O的半径为2， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 又∵F为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 由勾股定理得； 故答案为：． 16. 我们规定：若一个四位正整数M的各个数位上的数字均不为0，且其千位数字与百位数字之和为10，十位数字与个位数字之差为1，则称A为“长假数”．将“长假数”M的前两位数与后两位数交换得到，且，例如：四位数2832，∵，∴2832为“长假数”，且．按照这个规定，最小的“长假数”是_______；若M是“长假数”，是7的倍数，且为完全平方数，则满足条件的M的值是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义，涉及整式的加减的运算，二元一次方程的解，不等式的性质，熟练掌握新定义是解题的关键：由题意，长假数要最小，则千位数字和个位数字均为1，根据新定义，求出最小的长假数为1921，设，求出，根据是7的倍数，且为完全平方数，推出，进而求出，即可得出结果． 【详解】解：由题意，长假数要最小，则千位数字和个位数字均为1， 故百位数字为，十位数字为， 故最小的长假数为； 设，则：， ∴，， ∴， ∴， 由题意可知：，， ∴，， ∴， ∵是7的倍数，且为完全平方数， ∴或63， 又∵均为整数，，， ∴或（不符合题意，舍去） ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】4和5 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求解集范围内的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤． 先利用解一元一次不等式组的步骤求出其解集，再确定解集内的整数即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴不等式组的解集为，整数解为4和5． 18. 学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 【答案】 如图，作平分交于点 ①；②；③;④相等 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 作平分交与点，根据得到，根据角平分线定义得到，，因此，即可证明，得到，因此等腰三角形两腰上的高线的长度相等． 【详解】略 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为了提升公众对人工智能（）安全与伦理的认知，某科技公司举办了“安全与伦理”知识讲座，并在讲座结束后进行了知识测试，成绩采用百分制，90分及以上为优秀．现从群众组和学生组各随机抽取20名参与者的成绩进行整理与分析（成绩用x表示，单位：分，且成绩为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息：群众组被抽取的参与者测试成绩为：52，59，65，67，70，72，73，74，74，81，83，83，90，91，92，92，92，94，97，99；将学生组被抽取的参与者测试成绩绘制成了扇形统计图，如图所示，其中D组的所有数据为：80，82，84，88．群众组和学生组被抽取的参与者测试成绩统计表 组别 平均数 众数 中位数 优秀率 群众组 80 a 82 学生组 80 91 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中： ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为是群众组还是学生组对“AI安全与伦理”知识掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若群众组有2700人，学生组有2400人，估计此次“AI安全与伦理”知识测试中成绩为优秀的一共有多少人？ 【答案】（1）92，81，35 （2） 群众组对“安全与伦理”知识掌握得更好，理由如下： 因为两个组成绩的平均数相同，但群众组的众数、中位数和优秀率均高于学生组，所以群众组对“安全与伦理”知识掌握得更好（答案不唯一）； （3）1920人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，样本估计总体以及中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）根据众数和中位数的定义即可求出a、b的值，根据优秀率的定义可得m的值； （2）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：群众组20名参与者的成绩中92出现的次数最多，故众数， 学生组A组有（人），B组有（人），C组有（人）， 把学生组20名参与者的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，82，故中位数b81， 学生组的优秀率为： ，即， 故答案为：92，81，35； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：估计此次“安全与伦理”知识测试中成绩为优秀的一共有1920人． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及负整数指数幂，零指数幂，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握分式的化简． 先求出的值，再化简分式，然后代数求值即可． 【详解】解：， 将代入上式得， 原式． 21. 列方程解下列问题： 学校义卖活动，是展现创意的好机会，更是学习生活的精彩瞬间．学生小鲁制作的笔记本和文件夹凭借出色的设计，一推出就圈粉无数．已知每个笔记本的成本比每个文件夹的成本多2元，2个笔记本和3个文件夹的成本相同、 （1）请问每个笔记本和每个文件夹的成本各是多少元？ （2）当这两款学习用品的销售额都为400元时，笔记本比文件夹少售出10个．若每个笔记本的售价比每个文件夹的售价高25％，则每个文件夹的售价是多少元？ 【答案】（1）每个笔记本的成本是6元，每个文件夹的成本是4元； （2）8元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设每个笔记本的成本是x元，每个文件夹的成本是y元，根据每个笔记本的成本比每个文件夹的成本多2元，2个笔记本和3个文件夹的成本相同，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设每个文件夹的售价是m元，则每个笔记本的售价是元，根据当这两款学习用品的销售额都为400元时，笔记本比文件夹少售出10个，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每个笔记本的成本是x元，每个文件夹的成本是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个笔记本的成本是6元，每个文件夹的成本是4元； 【小问2详解】 解：设每个文件夹的售价是m元，则每个笔记本的售价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个文件夹的售价是8元． 22. 如图，在矩形中；，动点P从点E出发，沿E→C→D 运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动．速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出时x 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 函数图象如下： 函数先随的增大而增大，再随的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了分段一次函数和反比例函数的结合，画出函数图象，根据图象交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握两个函数的图象和性质． （1）根据题意，确定自变量的取值范围，列出解析式即可； （2）利用描点法画出函数图象即可，根据图象确定函数的性质； （3）联立解析式，确定函数的交点横坐标，然后根据图象确定不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵， ∴, ∵四边形是矩形， ∴, 当时，； 当时，； 即； ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，；当时，；当时，； 即三个端点的坐标为，连接线段即可得出函数图象，但是根据实际情况，取不到端点，故为空心； 函数先随的增大而增大，再随的增大而减小； 【小问3详解】 解：如图所示， 联立两个函数的解析式得， 当时，解得； 当时，解得，（舍去）； ∴当时，或． 23. 如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： （1）求的距离（结果保留根号）； （2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）海里 （2）海里 【解析】 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作，交的延长线于点，假设，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； （2）设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据距离的关系列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 假设， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的距离为海里； 【小问2详解】 解：设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据题意得， , ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， 与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点Q，点M，N分别是y轴、抛物线对称轴上一动点，且轴，连接，．当取最大值时，求P点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，使抛物线经过点P，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接，点T为抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出求解点T的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），最小值为 （3）：或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解解析式即可． （2）如图，延长交轴于，证明，可得，求解直线为，设，利用二次函数的性质求解，连接，而直线为，抛物线的对称轴为直线，可得，当三点共线时，最小，再进一步求解即可． （3）求解平移后的抛物线为：，证明，此时重合，如图，过作交的延长线于，交的延长线于，过作轴于，过作轴于，证明，可得，求解直线为：，进一步可得，同理可得： 直线为，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点， 与y轴交于点C． ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于， ∵， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵，， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 设， 则，， ∴ ， 当时，增大， ∴， 连接，而直线为，抛物线的对称轴为直线， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 最小值为：． 【小问3详解】 解：∵， 抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，使抛物线经过点P， ∴平移后的抛物线为：， 抛物线的对称轴为直线：， ∴，此时重合， 如图，过作交的延长线于，交的延长线于，过作轴于，过作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 同理可得：， 直线为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，线段和的最值问题，全等三角形的判定与性质，求解两个函数的交点坐标，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 如图，等边中，点E是射线上一动点，在射线上截取，连接、． （1）如图1，若点E在线段上，与相交于点O，求的度数； （2）如图2，若点E在线段的延长线上，点P为线段的中点，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）若点E在线段上运动，与相交于点O，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接，将绕点E逆时针旋转至所在的平面内，得，点K是线段上一点，点H是的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 解：， 理由：如图，延长使得，连接，， ∵点P为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴是等边底边上的中垂线，即， ∴， 即， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，得到，再利用三角形内角和定理可得出； （2）延长使得，连接，，证明，得出，，再证明，得出，，进而证得是等边三角形，利用等边三角形的中垂线定理求得最终结果； （3）利用构造圆找出点O的位置使得的距离最小，并用勾股定理求出的距离，再根据题意作出对应的图象，利用已知条件求出的距离，最后即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知，， ∴由定弦定角可知，点O的轨迹在上， 如图，以为边作等边，此时等边的外心即为外接圆的圆心M， 过点M作，设的半径为2， ∴，， 在中，，由勾股定理得：， ∴，则， 根据题意作出以为边作等边， ∴当F，M，O三点共线时，的最小值为， 过点M作， 由等边外接圆中的垂径定理可知，，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 如图，根据题意作出此时旋转后和翻折后的图象，过点H作于点L， ∵H为中点，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ∴，则， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，圆的相关知识及动点求最值的问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $