精品解析：天津市宝坻区第一中学2025-2026学年高三上学期第一次练习数学试卷

宝坻一中2025-2026学年度第一学期高三年级第一次练习数学科自试卷 一､单选题（共50分） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集的运算即可求解. 【详解】解：， ， 故选：B． 2. “”是“为第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】易知，所以 为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角， 显然不满足充分性，满足必要性. 故选：B 3. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择. 详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】 . 故选：C 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“”即可比较大小. 【详解】，， . 综上，． 故选：B. 6. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. 直线是函数图象的对称轴 B. 在区间上有两个极值点 C. 在区间上单调递减 D. 函数的图象可由向左平移个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代入法判断A，利用整体换元法判断B，利用三角函数的单调性判断C，利用三角函数平移的性质判断D即可. 【详解】因为函数的图象关于点中心对称，所以， 可得，结合，得，所以． 对于A，， 所以直线不是函数图象的对称轴，故A不正确； 对于B，当时，， 所以函数在区间上只有一个极值点，故B不正确； 对于C，当时，， 所以函数在区间上单调递减，故C正确； 对于D，左移个单位长度后得到，故D错误． 故选：C． 7. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（ ）升粟. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列列式计算即得. 【详解】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列， 设马主人应偿还升粟，则，解得， 所以马主人应偿还升粟. 故选：C 8. 等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式可求得的值，由等差数列的性质可求得值，利用等比数列的性质求得的值，即可求的值. 【详解】因为数列是等差数列，且，所以，解得， 由等差数列的性质可得， 因为2，，，，8成等比数列，所以，解得， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 9. 已知函数在区间上单调，且满足．给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①； ②若，则函数的最小正周期为； ③关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解； ④若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①利用函数关于点对称，即可得出答案.②利用函数关于轴对称，再结合①即可得出答案.③利用函数在区间上单调，即可求出周期的取值范围，当取最小值时，实数解最多，求出其实数解即可判断.④利用函数在区间上恰有个零点结合①可得出，再结合在区间上单调时，即可得出的取值范围. 【详解】①因为且，所以.①正确. ②因为所以的对称轴为, .②正确. ③在一个周期内只有一个实数解，函数在区间上单调且，. 当时，，在区间上 实数解最多为共3个.③正确. ④函数在区间上恰有个零点，，解得； 又因为函数在区间上单调且，，即，所以.④错误 故选：C 10. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 二､填空题（共40分） 11. 复数的模为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可. 【详解】． 故答案为： 12. 已知平面向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】，因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】把看作整体，根据诱导公式五求解 【详解】设，由题意得，， 根据诱导公式五，. 故答案为： 14. 在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理和正弦和角公式得，进而得，，再计算面积即可. 【详解】解：解法1：， 又， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，又，∴， ∵， ∴，． 解法2：由射影定理，，又由题意，， ∴， ∴， ∵，∴， 又， ∴，． 故答案为： 15. 如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】取优弧所在圆的圆心，连接，易得，进而结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该“水滴”的面积为． 故答案为：. 16. 已知且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值． 【详解】解：令，，因为，所以， 则，，所以, 所以 ， 当且仅当，即，，即时取“”， 所以的最小值为. 故答案为：. 17. 已知函数且满足则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】函数有意义，由，解得， 即的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 且， 函数和都是上的增函数，所以为上的增函数， 由，得， 则有，解得， 同时有，解得， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 18. 在中，是边的中点，是线段的中点.设，试用表示为___________；若的面积为，则当___________时，取得最小值. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据向量加减法的线性运算即可求解，由的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值时、的值，再利用余弦定理求出的值． 【详解】是边的中点，是线段的中点，则， 所以 如图所示，中，， 所以的面积为， 所以； 所以 ； 当且仅当时取等号， 所以的最小值为6； 所以此时，，， 所以， 所以． 故答案为：；2． 三､解答题（共60分） 19. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，． （1）求和的值； （2）求三角形BC边的中线长； （3）求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）确定锐角，求得，由余弦定理求得，再由正弦定理得； （2）在中由余弦定理求得中线， （3）确定是锐角，求得，由二倍角公式求得，然后由两角和的正弦公式求值． 【详解】（1）在中，因为，故由，可得． 由已知及余弦定理，有，所以. 由正弦定理,得. 所以，的值为，的值为. （2）设BC边的中点为D，在中， 由余弦定理得:， （3）由（1）及，得，所以， ． 故． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算． 20. 已知数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，， （2）的最小值，最大值. 【解析】 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简，由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程， （2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值． 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为． 令，，解得，， 所以函数图象的对称轴方程为，， 【小问2详解】 当时，，则，进而可得， 当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值. 21. 已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且 （1）求的通项公式 （2）设是数列的前项和，求； （3）设是的前项的积，求证：. 【答案】（1）； （2） （3） 由题意有， 所以，所以， 要证，只需证， 即证， 令，所以， 由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以， 即，所以. 【解析】 【分析】（1）由求出公比，进而得，利用即可求； （2）由（1）有，利用分组求和即可求解； （3）要证，只需证，即，令，即证即可. 【小问1详解】 由题意有，所以，即， 所以，所以公比， 所以， 由，所以，即， 当时，由有， 所以，当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）有， 所以； 【小问3详解】 略 22. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最大值是，求的值； （3）设函数，若有两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 由题意得，函数的定义域为，且， 又，令， 因为函数有两个极值点，，则，是方程的两个根， 所以，即，且，， 所以 ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）求出函数的单调性，即可得到，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出的值； （3）求出函数的导函数，令，依题意，是方程的两个根，由，，得到且，，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 当时，则，. 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，又. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以的最大值为， 故，整理得到，其中， 设，，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻一中2025-2026学年度第一学期高三年级第一次练习数学科自试卷 一､单选题（共50分） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“为第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. 直线是函数图象的对称轴 B. 在区间上有两个极值点 C. 在区间上单调递减 D. 函数的图象可由向左平移个单位长度得到 7. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（ ）升粟. A. B. C. D. 8. 等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 2 9. 已知函数在区间上单调，且满足．给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①； ②若，则函数的最小正周期为； ③关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解； ④若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（共40分） 11. 复数的模为__________． 12. 已知平面向量，若，则______． 13. 已知，则______． 14. 在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为_______． 15. 如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为______. 16. 已知且，则的最小值为___________. 17. 已知函数且满足则实数a的取值范围为______． 18. 在中，是边的中点，是线段的中点.设，试用表示为___________；若的面积为，则当___________时，取得最小值. 三､解答题（共60分） 19. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，． （1）求和的值； （2）求三角形BC边的中线长； （3）求的值． 20. 已知数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在的最大值和最小值． 21. 已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且 （1）求的通项公式 （2）设是数列的前项和，求； （3）设是的前项的积，求证：. 22. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最大值是，求的值； （3）设函数，若有两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $