精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

望城二中高一10月月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 7. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A 12 B. C. D. 15 8. 当时，不等式 恒成立，则取值范围是 A B. C. D. 二、多选题 9. 对于的两个非空子集，定义运算，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 表示一个正方形区域 10. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知扇形半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A. 该扇形面积的最小值为8 B. 当扇形周长最小时，其圆心角为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 三、填空题 12. 已知集合，，则__________. 13. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 14. 存在正数，使得不等式成立，则的最大值是______. 四、解答题 15. 已知，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围. 17. 如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，两点分别在两岸上，，顶点到河两岸的距离，设. （1）若，求荷花种植面积（单位：）的最大值； （2）若，且荷花的种植面积为，求. 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，． （2）给定，，点集． （）求集合中与点相关的点的个数； （）若，且对于任意，，点，相关，求中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城二中高一10月月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 2. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由“改量词，否结论”，可得答案. 【详解】由“改量词，否结论”,命题“”的否定是“”. 故选：C 4. 已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可. 【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下： 对于A：，A错误；对于B：，B错误； 对于C：，C正确；对于D：； D错误； 故选：C. 5. 已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件将问题转化为“在上恒成立”，再根据求解出的范围. 【详解】因为对于任意，恒成立，所以对恒成立， 所以，， 又因为的对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以， 故选：B. 【点睛】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论； （2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系. 6. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，利用常数代换技巧求最值判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 结合A，， 当时，等号成立，故B错误； 结合A，， 所以，当时，等号成立，故C错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：D． 7. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 8. 当时，不等式 恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式先分离参量，然后解不等式求出的取值范围 【详解】当时，不等式可转化为 ， 当时， 解得 取不到，故 故选 【点睛】本题考查了含有参量的恒成立问题，在求解过程中可以分离参量，然后解不等式，注意取等号时的条件 二、多选题 9. 对于的两个非空子集，定义运算，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 表示一个正方形区域 【答案】BC 【解析】 【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 10. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例排除AC，利用不等式的性质判断BD，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C，因为，取，则，故C错误； 对于D，因为，由不等式的性质可知，故D正确. 故选：BD. 11. 已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A. 该扇形面积的最小值为8 B. 当扇形周长最小时，其圆心角为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，知，则，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于选项D利用二次函数可解. 【详解】由题意，知，则， 所以扇形面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，选项A错误； 扇形周长为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，圆心角为，选项B正确； ， 当且仅当，即时，等号成立，选项C正确； , 当时，上式取得最小值为，选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算． 【详解】，即， 又， 所以， 故答案为：． 13. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 14. 存在正数，使得不等式成立，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数再构造出，最后利用基本不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时等号成立. 的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用交集运算的概念求解即可； （2）先求出，然后分和两种情况分类讨论，利用集合关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 当时，， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以或， 由题意， 当，即时，符合题意； 若，，解得， 综上，实数的取值范围是或． 16. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知在时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，求出集合，结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由，都有不等式成立， 得在时恒成立，所以， 因为二次函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以，当时，，，所以，. 【小问2详解】 解：由可得. ①当时，可得或， 因为是的充分条件，则，则，此时，； ②当时，可得或， 因为是的充分条件，则，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，两点分别在两岸上，，顶点到河两岸的距离，设. （1）若，求荷花种植面积（单位：）的最大值； （2）若，且荷花的种植面积为，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）表达出，表达出，结合，由基本不等式求出最值，得到答案； （2）求出，根据荷花的种植面积求出，结合同角三角函数关系得到，所以和为一元二次方程的两个实数根，求出答案. 【小问1详解】 . 当时，， 所以. 又因为， 所以，当且仅当时取等号. 所以荷花种植区域面积的最大值为. 【小问2详解】 因为，所以， 故， 从而， 所以. 又因为， 所以. 又因为，所以， 所以和为一元二次方程的两个实数根， 解得或， 故为或. 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，． （2）给定，，点集． （）求集合中与点相关的点的个数； （）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． 【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求. （2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值． 【详解】若点，相关，则，，而， 不妨设， 则由定义可知， 化简变形可得， （1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关； ②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关. （2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点. 轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 原点满足条件； 因此集合中共有个点与点相关. （）若两个不同的点，相关，其中，，，， 可知. 下面证明. 若，则，成立； 若，则， 若，则，亦成立. 由于， 因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点. 因此中元素个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $