精品解析：青海省西宁市第二中学南川学校2025-2026学年高二上学期十月月考数学试卷

西宁二中南川学校2025-2026学年第一学期 高二年级数学十月月考试卷 （命题时间：9月24日 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 2. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 3. 如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【点睛】 4. 在正方体中，下列说法错误的是（ ） A. B. 与所成角为 C. 平面 D. 与平面所成角为 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误. 【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直 线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、、、， 对于A选项，，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，则， 所以，与所成角的大小为，B对； 对于C选项，设平面的法向量为，， 则，取，则， 则，所以，， 又因为平面，所以，平面，C对； 对于D选项，设平面的法向量为，，， 则，取，则， 所以，， 所以，与平面所成角为为，D错. 故选：D. 5. 直线必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 6. 在棱长为1的正方体中，直线到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，转化为求点到平面的距离，利用等体积法求解即可. 【详解】如图， 因为直线到平面的距离等于点到平面的距离， 即求点到平面的距离， 连接，因为平分， 所以点与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为， 因为， 所以, 即，解得， 故选：D 7. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. ，-1）） D. [1，+ 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 8. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项； 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点的坐标可得向量坐标，即可求得A，根据对称的性质可求得B，向量法可判断直线的位置关系，即可求得C，根据向量共线定理可判断D. 【详解】对于A，由题意，A正确； 对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反， 因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误； 对于C，若，则，所以，C正确； 对于D，若且，则，解得，D正确， 故选：ACD． 10. 已知直线l过点，，则（ ） A. 点在直线l上 B. 直线l的两点式方程为 C. 直线l的一个方向向量的坐标为 D. 直线l的截距式方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 11. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项即可. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由于不存在实数，使得，则与不平行，故B错误； 对于C，由，则， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，由， 则直线与所成角不为，故D错误. 故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数a的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，两直线重合，不合题意， 当时，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 13. 如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案. 【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，故，，， 设平面的一个法向量为，则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题. 14. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可. 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示． 连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式． （1）直线l的一个方向向量为，且经过点； （2）过点且在两坐标轴上截距相等． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的方向向量求出斜率，再由点斜式即可得到结果； （2）根据题意，分直线的截距为与直线截距不为讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 由直线的方向向量为可得直线斜率为， 由点斜式得直线方程为，即. 【小问2详解】 当直线截距不为0时，设求直线方程为 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或. 16. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相反的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； 【小问2详解】 设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； 【小问3详解】 当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 18. 四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接与交于点， 在菱形中，， 底面平面， 平面，， 平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面即可； （2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 为中点，中，， 底面底面， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设， ，即，由此可求， 设平面，平面的法向量分别为， ， ∴即取； 同理，即，取； 设二面角的平面角为，则， 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为． 【点睛】 19. 如图，四棱锥中，底面ABCD为长方形，侧面是等边三角形，平面平面ABCD （1）若E为棱SB的中点，为棱AD的中点，求证：平面SCD （2），异面直线SB，AD夹角的余弦为． ①求棱AD的长度； ②在棱SA上是否存在点，使得平面PBM与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取的中点，连接、， 、分别为、的中点，所以，且， 因为四边形是矩形，所以，且， 为棱的中点，则且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. （2）①2；②存在，点为线段的三等分点且更靠近于点时. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）①建立合适的空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦值的空间向量法即可得到方程，解出即可；②求出两平面的法向量，根据平面与平面夹角的空间向量表示方法即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①假设在棱上存在点满足题意，如图，连接、、， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高， 设，则， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， ，， 则，解得，则. ②由①知、、、， 故，，， 设， ． 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以，. 易知平面的一个法向量为， ， 解得，合乎题意， 所以，当点为线段的三等分点且更靠近于点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁二中南川学校2025-2026学年第一学期 高二年级数学十月月考试卷 （命题时间：9月24日 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，下列说法错误的是（ ） A. B. 与所成角为 C. 平面 D. 与平面所成角为 5. 直线必过定点（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正方体中，直线到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. ，-1）） D. [1，+ 8. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知直线l过点，，则（ ） A. 点在直线l上 B. 直线l的两点式方程为 C. 直线l的一个方向向量的坐标为 D. 直线l的截距式方程为 11. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数a的值是______. 13. 如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____． 14. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式． （1）直线l的一个方向向量为，且经过点； （2）过点且在两坐标轴上截距相等． 16. 求满足下列条件的直线方程； （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）过点，且与直线垂直的直线方程； （3）过点，且在两坐标轴上截距相反的直线方程. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 18. 四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 19. 如图，四棱锥中，底面ABCD为长方形，侧面是等边三角形，平面平面ABCD （1）若E为棱SB的中点，为棱AD的中点，求证：平面SCD （2），异面直线SB，AD夹角的余弦为． ①求棱AD的长度； ②在棱SA上是否存在点，使得平面PBM与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $