福建省漳州第一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（10月）

2025-2026学年上学期10月份练习 九年级数学习题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（) A.ax2+bx+c=0 B.x2-2=(x+3)2 c.x2+3-5=0 D.x2-1=0 2.下列说法正确的是() A.菱形的对角线相等 B.矩形的对角线互相垂直 C.邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3.将抛物线y=2(x-1)+3先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为() A.y=2(x+1)2+2B.y=2(x-3)2+4C.y=2(x+1)2+4D.y=2(x-3)2+2 4.己知点A(0,y)和点B(3,y2)在二次函数y=(x-1)2的图象上，则y与y2的大小关系是() A.4>y2 B.y=y2 C. D.无法确定 5.己知二次函数y=2+bx+c的变量x,y的部分对应值如表： -3 -2 -1 0 … -11 -5 -1 11 根据表中信息，可得一元二次方程2+br+c=0的一个近似解x1的范围是() A.-3<x1<-2B.-2<x1<-1 C.-1<x1<0 D.0<x1<1 6.某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为y万元，如果每月平均增长率为x,那么y与x的函数 关系式是() A.y=100(1+x)2B.y=100+100×2xC.y=100+100x3xD.y=1001+1+x)+Q+x)门 7.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D,C分别落在D',C的位置.若∠EFB=65°，则∠DEF等于(). A.45 B.65 C.60° D.55 8。如图，在平行四边形中，以点D为圆心，CD的长为半径作弧交AD于点G,分别以点C,G为圆心，大于CG 的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线DE交BC于点F,交CG于点O,若AB=13,GC=24,则DF的长为() A.10 B.5 C.12 D.15 G E 第7题图 第8题图 第9题图 9.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E,F分别为边AB,BC的中点，连接AF,DE,G,H分别为DE,AF 的中点，连接GH,则GH的长为() A② B.1.5 C.2 D.2 2 10.已知点A(,y),B(x2,y2)为抛物线y=ax2-4x+1(a>0)上的两点，当t<x<t+1,t+2<x2<t+3时，下列 选项正确的是() A.若t≤0，则<y2B.若t≥1，则y<y2C.若0<t≤1时，都有y=y2D.若t>2,存在y=y2 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.抛物线y=一x2+1的顶点坐标是 12.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,CD是AB边上的中线，则CD的长度为 13.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则 △AOE与△DOF的面积之和为 14.若三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程x2-7x+10=0的一个根，则这个三角形的周长是· 15.己知函数y=2+4x+4的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为 16.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC,点F是CD的中点，则 EF的最大值为 第12题图 第13题图 第16题图 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17.(8分)解下列一元二次方程。 (1)(x-5)=8(x-5) (2)2x2-4x-3=0 l8.(8分)如图，已知口ABCD,延长AB到E,使BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD.求证：四边形BECD 是矩形 19.(8分)已知关于x的方程x2-4x+2k+1=0, (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程有两个实数根x,x2,且x2-2x,-2x2+9=0,求k的值. 20.(8分)证明：对角线相等的菱形是正方形 21.(8分)己知点O在∠MAN的平分线AP上 (I)尺规作图：求作菱形ABCD,使∠MAN为菱形的一个内角，且点O为它的对称中心（不写做法，但要保留作 图痕迹) (2)已知OA=3,∠MAN=60°，求菱形ABCD的面积。 22.(10分)我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x-35=0 为例，构造方法如下：首先将方程x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为x+2,宽为x的矩形，按如 图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为(x+x+2),还可表示为四个矩形与 一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4.因此，可得新方程(x+x+2)=144.因为x表示 边长，所以2x+2=12,即x=4,遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根. x+2 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0,请将其解答过程补充完整： +2 第一步将原方程变形为+-1=0，即(-）1： 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形： X+2 图2 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ,解得原方程的一个根为 【拓展应用】一般地，对于形如x2+=b的一元二次方程可以构造图2来解。 己知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数αb分别是多少？求 得方程的正根又是多少呢？ 23.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) (1)当F2时， ①若该函数图像的对称轴为直线=1，且过点(0,3)，求该函数表达式： ②若方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥一1； （2》若数=子号已知点2号+4号+小当=次函勤=m+x+的阔很与线段a附交点时，直接写出a的 22 取值范围 24.(12分)综合与实践：数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究. 课题：设计与优化某综合建筑体的楼栋间的连廊顶部结构 材料1：如图1是某综合建筑体的楼栋间的连廊，其顶部为抛物线段，抛物线最高点离地面的距离为7m.两边是与 地面垂直且高度相等的支撑柱，支撑柱的高度为3m,连廊的宽度为8m. 材料2：半圆形的顶部设计在跨度小（不超过10m)时比抛物线更稳定，尤其适合砖石或者传统砌体结构，而且相 比较抛物线，其模板简单（固定半径），施工简捷，成本较低， 【任务1】确定连廊形状：如图2为连廊的横截面示意图，其中AED为连廊顶部的抛物线段，点E为最高点，AB, CD为两边的支撑柱，以BC所在的直线为x轴，以过点E且垂直于BC的直线为y轴，单位长度为lm建立平面直 角坐标系，请求出AED的函数解析式， 【任务2】探索最优方案：如图2，为了进一步固定连廊，准备在顶部支撑柱上架横梁PN,利用某种材料搭建成一 个矩形脚手架PON(其中P2,MN,PN用到材料)，所用材料单价为100元m.为了做好充分的预算，请你计 算搭建这个脚手架最多需要花费多少元？ 【任务3】优化连廊结构：工程师决定将顶部抛物线AED改为半圆弧AED,其中圆弧顶端E到地面的距离仍为7m, 宽BC为8m.现有一巨型货架要通过连廊，且沿着连廊中心线方向居中通过，货架的宽度为4.8，求货架顶部到 地面的最大允许高度. 图1 图2 图3 25.(14分)(1)如图1，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN,∠MAN=45°， 将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,易证：△AM≌△ANE,从而得到DM、BN与 MN之间的数量关系 【实践探究】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F在对角线BD上，且∠EAF=45°，请你猜想线段BE,EF, FD之间的数量关系，并证明. 【拓展】(3)如图3，正方形ABCD的边长为10，点P为边CD上一点，PE⊥BD于E,Q为BP中点，连接CQ并 延长交BD于点R,且Br=EP,请求出PD的长 5 图3