精品解析：江苏省无锡市宜兴市宜城中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

宜兴市宜城中学2025-2026学年秋学期 八年级数学 第一次小练习 一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌标志图，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 2. 根据下列条件分别作三角形，作出的三角形不一定全等的是（ ） A. 已知两边及它们的夹角 B. 已知两个角和它们的夹边 C. 已知三条边 D. 已知三个角 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法得到不能作出唯一三角形的选项即可． 【详解】解：A、根据可得能作出唯一三角形，不符合题意； B、根据可得能作出唯一三角形，不符合题意； C、根据可得能作出唯一三角形，不符合题意； D、已知三个角不能作出唯一的三角形，符合题意； 故选：D． 3. 如图，，，则下列判断正确的是（ ） A. 平分 B. 平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定， 依据“”判定和全等，根据全等三角形性质得，再说明是线段的垂直平分线，即可判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 可知B正确； 不能说明平分，所以A不正确； ∵， ∴是线段的垂直平分线， 所以C，D不正确. 故选：B． 4. 若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 符合要求的值为7， 故选：B． 5. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等的判定定理：逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ，故B选项不符合题意； C、∵ ， ∴，故C选项不符合题意； D、，，不能判断，故D选项符合题意， 故选：D． 6. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据所学的数学知识，理解判定解答即可． 本题考查了命题的判定，正确判定命题是解题的关键． 【详解】A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，不符合题意； B. 一个直角三角形可以分成一个三角形和一个四边形，错误，符合题意； C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，不符合题意； D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，正确，不符合题意； 故选：B． 7. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 8. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选A 9. 如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则，  由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 故选：D． 10. 如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误． 【详解】解：是等边三角形， ，． ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． ， ；故①正确． ， ，即． ， ． ， ；故②正确． ③如图，作的平分线交于点K，则， ， ． ，即． ， ． 是等边三角形． ． 在和中， ． ． ． ；故③正确． ， ，，． 由③得，， ． ． ． ． ． ． ，故④错误． 故正确的有，3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分） 11. 如图，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差关系求得的长即可． 【详解】解：， ． 又， ． 故答案为：． 12. 如图，在中，，是的中点，交于点，的周长是，则的长为_____． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，由是的中点，得垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，由的周长，最后代入即可求解，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质及整体思想的应用． 【详解】∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，，则_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“角角边”证明，可得，再根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故答案为：6. 14. 三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴a的取值范围是：，即． 故答案为：． 15. 在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则∠B＝_____． 【答案】50°或20°或80° 【解析】 【分析】分∠A是顶角，∠B是顶角，∠C是顶角三种情况，根据等腰三角形的性质和内角和定理求解． 【详解】已知等腰△ABC中∠A＝80°， 若∠A是顶角，则∠B＝∠C， 所以∠B＝(180°﹣80°)＝50°； 若∠B是顶角，则∠A＝∠C＝80°， 所以∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°； 若∠C是顶角，则∠B＝∠A＝80°． 故答案为50°或20°或80°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 16. 如图，是的角平分线，，．过点作，垂足为，若，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，，，， ， ， 故答案为：． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_______． 【答案】63°或27° 【解析】 【分析】等腰三角形分锐角和钝角两种情况，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数： 【详解】有两种情况： （1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°， ∵∠ABD=36°， ∴∠A=90°-36°=54°. ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=×（180°-54°）=63°. （2）如图 当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°， ∵∠HFE=36°， ∴∠HEF=90°-36°=54°， ∴∠FEG=180°-54°=126°. ∵EF=EG， ∴∠EFG=∠G=×（180°-126°）=27°． 【点睛】考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；分类思想的应用． 18. 如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∴当时，取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数，负指数幂，乘方，整式的混合运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算乘方，零次幂，负指数幂，再进行加减计算即可； （2）先运用完全平方公式和平方差公式，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 20. （1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组． （1）先去括号，再移项、合并同类项，系数化为1即可求解； （2）先分别求解两个不等式，再写出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 去括号，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是． 21. 如图，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键。根据证明即可得出结论。 【详解】略． 22. 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 【答案】 证明：在和中， ， ，即， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． 【详解】略 23. 的三边长分别为a，b，c． （1）化简； （2）若为整数，c为整数，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系应用，化简绝对值，整式的加减运算，方程组的解法，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形三边关系可判断出，，，再化简绝对值即可； （2）根据为整数，为整数，a，b，c为的三边长，得出， 即，根据，或或，得出或或，然后分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵为整数，为整数，a，b，c为的三边长， ∴， ∴， ∵，或或， ∴或或， 当时，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当时，不符合题意，舍去， ∴， 即， ∴的周长为． 24. 如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： （1）在图1中，作的平分线； （2）在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． ； （2） ①如图，折痕即为所求； ②10 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、作垂线，中垂线的性质； （1）根据作角平分线的方法步骤画图即可； （2）①根据尺规作垂线的方法作图即可； ②根据作图知，，利用三角形周长公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 故答案为：10． 25. 如图，在中，的平分线与的中垂线交于点E，过点E作边的垂线，垂足N，过点E作延长线的垂线，垂足为M． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，，由题意易得，，进而可证，然后问题得解； （2）由（1）得：，进而可证，则有，然后根据线段的和差关系可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定定理、线段垂直平分线的性质定理及角平分线的性质定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理、线段垂直平分线的性质定理及角平分线的性质定理是解题的关键． 26. （1）【问题】 已知：如图，在中，点D为BC边上一点，．EF垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF当，时，求的度数． （2）【探究】 若把“问题”中的条件“”去掉，其它条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由． （3）【拓展】 若把“问题”中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，则______． 【答案】（1）45°；（2）45°；（3）α 【解析】 【分析】（1）连接AD，AF，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠BAD的度数，利用线段垂直平分线的性质可得∠CAF=∠C，结合三角形的内角和定理可求得∠AFB及∠C的度数，进而可求解； （2）类比（1）的解法可求解； （3）类比（1）的解法可求解． 【详解】解：（1）连接AD，AF， ∵AB=BD，∠B=30°， ∴， ∵EF垂直平分AC， ∴∠CAF=∠C， ∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=90°， ∴∠AFB=90°−30°=60°， ∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C， ∴∠C=∠CAF=30°， ∴∠CAD=∠ADB−∠C=75°−30°=45°； （2）不会改变； 理由如下： 连接AD，AF， ∵AB=BD， ∴， ∵EF垂直平分AC， ∴∠CAF=∠C， ∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=90°， ∴∠AFB=90°−∠B， ∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C， ∴∠C=∠CAF=45°−∠B， ∴∠CAD=∠ADB−∠C=90°−∠B−(45°−∠B)=45°， 故的度数不会改变； （3）连接AD，AF， ∵AB=BD， ∴， ∵EF垂直平分AC， ∴∠CAF=∠C， ∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°，∠BAF=α， ∴∠AFB=180°−α−∠B， ∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C， ∴∠C=∠CAF=90°−α−∠B， ∴∠CAD=∠ADB−∠C=90°−∠B−(90°−α−∠B)=α． 故答案为：α． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，利用类比推理求解是解题的关键． 27. 如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． （1）当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； （2）当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）①补全图形如图1所示， ； ②证明：如图2，在上截取，连接， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）①按要求补全图形即可；先证明是等边三角形得到，进而，再根据等角对等边得到，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论； ②如图2，在上截取，连接，证明是等边三角形得到，，则，再证明得到，进而利用可得答案； （2）分当点A在点E右边时和当点A在点E左边时两种情况，利用等边三角形的性质和全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ①解：如图1所示， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴； 当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜兴市宜城中学2025-2026学年秋学期 八年级数学 第一次小练习 一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌标志图，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列条件分别作三角形，作出的三角形不一定全等的是（ ） A. 已知两边及它们的夹角 B. 已知两个角和它们的夹边 C. 已知三条边 D. 已知三个角 3. 如图，，，则下列判断正确的是（ ） A. 平分 B. 平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 4. 若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 7. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 8. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分） 11. 如图，，，，则______． 12. 如图，在中，，是的中点，交于点，的周长是，则的长为_____． 13. 如图，，则_______________． 14. 三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 15. 在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则∠B＝_____． 16. 如图，是的角平分线，，．过点作，垂足为，若，则的面积为_____． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_______． 18. 如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1） （2） 20. （1）解方程： （2）解不等式组： 21. 如图，．求证：． 22. 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 23. 的三边长分别为a，b，c． （1）化简； （2）若为整数，c为整数，且满足，求的周长． 24. 如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： （1）在图1中，作的平分线； （2）在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 25. 如图，在中，的平分线与的中垂线交于点E，过点E作边的垂线，垂足N，过点E作延长线的垂线，垂足为M． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. （1）【问题】 已知：如图，在中，点D为BC边上一点，．EF垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF当，时，求的度数． （2）【探究】 若把“问题”中的条件“”去掉，其它条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由． （3）【拓展】 若把“问题”中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，则______． 27. 如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． （1）当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； （2）当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $