精品解析：福建省宁德市福鼎市第二中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

福鼎二中2025-2026学年第一学期第一次月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义和空集的定义逐项判断. 【详解】对于A，空集不含任何元素，故，故A错误； 对于B，空集不含任何元素，而集合含有一个元素0，二者不相等，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，0是一个元素，而是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误. 故选：C. 2. 集合的子集有（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】有个元素的集合，子集个数为. 【详解】集合含有3个元素，故子集个数为, 故选：D. 3. 命题“”否定是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出结论. 【详解】由特称命题的否定是全称命题可知：命题“”的否定是. 故选：A 4. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件定义求解即可. 【详解】解出，下列选项可以推出的有C、D选项， 而C选项为充要条件，且推不出D选项， 故选：D. 5. 某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的人数是（　　） A. 16人 B. 20人 C. 14人 D. 6人 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦恩图可求两种竞赛都参加的人数. 【详解】如图所示，设集合A为参加数学竞赛的同学构成的集合，集合B为参加化学竞赛的同学构成的集合，两种竞赛都参加的人数为，则，解得, 故选：C. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得. 【详解】由原式得且，解得，即不等式的解集为. 故选：B 7. 不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解，注意讨论的情况. 【详解】当时，不等式即恒成立，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：C 8. 如图，在正方形中，在上，在上，的面积为1，则面积的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由面积为得到，从而利用割补法求得关于的关系式，利用基本不等式求即可求得最值. 【详解】设，则由，故，所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，即面积的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．部分选对部分得分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式性质可判断AD，结合在单调递减可判断C，取可判断B. 【详解】由题意，， 选项A，由不等式性质，，故，正确； 选项B，当时，，错误； 选项C，由在单调递减可判断，正确； 选项D，由等式性质，可得，正确. 故选：ACD 10. 不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的解集结合韦达定理即可判断. 【详解】由不等式的解集可知，故A错误； 根据韦达定理可得， 所以，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据基本不等式，不等式的性质进行判断． 【详解】，当且仅当时等号成立，A正确； 由已知得，∴，B正确； ，∴，当且仅当时等号成立，C正确； ，即，当且仅当时等号成立，D错误． 故选：ABC． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 但要注意在用基本不等式证明不等式时，即使等号不能取到，不等式仍然成立． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．请把答案填在答题纸的相应位置 12. 已知 ，则 最小值为 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】已知 ，根据基本不等式可得， 当且仅当，即 时取等号. 故答案为：4. 13. 已知，则___________．（填“>”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】， 所以， 故答案为：. 14. 如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的新定义求出，再根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】由题意可知，故， 又，是偶数， 故， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，，．求： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据集合交、并、补的运算求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为，， 所以. 或. 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集概念求出答案； （2），分和两种情况，得到不等式，求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 故. 【小问2详解】 , 当时，，解得， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 17. 某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地.设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，蔬菜的种植面积为. （1）用、表示； （2）求蔬菜种植面积的最大值. 【答案】（1），，， （2）648 【解析】 【分析】（1）由矩形的面积公式得出； （2）由基本不等式得出最大值. 【小问1详解】 种植蔬菜的矩形长为，宽为，则，，， 【小问2详解】 当且仅当时，取等号，即蔬菜种植面积的最大值为648. 18. 已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）转化为不含参数的一元二次不等式求解. （2）转化为在给定区间上，二次不等式恒成立的问题，再结合分离参数法，求参数的取值范围. （3）分类讨论，解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 当时，或. 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 ，因为，所以，. 问题转化为，. 设，则二次函数，对称轴为， 所以在上单调递减，所以. 所以.. 即的取值范围为. 【小问3详解】 即. 当时，不等式可化为：，解得； 当时，不等式可化为：. 若即时，解得； 若即时，不等式无解； 若即时，解得. 当时，不等式可化为，解得或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： （1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2），当且仅当且同号时等号成立 （3）当时，有最小值 【解析】 【分析】（1）根据“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）根据“1”的代换，有，利用基本不等式求解判断； （3）令且，由（2）得到，求得，得到，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 则， 当且仅当即时，. 【小问2详解】 由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立， 此时满足. 【小问3详解】 令且， 由，即， 则，解得， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎二中2025-2026学年第一学期第一次月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 集合子集有（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 3. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 4. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 5. 某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的人数是（　　） A. 16人 B. 20人 C. 14人 D. 6人 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，在上，在上，的面积为1，则面积的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 4 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．部分选对部分得分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C D. 10. 不等式解集是，对于系数，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 11 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．请把答案填在答题纸的相应位置 12. 已知 ，则 的最小值为 ______． 13. 已知，则___________．（填“>”或“<”） 14. 如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，，．求： （1）； （2）； （3） 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地.设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，蔬菜的种植面积为. （1）用、表示； （2）求蔬菜种植面积最大值. 18. 已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式． 19. 学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： （1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $