精品解析：吉林省长春市吉林大学附属中学2025-2026学年九年级上学期第一次月数学考试卷

数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果（　　） A. 9 B. 3 C. D. 3. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点，点A、B之间的距离为1.2米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离是（ ）米． A. 0.68 B. 0.69 C. 0.86 D. 0.96 6. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 10. 根据物理学定律，若把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过秒离地面的高度（单位：）为．那么物体经过________秒落回地面． 11. 如图，，，，则_______cm． 12. 如图，小明和小红在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点．支柱高．当小明的一端着地时，小红到地面的高度为______m． 13. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 14. 如图，正方形的边长为2，点E、F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G、M．有下列四个结论：；垂直平分；；．其中正确的是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得． 第一步 二次项系数化为1，得． 第二步 配方，得． 第三步 因此． 第四步 由此得或． 第五步 解得． 第六步 （1）王明的解题过程从第______步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 17. 如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝，AB＝3，BC＝2 （1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由． （2）若CD＝，求AC的长． 18. 为落实国务院房地产调控政策，使"居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计2012年投资4.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底三年共建设了多少万平方米廉租房． 19. 如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，，与位似，O点为位似中心，点B的对应点为． （1）在图中画出； （2）与的周长比为_______； （3）点是边上一个点，其对应点的坐标为_______． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中画出的中线． （2）在图的边上找到一点E，使． （3）在图的边上找到一点F，使． 21. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 22. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． （1）下列方程一定是“美好方程”的是______（直接填序号）； ①；②；③； （2）若关于x的一元二次方程方， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 23. 【问题提出】 （1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长． 【学以致用】 （2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______． 温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展延伸】 如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______． 24. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿着折线段以每秒个单位速度向终点运动，点在边上，且，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接，设点的运动时间为秒（）． （1）直接写出_____； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当点在边的垂直平分线上时，求的值； （4）当点在的外部时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，需满足，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B 2. 化简的结果（　　） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，根据即可求解； 【详解】解：； 故选：B 3. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．把一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一般式为：， 若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为，， 故选：B． 4. 若，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的性质进行化简计算，逐一判断即可解答．本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、即，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点，点A、B之间的距离为1.2米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离是（ ）米． A. 0.68 B. 0.69 C. 0.86 D. 0.96 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：， ， ， 米， 米， 即C、D之间的距离是0.96米， 故选：D． 6. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C．若添加，不能证明，故本选项符合题意； D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘即得D的坐标． 【详解】解：∵与位似，且原点O为位似中心，其位似比，点， ∴其对应点D的坐标为，即． 故选：A 8. 如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似． ④剪下的三角形与原三角形只有一个角相等，故两三角形不相似； 故正确的有①②③， 故选：B． 二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 10. 根据物理学定律，若把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过秒离地面的高度（单位：）为．那么物体经过________秒落回地面． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即可． 【详解】解：当时， 解得：（舍去）， 即物体经过秒落回底面． 故答案为：． 11. 如图，，，，则_______cm． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”的知识点，理解并掌握这个知识点是解决本题的关键． 本题根据这一组平行线平行，得到，即可求解的值． 【详解】解：因为， ， 即， 解得：， ， 故答案为：15． 12. 如图，小明和小红在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点．支柱高．当小明的一端着地时，小红到地面的高度为______m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．画出示意图，证明∽，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：当跷跷板长板的一端着地时，示意图如下， 由题意可知：， ∽， ， 米，点是的中点， 米，即长板的另一端到地面的高度为1米， 故答案为：1． 13. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 14. 如图，正方形的边长为2，点E、F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G、M．有下列四个结论：；垂直平分；；．其中正确的是______． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂直平分线的判定，三角形的面积公式等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据已知条件用判定，故正确；由全等得利用角度转换得，再证，得即可得出正确；证，得对应线段的比例关系，利用条件将等式变形即可得出正确；计算出，即可得出错误． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， 在和中， ， 故正确； ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， 故正确； ， ， 故正确； ， 点F在边上，交于点M， 故错误， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）先计算二次根式乘法和除法，再合并即可得． （2）先根据平方差公式及完全平方公式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得． 第一步 二次项系数化为1，得． 第二步 配方，得． 第三步 因此． 第四步 由此得或． 第五步 解得． 第六步 （1）王明的解题过程从第______步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 【答案】（1）二 （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【小问1详解】 解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； 【小问2详解】 ． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 17. 如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝，AB＝3，BC＝2 （1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由． （2）若CD＝，求AC的长． 【答案】（1）△BCD∽△BAC．理由如下： ∵BD＝，AB＝3，BC＝2， ∴＝＝，＝，. ∴＝， 而∠DBC＝∠CBA， ∴△BCD∽△BAC； （2） 【解析】 【分析】（1）利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判定△BCD∽△BAC； （2）根据相似三角形的性质计算AC的长． 【详解】（1）略 （2）∵△BCD∽△BAC， ∴，即， ∴AC＝． 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于掌握相似三角形的判定定理. 18. 为落实国务院房地产调控政策，使"居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计2012年投资4.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底三年共建设了多少万平方米廉租房． 【答案】（1）每年市政府投资的增长率为50%；（2）到2012年底共建廉租房面积为38万平方米 【解析】 【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2012年投资4.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解； （2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果． 【详解】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x， 根据题意，得：， 解之：=0.5，=-2.5（舍去）， 答：每年市政府投资的增长率为50%； （2）2011年投入2（1+50%）=3亿元， 三年共投入2+3+4.5=9.5亿元， 到2012年底共建廉租房面积=9.5÷=38（万平方米）． 【点睛】主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率． 19. 如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，，与位似，O点为位似中心，点B的对应点为． （1）在图中画出； （2）与的周长比为_______； （3）点是边上一个点，其对应点的坐标为_______． 【答案】（1） 在图中画出如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，在坐标系中画位似图形，求位似图形的对应坐标等知识点，熟练掌握位似图形的作图方法及位似图形的性质是解题的关键． （1）按照画位似图形的方法在图中画出即可； （2）根据位似中心，点及其对应点的坐标即可求出与的相似比； （3）由于点为位似中心，点是边上一个点，根据位似变换的坐标特征及相似比即可求出的对应点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为，O点为位似中心，点B 的对应点为， 与的相似比为：， ∴与的周长比为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：点为位似中心，点是边上一个点， 的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中画出的中线． （2）在图的边上找到一点E，使． （3）在图的边上找到一点F，使． 【答案】（1） 的中线如图所示： （2） E点如图所示： （3）F点如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了网格中作图，涉及矩形的性质、三角形中线的定义、平行线分线段成比例定理、三角形的面积公式等，掌握这些是解题的关键． （1）利用矩形的性质找到的中点D，连接C、D即可； （2）利用平行线分线段成比例定理找到E即可； （3）利用相似三角形的判定与性质，即可找到F． 【小问1详解】 解：因为矩形的对角线互相平分，所以D如图所示，连接C、D即可得到的中线； 【小问2详解】 因为平行线分线段成比例，所以； 【小问3详解】 取点M、N，连接M、N交于F点， 则， ， ， 因为三角形高相等时，底边长度之比等于三角形面积之比，所以． 21. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟练掌握定理是解题的关键．根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． ， ． ．即． ． 同理，． ．即． ． 解得，． ． ∴围墙的高度为． 22. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． （1）下列方程一定是“美好方程”的是______（直接填序号）； ①；②；③； （2）若关于x的一元二次方程方， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） ①证明：∵， ∴， ∴此方程一定是“美好方程”； ② 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出k的值． 【小问1详解】 解：①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故选：①③； 【小问2详解】 ①略 ②解：∵， ∴， 始终在函数的图象上， ， ， 因为对于任意m值式子都要成立， ， ， ∴存在实数k，使得始终在函数的图象上， k的值为1． 23. 【问题提出】 （1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长． 【学以致用】 （2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______． 温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展延伸】 如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______． 【答案】（1）10；（2）；拓展延伸： 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的综合应用． （1）证明，通过对应边成比例求解； （2）作交于点M，通过，导出各边长比． 拓展延伸：连接，作交于点R，通过相似三角形导出线段比，再通过等底等高利用线段比导出面积比，分别求出与而求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点M， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：连接，作交于点R， ∴，， 设，则，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 24. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿着折线段以每秒个单位速度向终点运动，点在边上，且，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接，设点的运动时间为秒（）． （1）直接写出_____； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当点在边的垂直平分线上时，求的值； （4）当点在的外部时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）分点在上两种情况分析，分别列出代数式，即可求解； （3）分点在的中点位置时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解； （4）分别求得在上时，分三种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，分别求得的长，进而求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，，动点从点出发，沿着折线段以每秒个单位速度向终点运动， 当时，， 当时，， ∴ 【小问3详解】 解：当在边或边的垂直平分线上时， 当在的垂直平分线上，且在边上时，， 综上所述，在边的垂直平分线上时，或； 【小问4详解】 解：将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接， ∴是等腰直角三角形，，， ∵，， ∴， 当在上，在上时，如图 ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当点在的外部时，； 当在上，在上时，如图，过点作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当在上，在上时，如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当点在的外部时，； 综上所述，当点在的外部时，或． 【点睛】本题考查了勾股定理，列代数式，垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $